Théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien

Théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien (Redirigé à partir du théorème de Bolyai – Gerwien) Aller à la navigation Aller à la recherche Par le théorème de Wallace–Bolyai–Gerwien, un carré peut être découpé en parties et réarrangé en un triangle d'aire égale.

En géométrie, le théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien,[1] nommé d'après William Wallace, Farkas Bolyai et Paul Gerwien, est un théorème lié aux dissections de polygones. Il répond à la question de savoir quand un polygone peut être formé à partir d'un autre en le découpant en un nombre fini de morceaux et en les recomposant par des translations et des rotations. Le théorème de Wallace – Bolyai – Gerwien stipule que cela peut être fait si et seulement si deux polygones ont la même aire.

Wallace avait déjà prouvé le même résultat en 1807.

Selon d'autres sources, Bolyai et Gerwien avaient indépendamment prouvé le théorème dans 1833 et 1835, respectivement.

Contenu 1 Formulation 2 Esquisse d'épreuve 3 Notes sur la preuve 4 Degré de décomposabilité 5 Généralisations 6 Références 7 External links Formulation There are several ways in which this theorem may be formulated. La version la plus courante utilise le concept de "équidécomposabilité" de polygones: deux polygones sont équidécomposables s'ils peuvent être divisés en un nombre fini de triangles qui ne diffèrent que par une certaine isométrie (en fait seulement par une combinaison d'une translation et d'une rotation). Dans ce cas, le théorème de Wallace – Bolyai – Gerwien stipule que deux polygones sont équidécomposables si et seulement s'ils ont la même aire.

Une autre formulation est en termes de congruence en ciseaux: deux polygones sont congruents en ciseaux s'ils peuvent être décomposés en un nombre fini de polygones congruents deux à deux. La congruence en ciseaux est une relation d'équivalence. Dans ce cas, le théorème de Wallace – Bolyai – Gerwien stipule que les classes d'équivalence de cette relation contiennent précisément les polygones qui ont la même aire.

Proof sketch The theorem can be understood in a few steps. Premièrement, chaque polygone peut être découpé en triangles. Il existe quelques méthodes pour cela. Pour les polygones convexes, on peut couper chaque sommet tour à tour, tandis que pour les polygones concaves, cela nécessite plus de soin. Une approche générale qui fonctionne également pour les polygones non simples consisterait à choisir une ligne non parallèle à l'un des côtés du polygone et à tracer une ligne parallèle à celle-ci passant par chacun des sommets du polygone.. Cela divisera le polygone en triangles et trapèzes, qui à leur tour peuvent être convertis en triangles.

Deuxièmement, chacun de ces triangles peut être transformé en un triangle rectangle et ensuite en un rectangle avec un côté de longueur 1. Alternativement, un triangle peut être transformé en un tel rectangle en le transformant d'abord en un parallélogramme, puis en le transformant en un tel rectangle. En faisant cela pour chaque triangle, le polygone peut être décomposé en un rectangle dont l'unité de largeur et de hauteur est égale à sa surface.

Comme cela peut être fait pour deux polygones quelconques, un "lotissement commun" du rectangle entre les deux prouve le théorème. C'est-à-dire, couper le rectangle commun (de taille 1 par sa superficie) selon les deux polygones sera un intermédiaire entre les deux polygones.

Notes about the proof First of all, cette preuve nécessite un polygone intermédiaire. Dans la formulation du théorème à l'aide de ciseaux-congruence, l'utilisation de cet intermédiaire peut être reformulée en utilisant le fait que les congruences en ciseaux sont transitives. Étant donné que le premier polygone et le deuxième polygone sont congrus en ciseaux à l'intermédiaire, ils sont congrus en ciseaux l'un à l'autre.

La preuve de ce théorème est constructive et ne nécessite pas l'axiome du choix, même si d'autres problèmes de dissection (par exemple. Le problème de la quadrature du cercle de Tarski) en avez besoin. Dans ce cas, la décomposition et le remontage peuvent effectivement être effectués "physiquement": les pièces peuvent, en théorie, être découpé avec des ciseaux dans du papier et réassemblé à la main.

Néanmoins, le nombre de pièces nécessaires pour composer un polygone à partir d'un autre en utilisant cette procédure dépasse généralement de loin le nombre minimum de polygones nécessaires.[2] Degree of decomposability Consider two equidecomposable polygons P and Q. Le nombre minimum n de pièces nécessaires pour composer un polygone Q à partir d'un autre polygone P est noté σ(P,Q).

Selon les polygones, il est possible d'estimer des bornes supérieure et inférieure pour σ(P,Q). Par exemple, Alfred Tarski a prouvé que si P est convexe et que les diamètres de P et Q sont respectivement donnés par d(P) et d(Q), alors[3] {style d'affichage sigma (P,Q)gq {frac {ré(P)}{ré(Q)}}.} Si Px est un rectangle de côtés a · x et a ·(1/X) et Q est un rectangle de taille a, then Px and Q are equidecomposable for every x > 0. Une borne supérieure pour σ(Px,Q) est donné par[3] {style d'affichage sigma (P_{X},Q)leq 2 + plafond gauche {sqrt {x^{2}-1}}droit ,quad {texte{pour }}xgeq 1.} Depuis p(Px,Q) =p(P(1/X),Q), on a aussi ça {style d'affichage sigma gauche(P_{frac {1}{X}},OK)leq 2 + plafond gauche {frac {sqrt {1-x^{2}}}{X}}droit ,quad {texte{pour }}xleq 1.} Generalisations The analogous statement about polyhedra in three dimensions, connu sous le nom de troisième problème de Hilbert, c'est faux, comme le prouve Max Dehn dans 1900. Le problème a également été considéré dans certaines géométries non euclidiennes. En géométrie bidimensionnelle hyperbolique et sphérique, le théorème tient. Cependant, le problème est encore ouvert pour ces géométries en trois dimensions.

Références ^ Gardner, R. J. (1985-02-01). "Un problème de Sallee sur les corps convexes équidécomposables". Actes de l'American Mathematical Society. 94 (2): 329–332. est ce que je:10.1090/S0002-9939-1985-0784187-9. ISSN 0002-9939. JSTOR 2045399. ^ "Dissection". ^ Sauter à: a b McFarland, André; Mc Farland, Jeanne; Forgeron, Jacques T.. (2014). Alfred Tarski. Birkhauser, New York, New York. pp. 77–91. est ce que je:10.1007/978-1-4939-1474-6_5. ISBN 9781493914739. Liens externes Wallace–Bolyai–Gerwien Théorème Ciseaux Congruence - Une démonstration interactive du théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien. Vidéo montrant un croquis de la preuve Un exemple du théorème de Bolyai-Gerwien par Sándor Kabai, Szabo Ferenc Hollo, et Lajos Szilassi, le projet de démonstration Wolfram. Une présentation sur le troisième problème de Hilbert au College of Staten Island CUNY - Abhijit Champanerkar. Dissection optimale d'un carré unitaire dans un rectangle Catégories: Géométrie plane euclidienneThéorèmes en géométrie discrèteDissection géométrique