Identità Weinstein-Aronszajn

Identità Weinstein-Aronszajn (Reindirizzato dal teorema determinante di Sylvester) Vai alla navigazione Vai alla ricerca "Il teorema determinante di Sylvester" reindirizza qui. Da non confondere con l'identità determinante di Sylvester.

In matematica, l'identità Weinstein-Aronszajn afferma che se {stile di visualizzazione A} e {stile di visualizzazione B} sono matrici di dimensione m × n e n × m rispettivamente (uno o entrambi i quali possono essere infiniti) poi, fornito {stile di visualizzazione AB} (e quindi, anche {stile di visualizzazione BA} ) è di classe trace, {mostralo(IO_{m}+AB)= quello(IO_{n}+BA),} dove {stile di visualizzazione I_{K}} è la matrice di identità k × k.

È strettamente correlato al lemma determinante della matrice e alla sua generalizzazione. È l'analogo determinante dell'identità della matrice di Woodbury per le matrici inverse.

Proof The identity may be proved as follows.[1] Permettere {stile di visualizzazione M} essere una matrice comprendente i quattro blocchi {stile di visualizzazione I_{m}} , {stile di visualizzazione -A} , {stile di visualizzazione B} e {stile di visualizzazione I_{n}} .

{stile di visualizzazione M={inizio{pmatrice}IO_{m}&-A\B&I_{n}fine{pmatrice}}.} Perché sono invertibile, dà la formula per il determinante di una matrice a blocchi {mostralo {inizio{pmatrice}IO_{m}&-A\B&I_{n}fine{pmatrice}}= quello(IO_{m})se n'è andato(IO_{n}-BI_{m}^{-1}(-UN)Giusto)= quello(IO_{n}+BA).} Perché In è invertibile, dà la formula per il determinante di una matrice a blocchi {mostralo {inizio{pmatrice}IO_{m}&-A\B&I_{n}fine{pmatrice}}= quello(IO_{n})se n'è andato(IO_{m}-(-UN)IO_{n}^{-1}Luminosa)= quello(IO_{m}+AB).} così {mostralo(IO_{n}+BA)= quello(IO_{m}+AB).} Applications Let {displaystyle lambda in mathbb {R} set meno {0}} . L'identità può essere usata per mostrare l'affermazione in qualche modo più generale che {mostralo(AB-lambda I_{m})=(-lambda )^{m-n}il(BA-lambda I_{n}).} Ne consegue che gli autovalori diversi da zero di {stile di visualizzazione AB} e {stile di visualizzazione BA} sono gli stessi.

Questa identità è utile nello sviluppo di uno stimatore di Bayes per distribuzioni gaussiane multivariate.

L'identità trova applicazioni anche nella teoria delle matrici casuali mettendo in relazione determinanti di matrici grandi con determinanti di matrici più piccole.[2] Riferimenti ^ Pozrikidis, C. (2014), Un'introduzione alle griglie, Grafici, e Reti, la stampa dell'università di Oxford, p. 271, ISBN 9780199996735 ^ "La struttura mesoscopica degli autovalori GUE | Cosa c'è di nuovo". Terrytao.wordpress.com. Recuperato 2016-01-16.

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