Satz von Wallace-Bolyai-Gerwien

Satz von Wallace-Bolyai-Gerwien (Umgeleitet vom Bolyai-Gerwien-Theorem) Zur Navigation springen Zur Suche springen Nach dem Wallace-Bolyai-Gerwien-Theorem, ein Quadrat kann in Teile zerschnitten und zu einem Dreieck gleicher Fläche neu angeordnet werden.

In der Geometrie, das Wallace-Bolyai-Gerwien-Theorem,[1] benannt nach William Wallace, Farkas Bolyai und Paul Gerwien, ist ein Theorem, das sich auf die Zerlegung von Polygonen bezieht. Es beantwortet die Frage, wann ein Polygon aus einem anderen gebildet werden kann, indem man es in endlich viele Teile zerschneidet und diese durch Translationen und Rotationen wieder zusammensetzt. Das Wallace-Bolyai-Gerwien-Theorem besagt, dass dies genau dann möglich ist, wenn zwei Polygone dieselbe Fläche haben.

Wallace hatte das gleiche Ergebnis bereits in bewiesen 1807.

Nach anderen Quellen, Bolyai und Gerwien hatten den Satz unabhängig voneinander bewiesen 1833 und 1835, beziehungsweise.

Inhalt 1 Formulierung 2 Beweisskizze 3 Anmerkungen zum Beweis 4 Grad der Zersetzbarkeit 5 Verallgemeinerungen 6 Verweise 7 External links Formulation There are several ways in which this theorem may be formulated. Die gebräuchlichste Version verwendet das Konzept von "gleiche Zerlegbarkeit" von Polygonen: Zwei Polygone sind gleich zerlegbar, wenn sie in endlich viele Dreiecke zerlegt werden können, die sich nur durch eine gewisse Isometrie unterscheiden (tatsächlich nur durch eine Kombination aus Translation und Rotation). In diesem Fall besagt das Wallace-Bolyai-Gerwien-Theorem, dass zwei Polygone genau dann gleich zerlegbar sind, wenn sie dieselbe Fläche haben.

Eine andere Formulierung betrifft die Scherenkongruenz: Zwei Polygone sind scherenkongruent, wenn sie sich in endlich viele Polygone zerlegen lassen, die paarweise kongruent sind. Die Scherenkongruenz ist eine Äquivalenzrelation. In diesem Fall besagt das Wallace-Bolyai-Gerwien-Theorem, dass die Äquivalenzklassen dieser Relation genau die flächengleichen Polygone enthalten.

Proof sketch The theorem can be understood in a few steps. zuerst, Jedes Polygon kann in Dreiecke geschnitten werden. Dafür gibt es einige Methoden. Bei konvexen Polygonen kann man jede Ecke der Reihe nach abschneiden, während dies bei konkaven Polygonen mehr Sorgfalt erfordert. Ein allgemeiner Ansatz, der auch für nicht einfache Polygone funktioniert, wäre, eine Linie zu wählen, die zu keiner der Seiten des Polygons parallel ist, und eine Linie parallel zu dieser durch jeden der Eckpunkte des Polygons zu ziehen. Dadurch wird das Polygon in Dreiecke und Trapeze unterteilt, die wiederum in Dreiecke umgewandelt werden können.

Zweitens, Jedes dieser Dreiecke kann in ein rechtwinkliges Dreieck und anschließend in ein Rechteck mit einer Seitenlänge umgewandelt werden 1. Alternative, Ein Dreieck kann in ein solches Rechteck umgewandelt werden, indem es zuerst in ein Parallelogramm und dann in ein solches Rechteck verwandelt wird. Indem Sie dies für jedes Dreieck tun, Das Polygon kann in ein Rechteck zerlegt werden, dessen Einheitsbreite und -höhe seiner Fläche entspricht.

Da dies für zwei beliebige Polygone durchgeführt werden kann, a "gemeinsame Unterteilung" des Rechtecks ​​dazwischen beweist den Satz. Das ist, Schneiden des gemeinsamen Rechtecks (von Größe 1 durch seine Fläche) nach beiden Polygonen wird ein Zwischenstück zwischen beiden Polygonen sein.

