identidade Weinstein-Aronszajn

identidade Weinstein-Aronszajn (Redirecionado do teorema do determinante de Sylvester) Ir para a navegação Ir para a pesquisa "Teorema do determinante de Sylvester" redireciona aqui. Não confundir com a identidade determinante de Sylvester.

Na matemática, a identidade Weinstein-Aronszajn afirma que se {estilo de exibição A} e {estilo de exibição B} são matrizes de tamanho m × n e n × m, respectivamente (um ou ambos podem ser infinitos) então, forneceu {estilo de exibição AB} (e, portanto, também {estilo de exibição BA} ) é da classe de rastreamento, {exibi-lo(EU_{m}+AB)= isso(EU_{n}+BA),} Onde {estilo de exibição I_{k}} é a matriz identidade k × k.

Está intimamente relacionado com o lema do determinante da matriz e sua generalização. É o análogo determinante da identidade da matriz de Woodbury para matrizes inversas.

Proof The identity may be proved as follows.[1] Deixar {estilo de exibição M} ser uma matriz que compreende os quatro blocos {estilo de exibição I_{m}} , {estilo de exibição -A} , {estilo de exibição B} e {estilo de exibição I_{n}} .

{estilo de exibição M={começar{pmatrix}EU_{m}&-A\B&I_{n}fim{pmatrix}}.} Porque Im é invertível, a fórmula para o determinante de uma matriz de blocos dá {exibi-lo {começar{pmatrix}EU_{m}&-A\B&I_{n}fim{pmatrix}}= isso(EU_{m})deixou(EU_{n}-BI_{m}^{-1}(-UMA)certo)= isso(EU_{n}+BA).} Porque In é invertível, a fórmula para o determinante de uma matriz de blocos dá {exibi-lo {começar{pmatrix}EU_{m}&-A\B&I_{n}fim{pmatrix}}= isso(EU_{n})deixou(EU_{m}-(-UMA)EU_{n}^{-1}Brilhante)= isso(EU_{m}+AB).} Desta forma {exibi-lo(EU_{n}+BA)= isso(EU_{m}+AB).} Applications Let {lambda de estilo de exibição em mathbb {R} setminus {0}} . A identidade pode ser usada para mostrar a afirmação um pouco mais geral de que {exibi-lo(AB-lambda I_{m})=(-lambda )^{m-n}a(BA-lambda I_{n}).} Segue que os autovalores diferentes de zero de {estilo de exibição AB} e {estilo de exibição BA} são os mesmos.

Esta identidade é útil no desenvolvimento de um estimador Bayes para distribuições gaussianas multivariadas.

A identidade também encontra aplicações na teoria de matrizes aleatórias relacionando determinantes de matrizes grandes com determinantes de matrizes menores.[2] Referências ^ Pozrikidis, C. (2014), Uma introdução às grades, Gráficos, e Redes, imprensa da Universidade de Oxford, p. 271, ISBN 9780199996735 ^ "A estrutura mesoscópica dos autovalores GUE | O que há de novo". Terrytao.wordpress.com. Recuperado 2016-01-16.

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