Identidade da matriz Woodbury

Identidade da matriz Woodbury (Redirecionado de Teorema inverso binomial) Ir para a navegação Ir para a pesquisa Em matemática (especificamente álgebra linear), a identidade da matriz Woodbury, em homenagem a Max A. Woodbury,[1][2] diz que o inverso de uma correção de posto k de alguma matriz pode ser calculado fazendo uma correção de posto k para o inverso da matriz original. Nomes alternativos para esta fórmula são o lema de inversão de matrizes, Fórmula de Sherman-Morrison-Woodbury ou apenas fórmula de Woodbury. No entanto, a identidade apareceu em vários jornais antes do relatório Woodbury.[3][4] A identidade da matriz de Woodbury é[5] {estilo de exibição à esquerda(A+UCVright)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}Você saiu(C^{-1}+VA^{-1}Você está certo)^{-1}VA^{-1},} onde um, você, C e V são matrizes conformáveis: A é n×n, C é k×k, U é n×k, e V é k×n. Isso pode ser derivado usando inversão de matriz em blocos.

Enquanto a identidade é usada principalmente em matrizes, detém em um anel geral ou em uma categoria Ab.

Conteúdo 1 Discussão 1.1 Casos especiais 1.1.1 Inversa de uma soma 1.2 Variações 1.2.1 Teorema inverso binomial 2 Derivações 2.1 Prova direta 2.2 Provas alternativas 3 Formulários 4 Veja também 5 Notas 6 External links Discussion To prove this result, vamos começar provando um mais simples. Substituindo A e C pela matriz identidade I, obtemos outra identidade que é um pouco mais simples: {estilo de exibição à esquerda(I+UVright)^{-1}=E-Esquerda(I+VUright)^{-1}V.} Para recuperar a equação original desta identidade reduzida, definir {estilo de exibição U=A^{-1}X} e {estilo de exibição V=CY} .

Essa identidade em si pode ser vista como a combinação de duas identidades mais simples. Obtemos a primeira identidade de {estilo de exibição I=(I+P)^{-1}(I+P)=(I+P)^{-1}+(I+P)^{-1}P} , portanto, {estilo de exibição (I+P)^{-1}=I-(I+P)^{-1}P} , e da mesma forma {estilo de exibição (I+P)^{-1}=I-P(I+P)^{-1}.} A segunda identidade é a chamada identidade push-through[6] {estilo de exibição (I+UV)^{-1}U=U(I+VU)^{-1}} que obtemos de {estilo de exibição U(I+VU)=(I+UV)você} depois de multiplicar por {estilo de exibição (I+VU)^{-1}} à direita e por {estilo de exibição (I+UV)^{-1}} à esquerda.

Special cases When {estilo de exibição V,você} são vetores, a identidade se reduz à fórmula de Sherman-Morrison.

No caso escalar (a versão reduzida) e simples {estilo de exibição {fratura {1}{1+uv}}=1-{fratura {uv}{1+uv}}.} Inverse of a sum If n = k and U = V = In is the identity matrix, então {estilo de exibição {começar{alinhado}deixei({UMA}+{B}certo)^{-1}&=A^{-1}-A^{-1}(B^{-1}+A^{-1})^{-1}A^{-1}\&={UMA}^{-1}-{UMA}^{-1}deixei({UMA}{B}^{-1}+{EU}certo)^{-1}.fim{alinhado}}} Continuando com a fusão dos termos do lado direito da equação acima resulta na identidade de Hua {estilo de exibição à esquerda({UMA}+{B}certo)^{-1}={UMA}^{-1}-deixei({UMA}+{UMA}{B}^{-1}{UMA}certo)^{-1}.} Outra forma útil da mesma identidade é {estilo de exibição à esquerda({UMA}-{B}certo)^{-1}={UMA}^{-1}+{UMA}^{-1}{B}deixei({UMA}-{B}certo)^{-1},} que tem uma estrutura recursiva que produz {estilo de exibição à esquerda({UMA}-{B}certo)^{-1}=soma _{k=0}^{infty }deixei({UMA}^{-1}{B}certo)^{k}{UMA}^{-1}.} Esta forma pode ser usada em expansões perturbativas onde B é uma perturbação de A.

Variations Binomial inverse theorem If A, B, você, V são matrizes de tamanhos n×n, k×k, n×k, k×n, respectivamente, então {estilo de exibição à esquerda(A+UBVright)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}UBleft(B+BVA^{-1}UBright)^{-1}FORA^{-1}} fornecido A e B + BVA-1UB não são singulares. A não singularidade do último requer que B−1 exista, pois é igual a B(EU + VA-1UB) e a classificação deste último não pode exceder a classificação de B.[6] Como B é invertível, os dois termos B que flanqueiam a quantidade entre parênteses inversa no lado direito podem ser substituídos por (B-1)−1, que resulta na identidade original de Woodbury.

