Identité Weinstein-Aronszajn

Identité Weinstein-Aronszajn (Redirigé à partir du théorème déterminant de Sylvester) Aller à la navigation Aller à la recherche "Théorème déterminant de Sylvester" redirige ici. À ne pas confondre avec l'identité déterminante de Sylvester.

En mathématiques, l'identité Weinstein-Aronszajn stipule que si {style d'affichage A} et {style d'affichage B} sont des matrices de taille m × n et n × m respectivement (l'un ou les deux pouvant être infinis) alors, fourni {style d'affichage AB} (et donc, aussi {style d'affichage BA} ) est de classe trace, {l'afficher(JE_{m}+UN B)= ça(JE_{n}+BA),} où {style d'affichage I_{k}} est la matrice d'identité k × k.

Il est étroitement lié au lemme du déterminant matriciel et à sa généralisation. C'est l'analogue déterminant de l'identité de la matrice de Woodbury pour les inverses de la matrice.

Proof The identity may be proved as follows.[1] Laisser {style d'affichage M} être une matrice comprenant les quatre blocs {style d'affichage I_{m}} , {style d'affichage -A} , {style d'affichage B} et {style d'affichage I_{n}} .

{style d'affichage M={commencer{pmatrice}JE_{m}&-A\B&I_{n}fin{pmatrice}}.} Parce que Im est inversible, la formule du déterminant d'une matrice de blocs donne {l'afficher {commencer{pmatrice}JE_{m}&-A\B&I_{n}fin{pmatrice}}= ça(JE_{m})il est parti(JE_{n}-BI_{m}^{-1}(-UN)droit)= ça(JE_{n}+BA).} Parce que In est inversible, la formule du déterminant d'une matrice de blocs donne {l'afficher {commencer{pmatrice}JE_{m}&-A\B&I_{n}fin{pmatrice}}= ça(JE_{n})il est parti(JE_{m}-(-UN)JE_{n}^{-1}Brillant)= ça(JE_{m}+UN B).} Ainsi {l'afficher(JE_{n}+BA)= ça(JE_{m}+UN B).} Applications Let {style d'affichage lambda dans mathbb {R} setmoins {0}} . L'identité peut être utilisée pour montrer l'affirmation un peu plus générale selon laquelle {l'afficher(AB-lambda I_{m})=(-lambda )^{m-n}la(BA-lambda I_{n}).} Il s'ensuit que les valeurs propres non nulles de {style d'affichage AB} et {style d'affichage BA} sont identiques.

Cette identité est utile pour développer un estimateur de Bayes pour les distributions gaussiennes multivariées.

L'identité trouve également des applications dans la théorie des matrices aléatoires en reliant les déterminants des grandes matrices aux déterminants des plus petites.[2] Références ^ Pozrikidis, C. (2014), Une introduction aux grilles, Graphiques, et Réseaux, Presse universitaire d'Oxford, p. 271, ISBN 9780199996735 ^ "La structure mésoscopique des valeurs propres GUE | Quoi de neuf". wordpress.com. Récupéré 2016-01-16.

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