Uniformisierungssatz

Uniformisierungssatz In der Mathematik, Der Uniformisierungssatz besagt, dass jede einfach zusammenhängende Riemann-Fläche konform äquivalent zu einer von drei Riemann-Flächen ist: die offene Einheitsscheibe, die komplexe Ebene, oder die Riemann-Sphäre. Der Satz ist eine Verallgemeinerung des Riemann-Abbildungssatzes von einfach zusammenhängenden offenen Teilmengen der Ebene auf beliebige einfach zusammenhängende Riemann-Flächen.

Da jede Riemann-Fläche eine universelle Abdeckung hat, die eine einfach zusammenhängende Riemann-Fläche ist, Der Uniformisierungssatz führt zu einer Klassifizierung von Riemann-Flächen in drei Typen: diejenigen, die die Riemann-Kugel als universelle Hülle haben ("elliptisch"), die mit dem Flugzeug als Universalabdeckung ("parabolisch") und solche mit der Einheitsscheibe als Universalabdeckung ("hyperbolisch"). Daraus folgt weiter, dass jede Riemannsche Fläche eine Riemannsche Metrik konstanter Krümmung zulässt, wo die Krümmung angenommen werden kann 1 in der Ellipse, 0 in der Parabel und -1 im hyperbolischen Fall.

Das Uniformisierungstheorem ergibt auch eine ähnliche Klassifizierung von geschlossenen orientierbaren Riemannschen 2-Mannigfaltigkeiten in elliptische/parabolische/hyperbolische Fälle. Jede solche Mannigfaltigkeit hat eine konform äquivalente Riemannsche Metrik mit konstanter Krümmung, wo die Krümmung angenommen werden kann 1 in der Ellipse, 0 in der Parabel und -1 im hyperbolischen Fall.

Inhalt 1 Geschichte 2 Klassifikation zusammenhängender Riemann-Flächen 3 Klassifikation geschlossen orientierter Riemannscher 2-Mannigfaltigkeiten 4 Beweismethoden 4.1 Hilbert-Raum-Methoden 4.2 Nichtlineare Strömungen 5 Verallgemeinerungen 6 Siehe auch 7 Anmerkungen 8 Verweise 8.1 Historische Referenzen 8.2 Historische Erhebungen 8.3 Harmonische Funktionen 8.4 Nichtlineare Differentialgleichungen 8.5 Allgemeine Referenzen 9 Externe Links Geschichte Felix Klein (1883) und Henri Poincaré (1882) vermutete den Uniformisierungssatz für (die Riemannschen Flächen von) algebraische Kurven. Henri Poincaré (1883) dehnte dies auf willkürliche mehrwertige analytische Funktionen aus und lieferte informelle Argumente zu seinen Gunsten. Die ersten rigorosen Beweise des allgemeinen Uniformisierungssatzes wurden von Poincaré gegeben (1907) und Paul Köbe (1907a, 1907b, 1907c). Paul Koebe gab später mehrere weitere Beweise und Verallgemeinerungen. Die Geschichte ist in Grau beschrieben (1994); eine vollständige Darstellung der Uniformisierung bis zum 1907 Papiere von Koebe und Poincaré mit ausführlichen Probeabzügen in de Saint-Gervais (2016) (das Bourbaki-ähnliche Pseudonym der Gruppe von fünfzehn Mathematikern, die diese Veröffentlichung gemeinsam erstellt haben).

Klassifikation zusammenhängender Riemann-Flächen Jede Riemann-Fläche ist der Quotient von frei, eigentliche und holomorphe Wirkung einer diskreten Gruppe auf ihre universelle Hülle und diese universelle Hülle, eine einfach zusammenhängende Riemann-Fläche ist, ist holomorph isomorph (sagt man auch: "konform äquivalent" oder "biholomorph") zu einem der folgenden: die Riemann-Kugel die komplexe Ebene die Einheitsscheibe in der komplexen Ebene.