Uma variação para quando B é singular e possivelmente até não quadrado:[6] {estilo de exibição (A+UBV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}você(I+BVA^{-1}você)^{-1}FORA^{-1}.} Fórmulas também existem para certos casos em que A é singular.[7] Derivations Direct proof The formula can be proven by checking that {estilo de exibição (A+UCV)} vezes seu suposto inverso no lado direito da identidade de Woodbury dá a matriz de identidade: {estilo de exibição {começar{alinhado}&left(A+UCVright)deixei[A^{-1}-A^{-1}Você saiu(C^{-1}+VA^{-1}Você está certo)^{-1}VA^{-1}certo]\={}&left{Eu-esquerda(C^{-1}+VA^{-1}Você está certo)^{-1}VA^{-1}certo}+deixei{UCVA^{-1}-UCVA^{-1}Você saiu(C^{-1}+VA^{-1}Você está certo)^{-1}VA^{-1}certo}\={}&left{I+UCVA^{-1}certo}-deixei{Você saiu(C^{-1}+VA^{-1}Você está certo)^{-1}VA^{-1}+UCVA^{-1}Você saiu(C^{-1}+VA^{-1}Você está certo)^{-1}VA^{-1}certo}\={}&I+UCVA^{-1}-deixei(U+UCVA^{-1}Você está certo)deixei(C^{-1}+VA^{-1}Você está certo)^{-1}VA^{-1}\={}&I+UCVA^{-1}-UCleft(C^{-1}+VA^{-1}Você está certo)deixei(C^{-1}+VA^{-1}Você está certo)^{-1}VA^{-1}\={}&I+UCVA^{-1}-UCVA^{-1}\={}&I.end{alinhado}}} Alternative proofs show Algebraic proof show Derivation via blockwise elimination show Derivation from LDU decomposition Applications This identity is useful in certain numerical computations where A−1 has already been computed and it is desired to compute (UMA + UCV)−1. Com o inverso de A disponível, it is only necessary to find the inverse of C−1 + VA−1U in order to obtain the result using the right-hand side of the identity. Se C tem uma dimensão muito menor do que A, this is more efficient than inverting A + UCV directly. A common case is finding the inverse of a low-rank update A + UCV of A (onde U tem apenas algumas colunas e V apenas algumas linhas), or finding an approximation of the inverse of the matrix A + B where the matrix B can be approximated by a low-rank matrix UCV, por exemplo, usando a decomposição de valor singular.

Isso é aplicado, por exemplo., no filtro de Kalman e métodos recursivos de mínimos quadrados, para substituir a solução paramétrica, exigindo a inversão de uma matriz de tamanho de vetor de estado, com uma solução baseada em equações de condição. No caso do filtro de Kalman esta matriz tem as dimensões do vetor de observações, ou seja, tão pequeno quanto 1 caso apenas uma nova observação seja processada de cada vez. Isso acelera significativamente os cálculos geralmente em tempo real do filtro.

No caso em que C é a matriz identidade I, o Matrix {estilo de exibição I+VA^{-1}você} é conhecido em álgebra linear numérica e equações diferenciais parciais numéricas como a matriz de capacitância.[4] Ver também Fórmula de Sherman-Morrison Complemento de Schur Lema determinante da matriz, fórmula para uma atualização de rank-k para um determinante Matriz invertível Pseudoinverso de Moore–Penrose#Atualizando o pseudoinverso Notas ^ Max A. Woodbury, Inversão de matrizes modificadas, Relatório do Memorando. 42, Grupo de Pesquisa Estatística, Universidade de Princeton, Princeton, Nova Jersey, 1950, 4pp MR38136 ^ Max A. Woodbury, A estabilidade das matrizes de saída. Chicago, Doente., 1949. 5 pp. MR32564 ^ Guttmann, Louis (1946). "Métodos de ampliação para calcular a matriz inversa". Ana. Matemática. Estatista. 17 (3): 336-343. doi:10.1214/aoms/1177730946. ^ Saltar para: a b Hager, William W. (1989). "Atualizando a inversa de uma matriz". Revisão SIAM. 31 (2): 221-239. doi:10.1137/1031049. JSTOR 2030425. MR 0997457. ^ Higham, Nicolau (2002). Precisão e Estabilidade de Algoritmos Numéricos (2ª edição). SIAM. p. 258. ISBN 978-0-89871-521-7. MR 1927606. ^ Saltar para: a b c Henderson, H. V.; Searle, S. R. (1981). "Ao derivar o inverso de uma soma de matrizes" (PDF). Revisão SIAM. 23 (1): 53-60. doi:10.1137/1023004. HDL:1813/32749. JSTOR 2029838. ^ Kurt S. Riedel, "Uma identidade Sherman–Morrison–Woodbury para matrizes de aumento de classificação com aplicação à centralização", SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 13 (1992)659-662, doi:10.1137/0613040 pré-impressão MR1152773 Imprensa, WH; Teukolsky, sobre; Vetterling, WT; Flannery, PA (2007), "Seção 2.7.3. Fórmula Woodbury", Receitas numéricas: A arte da computação científica (3rd ed.), Nova york: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8 External links Some matrix identities Weisstein, Eric W. "Fórmula Woodbury". MathWorld. Categorias: Lemas em álgebra linearMatrizesTeoria de matrizes