# Uniform integrability

Uniform integrability (Redirected from Dunford–Pettis theorem) Ir para a navegação Ir para a pesquisa Em matemática, uniform integrability is an important concept in real analysis, functional analysis and measure theory, and plays a vital role in the theory of martingales.

Conteúdo 1 Measure-theoretic definition 2 Probability definition 3 Tightness and uniform integrability 4 Related corollaries 5 Relevant theorems 6 Relation to convergence of random variables 7 Citações 8 References Measure-theoretic definition Uniform integrability is an extension to the notion of a family of functions being dominated in {estilo de exibição L_{1}} which is central in dominated convergence. Several textbooks on real analysis and measure theory often use the following definition:[1][2] Definition A: Deixar {estilo de exibição (X,{mathfrak {M}},dentro )} be a positive measure space. A set {displaystyle Phi subset L^{1}(dentro )} is called uniformly integrable if {displaystyle sup _{fin Phi }|f|_{EU_{1}(dentro )}0} there corresponds a {displaystyle delta >0} such that {displaystyle int _{E}|f|,dmu g}}|f|,dm = 0} Onde {estilo de exibição L_{+}^{1}(dentro )={gin L^{1}(dentro ):ggeq 0}} .

For finite measure spaces the following result[4] follows from Definition H: Teorema 1: Se {estilo de exibição (X,{mathfrak {M}},dentro )} é um (positivo) finite measure space, then a set {displaystyle Phi subset L^{1}(dentro )} is called uniformly integrable if and only if {displaystyle inf _{ageq 0}e aí _{fin Phi }int_{{|f|>a}}|f|,dm = 0} May textbooks in probability present Theorem 1 as the definition of uniform integrability in Probability spaces. When the space {estilo de exibição (X,{mathfrak {M}},dentro )} é {estilo de exibição sigma } -finito, Definition H yields the following equivalency: Teorema 2: Deixar {estilo de exibição (X,{mathfrak {M}},dentro )} seja um {estilo de exibição sigma } -finite measure space, e {displaystyle hin L^{1}(dentro )} be such that {displaystyle h>0} quase com certeza. A set {displaystyle Phi subset L^{1}(dentro )} is called uniformly integrable if and only if {displaystyle sup _{fin Phi }|f|_{EU_{1}(dentro )}0} , there exits {displaystyle delta >0} de tal modo que {displaystyle sup _{fin Phi }int_{UMA}|f|,dmu 0} existe {displaystyle delta >0} de tal modo que, for every measurable {estilo de exibição A} de tal modo que {estilo de exibição P(UMA)leq delta } e cada {estilo de exibição X} dentro {estilo de exibição {matemática {C}}} , {nome do operador de estilo de exibição {E} (|X|EU_{UMA})leq varepsilon } .

or alternatively 2. A class {estilo de exibição {matemática {C}}} of random variables is called uniformly integrable (UI) if there exists {displaystyle Kin [0,infty )} de tal modo que {nome do operador de estilo de exibição {E} (|X|EU_{|X|geq K})leq varepsilon {texto{ for all X}}dentro {matemática {C}}} , Onde {estilo de exibição I_{|X|geq K}} is the indicator function {estilo de exibição I_{|X|geq K}={começar{casos}1&{texto{E se }}|X|geq K,\0&{texto{E se }}|X|0} , existe {displaystyle a>0} de tal modo que {estilo de exibição P(|X|>a)leq delta } para todos {displaystyle Xin {matemática {C}}} .[8] This however, does not mean that the family of measures {estilo de exibição {matemática {V}}_{matemática {C}}:={Grande {}dentro _{X}:Amapsto int _{UMA}|X|,dP,,Xin {matemática {C}}{Grande }}} is tight.

There is another notion of uniformity, slightly different than uniform integrability, which also has many applications in Probability and measure theory, and which does not require random variables to have a finite integral[9] Definição: Suponha {estilo de exibição (Ómega ,{matemática {F}},P)} is a probability space. A classed {estilo de exibição {matemática {C}}} of random variables is uniformly absolutely continuous with respect to {estilo de exibição P} if for any {displaystyle varepsilon >0} , there is {displaystyle delta >0} de tal modo que {estilo de exibição E[|X|EU_{UMA}]K)+nome do operador {E} (|X|,|X|1} ) is uniformly integrable. Relevant theorems In the following we use the probabilistic framework, but regardless of the finiteness of the measure, by adding the boundedness condition on the chosen subset of {estilo de exibição L^{1}(dentro )} .

Dunford–Pettis theorem[13][14] A class of random variables {estilo de exibição X_{n}subset L^{1}(dentro )} is uniformly integrable if and only if it is relatively compact for the weak topology {estilo de exibição sigma (L^{1},L^{infty })} . de la Vallée-Poussin theorem[15][16] The family {estilo de exibição {X_{alfa }}_{alpha in mathrm {UMA} }subset L^{1}(dentro )} is uniformly integrable if and only if there exists a non-negative increasing convex function {estilo de exibição G(t)} de tal modo que {displaystyle lim _{tto infty }{fratura {G(t)}{t}}=infty {texto{ e }}e aí _{alfa }nome do operador {E} (G(|X_{alfa }|))

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