Notes about the proof First of all, dieser Beweis erfordert ein Zwischenpolygon. Bei der Formulierung des Theorems mit Scherenkongruenz, Die Verwendung dieses Zwischenprodukts kann neu formuliert werden, indem die Tatsache verwendet wird, dass Scherenkongruenzen transitiv sind. Da sowohl das erste Polygon als auch das zweite Polygon scherenkongruent zum Zwischenstück sind, sie sind scherenkongruent zueinander.

Der Beweis dieses Satzes ist konstruktiv und erfordert kein Wahlaxiom, obwohl einige andere Dissektionsprobleme (z.B. Tarskis Problem der Quadratur des Kreises) brauche es. In diesem Fall, die Zerlegung und der erneute Zusammenbau können tatsächlich durchgeführt werden "physisch": die Stücke können, in der Theorie, mit einer Schere aus Papier geschnitten und von Hand wieder zusammengesetzt werden.

dennoch, die Anzahl der Teile, die erforderlich ist, um ein Polygon aus einem anderen unter Verwendung dieses Verfahrens zusammenzusetzen, übersteigt im Allgemeinen bei weitem die erforderliche Mindestanzahl von Polygonen.[2] Degree of decomposability Consider two equidecomposable polygons P and Q. Die Mindestanzahl n von Stücken, die erforderlich ist, um ein Polygon Q aus einem anderen Polygon P zusammenzusetzen, wird mit σ bezeichnet(P,Q).

Abhängig von den Polygonen, es ist möglich, obere und untere Grenzen für σ abzuschätzen(P,Q). Zum Beispiel, Alfred Tarski hat bewiesen, dass wenn P konvex ist und die Durchmesser von P und Q jeweils durch d gegeben sind(P) und d(Q), dann[3] {Display-Sigma (P,Q)geq {frac {d(P)}{d(Q)}}.} Wenn Px ein Rechteck mit den Seiten a · x und a ·(1/x) und Q ist ein Rechteck der Größe a, then Px and Q are equidecomposable for every x > 0. Eine Obergrenze für σ(Px,Q) wird von gegeben[3] {Display-Sigma (P_{x},Q)leq 2+linke Decke {quadrat {x^{2}-1}}Rechts ,Quad {Text{zum }}xgeq 1.} Seit p(Px,Q) = p(P(1/x),Q), das haben wir auch {Anzeigestil Sigma links(P_{frac {1}{x}},Qrichtig)leq 2+linke Decke {frac {quadrat {1-x^{2}}}{x}}Rechts ,Quad {Text{zum }}xleq 1.} Generalisations The analogous statement about polyhedra in three dimensions, bekannt als Hilberts drittes Problem, is false, wie bewiesen von Max Dehn in 1900. Das Problem wurde auch in einigen nicht-euklidischen Geometrien betrachtet. In zweidimensionaler hyperbolischer und sphärischer Geometrie, der Satz gilt. Jedoch, das Problem ist für diese Geometrien in drei Dimensionen noch offen.

Referenzen ^ Gardner, R. J. (1985-02-01). "Ein Problem von Sallee auf gleich zerlegbaren konvexen Körpern". Verfahren der American Mathematical Society. 94 (2): 329–332. doi:10.1090/S0002-9939-1985-0784187-9. ISSN 0002-9939. JSTOR 2045399. ^ "Präparation". ^ Nach oben springen: a b McFarland, Andreas; McFarland, Johanna; Schmied, Jakob T. (2014). Alfred Tarsky. Birkhäuser, New York, NY. pp. 77–91. doi:10.1007/978-1-4939-1474-6_5. ISBN 9781493914739. Externe Links Satz von Wallace–Bolyai–Gerwien Schere Kongruenz - Eine interaktive Demonstration des Wallace-Bolyai-Gerwien-Theorems. Video mit einer Skizze des Beweises Ein Beispiel für den Satz von Bolyai-Gerwien von Sándor Kabai, Szabó Ferenc Holló, und Lajos Szilassi, das Wolfram-Demonstrationsprojekt. Eine Präsentation über Hilberts drittes Problem am College of Staten Island CUNY - Abhijit Champanerkar. Optimale Zerlegung eines Einheitsquadrats in einem Rechteck Kategorien: Euklidische ebene GeometrieSätze in der diskreten GeometrieGeometrische Dissektion