Für kompakte Riemann-Flächen, diejenigen mit universeller Abdeckung der Einheitsscheibe sind genau die hyperbolischen Flächen der Gattung größer als 1, alle mit nicht-abelscher Fundamentalgruppe; diejenigen mit universeller Abdeckung der komplexen Ebene sind die Riemann-Flächen des Geschlechts 1, nämlich die komplexen Tori- oder Ellipsenkurven mit Fundamentalgruppe Z2; und diejenigen mit universeller Abdeckung der Riemann-Sphäre sind diejenigen der Gattung Null, nämlich die Riemann-Sphäre selbst, mit trivialer Fundamentalgruppe.

Klassifikation geschlossener orientierter Riemannscher 2-Mannigfaltigkeiten Auf einer orientierten 2-Mannigfaltigkeit, Eine Riemannsche Metrik induziert eine komplexe Struktur unter Verwendung des Übergangs zu isothermen Koordinaten. Wenn die Riemannsche Metrik lokal gegeben ist als {displaystyle ds^{2}=E,dx^{2}+2F,dx,du + G,dy^{2},} dann in der komplexen Koordinate z = x + ich, es nimmt die Form an {displaystyle ds^{2}=Lambda |dz+mu ,d{überstreichen {z}}|^{2},} wo {Anzeigestil Lambda ={frac {1}{4}}links(E+G+2{quadrat {EG-F^{2}}}Rechts), im ={frac {1}{4Lambda }}(E-G+2iF),} so that λ and μ are smooth with λ > 0 und |m| < 1. In isothermal coordinates (u, v) the metric should take the form {displaystyle ds^{2}=rho (du^{2}+dv^{2})} with ρ > 0 glatt. Die komplexe Koordinate w = u + i v befriedigt {Anzeigestil rho ,|dw|^{2}= rho |w_{z}|^{2}links|dz+{w_{überstreichen {z}} über w_{z}},d{überstreichen {z}}Rechts|^{2},} damit die Koordinaten (u, v) wird lokal isotherm sein, vorausgesetzt, die Beltrami-Gleichung {Anzeigestil {teilweise w über teilweise {überstreichen {z}}}= ein {partielles w über partielles z}} hat eine lokal diffeomorphe Lösung, d.h. eine Lösung mit nicht verschwindendem Jacobian.

Diese Bedingungen können äquivalent in Bezug auf die äußere Ableitung und den Hodge-Sternoperator ∗ formuliert werden.[1] u und v sind Isothermenkoordinaten, wenn ∗du = dv, wobei ∗ auf Differentialen durch ∗ definiert ist(p dx + Sie) = −q dx + für dich. Sei ∆ = ∗d∗d der Laplace–Beltrami-Operator. Nach der Standard-Ellipsentheorie, u kann so gewählt werden, dass es in der Nähe eines gegebenen Punktes harmonisch ist, d.h. Δ u = 0, mit du nicht verschwindend. Nach dem Lemma von Poincaré hat dv = ∗du genau dann eine lokale Lösung v, wenn d(∗du) = 0. Diese Bedingung ist äquivalent zu Δ u = 0, kann also immer lokal gelöst werden. Da du nicht Null ist und das Quadrat des Hodge-Sternoperators auf 1-Formen -1 ist, du und dv müssen linear unabhängig sein, so dass u und v lokale Isothermenkoordinaten ergeben.

Die Existenz isothermischer Koordinaten kann durch andere Methoden nachgewiesen werden, zum Beispiel unter Verwendung der allgemeinen Theorie der Beltrami-Gleichung, wie in Ahlfors (2006), oder durch direkte elementare Methoden, wie in Chern (1955) und Jost (2006).

Aus dieser Korrespondenz mit kompakten Riemannschen Flächen, Es folgt eine Klassifizierung geschlossener orientierbarer Riemannscher 2-Mannigfaltigkeiten. Jede solche ist konform äquivalent zu einer einzigartigen geschlossenen 2-Mannigfaltigkeit mit konstanter Krümmung, also ein Quotient aus einem der folgenden durch eine freie Wirkung einer diskreten Untergruppe einer Isometriegruppe: Die Sphäre (Krümmung +1) die Euklidische Ebene (Krümmung 0) die hyperbolische Ebene (Krümmung −1).

