Teorema Wallace-Bolyai-Gerwien

Teorema Wallace-Bolyai-Gerwien (Redirecionado do teorema de Bolyai–Gerwien) Pular para navegação Pular para pesquisa Pelo teorema de Wallace–Bolyai–Gerwien, um quadrado pode ser cortado em partes e reorganizado em um triângulo de área igual.

Na geometria, o teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien,[1] em homenagem a William Wallace, Farkas Bolyai e Paul Gerwien, é um teorema relacionado a dissecações de polígonos. Ele responde à pergunta quando um polígono pode ser formado a partir de outro, cortando-o em um número finito de pedaços e recompondo-os por translações e rotações. O teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien afirma que isso pode ser feito se e somente se dois polígonos têm a mesma área.

Wallace já havia provado o mesmo resultado em 1807.

De acordo com outras fontes, Bolyai e Gerwien provaram independentemente o teorema em 1833 e 1835, respectivamente.

Conteúdo 1 Formulação 2 Esboço de prova 3 Notas sobre a prova 4 Grau de decomposição 5 Generalizações 6 Referências 7 External links Formulation There are several ways in which this theorem may be formulated. A versão mais comum usa o conceito de "equidecomponibilidade" de polígonos: dois polígonos são equidecomponíveis se eles podem ser divididos em um número finito de triângulos que diferem apenas por alguma isometria (na verdade apenas por uma combinação de uma translação e uma rotação). Neste caso, o teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien afirma que dois polígonos são equidecomponíveis se e somente se eles têm a mesma área.

Outra formulação é em termos de congruência de tesoura: dois polígonos são congruentes em tesoura se eles podem ser decompostos em um número finito de polígonos que são congruentes aos pares. Tesoura-congruência é uma relação de equivalência. Neste caso, o teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien afirma que as classes de equivalência desta relação contêm precisamente aqueles polígonos que têm a mesma área.

Proof sketch The theorem can be understood in a few steps. Primeiramente, cada polígono pode ser cortado em triângulos. Existem alguns métodos para isso. Para polígonos convexos, pode-se cortar cada vértice por vez, enquanto para polígonos côncavos isso requer mais cuidado. Uma abordagem geral que também funciona para polígonos não simples seria escolher uma linha não paralela a nenhum dos lados do polígono e desenhar uma linha paralela a esta através de cada um dos vértices do polígono. Isto irá dividir o polígono em triângulos e trapézios, que por sua vez podem ser convertidos em triângulos.

Em segundo lugar, cada um desses triângulos pode ser transformado em um triângulo retângulo e, posteriormente, em um retângulo com um lado de comprimento 1. alternativamente, um triângulo pode ser transformado em um desses retângulos primeiro transformando-o em um paralelogramo e depois transformando-o em um retângulo. Fazendo isso para cada triângulo, o polígono pode ser decomposto em um retângulo com unidade de largura e altura igual à sua área.

Como isso pode ser feito para quaisquer dois polígonos, uma "subdivisão comum" do retângulo entre prova o teorema. Aquilo é, cortando o retângulo comum (de tamanho 1 por sua área) de acordo com ambos os polígonos será um intermediário entre os dois polígonos.

Notes about the proof First of all, esta prova requer um polígono intermediário. Na formulação do teorema usando tesoura-congruência, o uso deste intermediário pode ser reformulado usando o fato de que as congruências em tesoura são transitivas. Como tanto o primeiro polígono quanto o segundo polígono são congruentes em tesoura com o intermediário, eles são tesoura-congruentes entre si.

A prova deste teorema é construtiva e não requer o axioma da escolha, mesmo que alguns outros problemas de dissecção (por exemplo. O problema da quadratura do círculo de Tarski) preciso disso. Nesse caso, a decomposição e a remontagem podem realmente ser realizadas "fisicamente": as peças podem, em teoria, ser cortado com tesoura de papel e remontado à mão.

Apesar disso, o número de peças necessárias para compor um polígono de outro usando este procedimento geralmente excede em muito o número mínimo de polígonos necessários.[2] Degree of decomposability Consider two equidecomposable polygons P and Q. O número mínimo n de peças necessárias para compor um polígono Q de outro polígono P é denotado por σ(P,Q).

Dependendo dos polígonos, é possível estimar os limites superior e inferior para σ(P,Q). Por exemplo, Alfred Tarski provou que se P é convexo e os diâmetros de P e Q são respectivamente dados por d(P) e d(Q), então[3] {estilo de exibição sigma (P,Q)geq {fratura {d(P)}{d(Q)}}.} Se Px é um retângulo de lados a · x e a ·(1/x) e Q é um retângulo de tamanho a, then Px and Q are equidecomposable for every x > 0. Um limite superior para σ(Px,Q) É dado por[3] {estilo de exibição sigma (P_{x},Q)leq 2 + leftlceil {quadrado {x^{2}-1}}certo ,quadrilátero {texto{por }}xgeq 1.} Desde p(Px,Q) = p(P(1/x),Q), nós também temos isso {displaystyle sigma à esquerda(P_{fratura {1}{x}},Qright)leq 2 + leftlceil {fratura {quadrado {1-x^{2}}}{x}}certo ,quadrilátero {texto{por }}xleq 1.} Generalisations The analogous statement about polyhedra in three dimensions, conhecido como terceiro problema de Hilbert, é falso, como comprovado por Max Dehn em 1900. O problema também foi considerado em algumas geometrias não-euclidianas. Em geometria hiperbólica e esférica bidimensional, o teorema vale. No entanto, o problema ainda está em aberto para essas geometrias em três dimensões.

Referências ^ Gardner, R. J. (1985-02-01). "Um problema de Sallee em corpos convexos equidecomponíveis". Anais da American Mathematical Society. 94 (2): 329-332. doi:10.1090/S0002-9939-1985-0784187-9. ISSN 0002-9939. JSTOR 2045399. ^ "Dissecção". ^ Saltar para: a b McFarland, André; McFarland, Joana; Smith, James T. (2014). Alfred Tarski. Birkhauser, Nova york, Nova Iorque. pp. 77–91. doi:10.1007/978-1-4939-1474-6_5. ISBN 9781493914739. Links externos Teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien Teorema Congruência - Uma demonstração interativa do teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien. Vídeo mostrando um esboço da prova Um Exemplo do Teorema de Bolyai–Gerwien por Sándor Kabai, Szabó Ferenc Holló, e Lajos Szilassi, o Projeto de Demonstrações Wolfram. Uma apresentação sobre o terceiro problema de Hilbert no College of Staten Island CUNY - Abhijit Champanerkar. Dissecção ideal de um quadrado unitário em um retângulo Categorias: Geometria do plano euclidianoTeoremas em geometria discretaDissecção geométrica