Teorema di Wallace-Bolyai-Gerwien

Teorema di Wallace-Bolyai-Gerwien (Reindirizzato da Teorema di Bolyai-Gerwien) Vai alla navigazione Vai alla ricerca Per il teorema di Wallace–Bolyai–Gerwien, un quadrato può essere tagliato in parti e riorganizzato in un triangolo di uguale area.

In geometria, il teorema di Wallace-Bolyai-Gerwien,[1] intitolato a William Wallace, Farkas Bolyai e Paul Gerwien, è un teorema relativo alle dissezioni di poligoni. Risponde alla domanda quando un poligono può essere formato da un altro tagliandolo in un numero finito di pezzi e ricomponendoli mediante traslazioni e rotazioni. Il teorema di Wallace-Bolyai-Gerwien afferma che ciò può essere fatto se e solo se due poligoni hanno la stessa area.

Wallace aveva già dimostrato lo stesso risultato 1807.

Secondo altre fonti, Bolyai e Gerwien avevano dimostrato indipendentemente il teorema in 1833 e 1835, rispettivamente.

Contenuti 1 Formulazione 2 Schizzo di prova 3 Note sulla dimostrazione 4 Grado di scomponibilità 5 generalizzazioni 6 Riferimenti 7 External links Formulation There are several ways in which this theorem may be formulated. La versione più comune utilizza il concetto di "equiscomponibilità" di poligoni: due poligoni sono equiscomponibili se possono essere divisi in un numero finito di triangoli che differiscono solo per qualche isometria (infatti solo da una combinazione di una traslazione e di una rotazione). In questo caso il teorema di Wallace-Bolyai-Gerwien afferma che due poligoni sono equiscomponibili se e solo se hanno la stessa area.

Un'altra formulazione è in termini di congruenza delle forbici: due poligoni sono congruenti a forbice se possono essere scomposti in un numero finito di poligoni congruenti a coppie. Forbici-congruenza è una relazione di equivalenza. In questo caso il teorema di Wallace-Bolyai-Gerwien afferma che le classi di equivalenza di questa relazione contengono proprio quei poligoni che hanno la stessa area.

Proof sketch The theorem can be understood in a few steps. In primo luogo, ogni poligono può essere tagliato in triangoli. Ci sono alcuni metodi per questo. Per i poligoni convessi si può tagliare ogni vertice a turno, mentre per i poligoni concavi questo richiede più attenzione. Un approccio generale che funziona anche per poligoni non semplici sarebbe quello di scegliere una linea non parallela a nessuno dei lati del poligono e tracciare una linea parallela a questa attraverso ciascuno dei vertici del poligono. Questo dividerà il poligono in triangoli e trapezi, che a sua volta può essere convertito in triangoli.

In secondo luogo, ciascuno di questi triangoli può essere trasformato in un triangolo rettangolo e successivamente in un rettangolo con un lato di lunghezza 1. In alternativa, un triangolo può essere trasformato in uno di questi rettangoli trasformandolo prima in un parallelogramma e poi trasformandolo in un tale rettangolo. In questo modo per ogni triangolo, il poligono può essere scomposto in un rettangolo con larghezza e altezza unitaria uguali alla sua area.

Poiché questo può essere fatto per due poligoni qualsiasi, un "suddivisione comune" del rettangolo intermedio dimostra il teorema. Questo è, tagliando il rettangolo comune (di taglia 1 dalla sua zona) secondo entrambi i poligoni sarà un intermedio tra entrambi i poligoni.

Notes about the proof First of all, questa dimostrazione richiede un poligono intermedio. Nella formulazione del teorema mediante la congruenza a forbice, l'uso di questo intermedio può essere riformulato sfruttando il fatto che le congruenze a forbice sono transitive. Poiché sia ​​il primo poligono che il secondo poligono sono forbici congruenti all'intermedio, sono forbici congruenti tra loro.

La dimostrazione di questo teorema è costruttiva e non richiede l'assioma della scelta, anche se alcuni altri problemi di dissezione (per esempio. Il problema della quadratura del cerchio di Tarski) ne hai bisogno. In questo caso, la scomposizione e il rimontaggio possono effettivamente essere effettuati "fisicamente": i pezzi possono, in teoria, essere tagliato con le forbici dalla carta e rimontato a mano.

Ciò nonostante, il numero di pezzi necessari per comporre un poligono da un altro utilizzando questa procedura generalmente supera di gran lunga il numero minimo di poligoni necessari.[2] Degree of decomposability Consider two equidecomposable polygons P and Q. Il numero minimo n di pezzi necessari per comporre un poligono Q da un altro poligono P è indicato con σ(P,Q).

A seconda dei poligoni, è possibile stimare i limiti superiore e inferiore per σ(P,Q). Per esempio, Alfred Tarski dimostrò che se P è convesso e i diametri di P e Q sono rispettivamente dati da d(P) e d(Q), poi[3] {displaystyle sigma (P,Q)geq {frac {d(P)}{d(Q)}}.} Se Px è un rettangolo di lati a · x e a ·(1/X) e Q è un rettangolo di dimensione a, then Px and Q are equidecomposable for every x > 0. Un limite superiore per σ(Px,Q) è dato da[3] {displaystyle sigma (P_{X},Q)leq 2+leftlceil {mq {x^{2}-1}}Giusto ,quad {testo{per }}xgeq 1.} Dal momento che pag(Px,Q) = pag(P(1/X),Q), abbiamo anche quello {displaystyle sigma a sinistra(P_{frac {1}{X}},Qright)leq 2+leftlceil {frac {mq {1-x^{2}}}{X}}Giusto ,quad {testo{per }}xleq 1.} Generalisations The analogous statement about polyhedra in three dimensions, noto come terzo problema di Hilbert, è falso, come dimostrato da Max Dehn in 1900. Il problema è stato considerato anche in alcune geometrie non euclidee. Nella geometria bidimensionale iperbolica e sferica, vale il teorema. Tuttavia, il problema è ancora aperto per queste geometrie in tre dimensioni.

Riferimenti ^ Gardner, R. J. (1985-02-01). "Un problema di Sallee sui corpi convessi equidecomponibili". Atti dell'American Mathematical Society. 94 (2): 329–332. doi:10.1090/S0002-9939-1985-0784187-9. ISSN 0002-9939. JSTOR 2045399. ^ "Dissezione". ^ Salta su: a b McFarland, Andrea; McFarland, Giovanna; fabbro, James T. (2014). Alfred Tarski. Birkhauser, New York, New York. pp. 77–91. doi:10.1007/978-1-4939-1474-6_5. ISBN 9781493914739. Collegamenti esterni Teorema di Wallace–Bolyai–Gerwien Forbici Congruenza - Una dimostrazione interattiva del teorema di Wallace-Bolyai-Gerwien. Video che mostra uno schizzo della dimostrazione Un esempio del teorema di Bolyai-Gerwien di Sándor Kabai, Szabó Ferenc Holló, e Lajos Szilassi, il Progetto Dimostrazioni Wolfram. Una presentazione sul terzo problema di Hilbert al College of Staten Island CUNY - Abhijit Champanerkar. Dissezione ottimale di un quadrato unitario in un rettangolo Categorie: Geometria piana euclideaTeoremi in geometria discretaDissezione geometrica