Gattung 0 Gattung 1 Gattung 2 Gattung 3 Der erste Fall ergibt die 2-Sphäre, die einzigartige 2-Mannigfaltigkeit mit konstanter positiver Krümmung und damit positiver Euler-Charakteristik (gleicht 2). Die zweite gibt alle flachen 2-Mannigfaltigkeiten, d.h. die Tori, die Euler-Charakteristik haben 0. Der dritte Fall deckt alle 2-Mannigfaltigkeiten mit konstanter negativer Krümmung ab, d.h. die hyperbolischen 2-Mannigfaltigkeiten, die alle eine negative Euler-Charakteristik haben. Die Klassifizierung steht im Einklang mit dem Gauß-Bonnet-Theorem, was das für eine geschlossene Fläche mit konstanter Krümmung impliziert, das Vorzeichen dieser Krümmung muss mit dem Vorzeichen der Euler-Charakteristik übereinstimmen. Die Euler-Charakteristik ist gleich 2 – 2g, wobei g das Geschlecht der 2-Mannigfaltigkeit ist, d.h. die Zahl der "Löcher".

Beweismethoden Viele klassische Beweise des Uniformisierungssatzes beruhen auf der Konstruktion einer reellwertigen harmonischen Funktion auf der einfach zusammenhängenden Riemannschen Fläche, möglicherweise mit einer Singularität an einem oder zwei Punkten und oft entsprechend einer Form der Greenschen Funktion. Vier Verfahren zum Konstruieren der harmonischen Funktion werden weit verbreitet verwendet: die Perron-Methode; das Schwarz-Wechselverfahren; Dirichletsches Prinzip; und Weyls Methode der orthogonalen Projektion. Im Zusammenhang mit geschlossenen Riemannschen 2-Mannigfaltigkeiten, Mehrere moderne Beweise berufen sich auf nichtlineare Differentialgleichungen im Raum konform äquivalenter Metriken. Dazu gehören die Beltrami-Gleichung aus der Teichmüller-Theorie und eine äquivalente Formulierung in Bezug auf harmonische Abbildungen; Liouvilles Gleichung, bereits von Poincaré untersucht; und Ricci fließen zusammen mit anderen nichtlinearen Flüssen.

Der Satz von Rado zeigt, dass jede Riemannsche Fläche automatisch zweitabzählbar ist. Obwohl der Satz von Rado häufig in Beweisen des Uniformisierungssatzes verwendet wird, einige Beweise wurden so formuliert, dass der Satz von Rado zur Konsequenz wird. Die zweite Abzählbarkeit erfolgt automatisch für kompakte Riemann-Flächen.

Hilbert-Raum-Methoden Siehe auch: Planare Riemann-Oberfläche § Uniformisierungssatz In 1913 Hermann Weyl veröffentlichte sein klassisches Lehrbuch "Die Idee der Riemannschen Fläche" basierend auf seinen Göttinger Vorlesungen aus 1911 zu 1912. Es war das erste Buch, das die Theorie der Riemannschen Flächen in einem modernen Rahmen präsentierte, und hat durch seine drei Auflagen seinen Einfluss behalten. Felix Klein gewidmet, Die erste Ausgabe enthielt Hilberts Behandlung des Dirichlet-Problems unter Verwendung von Hilbert-Raumtechniken; Brouwers Beiträge zur Topologie; und Koebes Beweis des Uniformisierungssatzes und seiner nachfolgenden Verbesserungen. Viel später Weyl (1940) entwickelte seine Methode der orthogonalen Projektion, die eine optimierte Annäherung an das Dirichlet-Problem ermöglichte, auch basierend auf dem Hilbert-Raum; diese Theorie, die Weyls Lemma über elliptische Regelmäßigkeit enthielt, war verwandt mit Hodges Theorie der harmonischen Integrale; und beide Theorien wurden in die moderne Theorie der elliptischen Operatoren und der L2-Sobolev-Räume aufgenommen. In der dritten Auflage seines Buches aus 1955, übersetzt ins Englische in Weyl (1964), Weyl übernahm die moderne Definition der Differentialmannigfaltigkeit, gegenüber Triangulationen bevorzugt, entschied sich jedoch, seine Methode der orthogonalen Projektion nicht anzuwenden. Springer (1957) folgte Weyls Darstellung des Uniformisierungssatzes, verwendet jedoch die Methode der orthogonalen Projektion, um das Dirichlet-Problem zu behandeln. Kodaira (2007) beschreibt den Ansatz in Weyls Buch und auch, wie man ihn mit der Methode der orthogonalen Projektion verkürzt. Ein zugehöriges Konto finden Sie in Donaldson (2011).

