Weinstein-Aronszajn-Identität

Weinstein-Aronszajn-Identität (Umgeleitet von Sylvesters Determinantensatz) Zur Navigation springen Zur Suche springen "Determinantensatz von Sylvester" leitet hier weiter. Nicht zu verwechseln mit Sylvesters bestimmender Identität.

In Mathematik, Die Weinstein-Aronszajn-Identität besagt, dass wenn {Anzeigestil A} und {Anzeigestil B} sind Matrizen der Größe m × n bzw. n × m (eine oder beide davon können unendlich sein) dann, bereitgestellt {Displaystyle AB} (und daher, Auch {Anzeigestil BA} ) ist von der Trace-Klasse, {zeige es an(ICH_{m}+AB)= das(ICH_{n}+BA),} wo {Anzeigestil I_{k}} ist die k × k Einheitsmatrix.

Es ist eng verwandt mit dem Matrixdeterminanten-Lemma und seiner Verallgemeinerung. Es ist das bestimmende Analogon der Woodbury-Matrixidentität für Matrixinverse.

Beweis Die Identität kann wie folgt nachgewiesen werden.[1] Lassen {Anzeigestil M} eine Matrix sein, die die vier Blöcke umfasst {Anzeigestil I_{m}} , {Anzeigestil -A} , {Anzeigestil B} und {Anzeigestil I_{n}} .

{Anzeigestil M={Start{pMatrix}ICH_{m}&-A\B&I_{n}Ende{pMatrix}}.} Weil Im invertierbar ist, die Formel für die Determinante einer Blockmatrix ergibt {zeige es an {Start{pMatrix}ICH_{m}&-A\B&I_{n}Ende{pMatrix}}= das(ICH_{m})es ging(ICH_{n}-BI_{m}^{-1}(-EIN)Rechts)= das(ICH_{n}+BA).} Weil In invertierbar ist, die Formel für die Determinante einer Blockmatrix ergibt {zeige es an {Start{pMatrix}ICH_{m}&-A\B&I_{n}Ende{pMatrix}}= das(ICH_{n})es ging(ICH_{m}-(-EIN)ICH_{n}^{-1}Hell)= das(ICH_{m}+AB).} Daher {zeige es an(ICH_{n}+BA)= das(ICH_{m}+AB).} Anwendungen Let {Anzeigestil Lambda in mathbb {R} setminus {0}} . Die Identität kann verwendet werden, um die etwas allgemeinere Aussage zu zeigen, dass {zeige es an(AB-Lambda I_{m})=(-Lambda )^{m-n}das(BA-Lambda I_{n}).} Daraus folgt, dass die Nicht-Null-Eigenwerte von {Displaystyle AB} und {Anzeigestil BA} sind gleich.

Diese Identität ist nützlich bei der Entwicklung eines Bayes-Schätzers für multivariate Gaußsche Verteilungen.

Die Identität findet auch Anwendungen in der Zufallsmatrixtheorie, indem Determinanten großer Matrizen mit Determinanten kleinerer in Beziehung gesetzt werden.[2] Referenzen ^ Pozrikidis, C. (2014), Eine Einführung in Grids, Grafiken, und Netzwerke, Oxford University Press, p. 271, ISBN 9780199996735 ^ "Die mesoskopische Struktur von GUE-Eigenwerten | Was gibt's Neues". Terrytao.wordpress.com. Abgerufen 2016-01-16.

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