Nichtlineare Strömungen Siehe auch: Ricci-Fluss § Beziehung zur Uniformisierung und Geometrisierung Bei der Einführung des Ricci-Flusses, Richard S. Hamilton zeigte, dass der Ricci-Fluss auf einer geschlossenen Oberfläche die Metrik vereinheitlicht (d.h., die Strömung konvergiert zu einer konstanten Krümmungsmetrik). Jedoch, sein Beweis stützte sich auf das Uniformisierungstheorem. Der fehlende Schritt betraf den Ricci-Fluss auf der 2-Sphäre: eine Methode zur Vermeidung einer Berufung auf das Uniformisierungstheorem (für Gattung 0) wurde von Chen bereitgestellt, Lu & Tian (2006);[2] a short self-contained account of Ricci flow on the 2-sphere was given in Andrews & Bryan (2010).

Verallgemeinerungen Koebe bewies den allgemeinen Uniformisierungssatz, der besagt, dass eine Riemannsche Fläche homöomorph zu einer offenen Teilmenge der komplexen Kugel ist (oder äquivalent, wenn jede Jordan-Kurve es trennt), dann ist es konform äquivalent zu einer offenen Teilmenge der komplexen Kugel.

Im 3 Maße, es gibt 8 Geometrien, die acht Thurston-Geometrien genannt werden. Nicht jede 3-Mannigfaltigkeit lässt eine Geometrie zu, aber die von Grigori Perelman bewiesene Geometrisierungsvermutung von Thurston besagt, dass jede 3-Mannigfaltigkeit in Teile geschnitten werden kann, die geometrisierbar sind.

The simultaneous uniformization theorem of Lipman Bers shows that it is possible to simultaneously uniformize two compact Riemann surfaces of the same genus >1 with the same quasi-Fuchsian group.

Das messbare Riemann-Abbildungstheorem zeigt allgemeiner, dass die Abbildung auf eine offene Teilmenge der komplexen Sphäre im Uniformisierungssatz als quasikonforme Abbildung mit einem beliebigen gegebenen begrenzten messbaren Beltrami-Koeffizienten gewählt werden kann.

Siehe auch p-adisches Uniformisierungstheorem. Notes ^ DeTurck & Kazdan 1981; Taylor 1996a, pp. 377–378 ^ Brandl 2010 Referenzen Historische Referenzen Schwarz, H. EIN. (1870), "Über einen Grenzübergang durch alternierendes Verfahren", Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich, 15: 272–286, JFM 02.0214.02. Klein, Felix (1883), "Neue Beiträge zur Riemann'schen Functionentheorie", Mathematische Annalen, 21 (2): 141–218, doi:10.1007/BF01442920, ISSN 0025-5831, JFM 15.0351.01, S2CID 120465625 Köbe, P. (1907a), "Über die Uniformisierung reeller analytischer Kurven", Göttinger Nachrichten: 177–190, JFM 38.0453.01 Köbe, P. (1907b), "Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven", Göttinger Nachrichten: 191–210, JFM 38.0454.01 Köbe, P. 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