Integrabilità uniforme

Integrabilità uniforme (Redirected from Dunford–Pettis theorem) Vai alla navigazione Vai alla ricerca In matematica, uniform integrability is an important concept in real analysis, functional analysis and measure theory, and plays a vital role in the theory of martingales.

Contenuti 1 Measure-theoretic definition 2 Probability definition 3 Tightness and uniform integrability 4 Related corollaries 5 Relevant theorems 6 Relation to convergence of random variables 7 Citazioni 8 References Measure-theoretic definition Uniform integrability is an extension to the notion of a family of functions being dominated in {stile di visualizzazione L_{1}} which is central in dominated convergence. Several textbooks on real analysis and measure theory often use the following definition:[1][2] Definition A: Permettere {stile di visualizzazione (X,{mathfrak {M}},in )} be a positive measure space. A set {displaystyle Phi subset L^{1}(in )} is called uniformly integrable if {stile di visualizzazione sup_{fin Phi }|f|_{L_{1}(in )}0} there corresponds a {displaystyle delta >0} such that {displaystyle int _{E}|f|,dmu g}}|f|,dm =0} dove {stile di visualizzazione L_{+}^{1}(in )={gin L^{1}(in ):ggeq 0}} .

For finite measure spaces the following result[4] follows from Definition H: Teorema 1: Se {stile di visualizzazione (X,{mathfrak {M}},in )} è un (positivo) finite measure space, then a set {displaystyle Phi subset L^{1}(in )} is called uniformly integrable if and only if {displaystyle inf _{ageq 0}sup _{fin Phi }int _{{|f|>a}}|f|,dm =0} May textbooks in probability present Theorem 1 as the definition of uniform integrability in Probability spaces. When the space {stile di visualizzazione (X,{mathfrak {M}},in )} è {displaystyle sigma } -finito, Definition H yields the following equivalency: Teorema 2: Permettere {stile di visualizzazione (X,{mathfrak {M}},in )} essere un {displaystyle sigma } -finite measure space, e {displaystyle hin L^{1}(in )} be such that {displaystyle h>0} quasi sicuramente. A set {displaystyle Phi subset L^{1}(in )} is called uniformly integrable if and only if {stile di visualizzazione sup_{fin Phi }|f|_{L_{1}(in )}0} , there exits {displaystyle delta >0} tale che {stile di visualizzazione sup_{fin Phi }int _{UN}|f|,dm 0} lì esiste {displaystyle delta >0} tale che, for every measurable {stile di visualizzazione A} tale che {stile di visualizzazione P(UN)leq delta } e ogni {stile di visualizzazione X} in {stile di visualizzazione {matematico {C}}} , {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {e} (|X|IO_{UN})leq varepsilon } .

or alternatively 2. A class {stile di visualizzazione {matematico {C}}} of random variables is called uniformly integrable (UI) if there exists {displaystyle Kin [0,infty )} tale che {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {e} (|X|IO_{|X|geq K})leq varepsilon {testo{ for all X}}in {matematico {C}}} , dove {stile di visualizzazione I_{|X|geq K}} is the indicator function {stile di visualizzazione I_{|X|geq K}={inizio{casi}1&{testo{Se }}|X|geq K,\0&{testo{Se }}|X|0} , lì esiste {displaystyle a>0} tale che {stile di visualizzazione P(|X|>a)leq delta } per tutti {displaystyle Xin {matematico {C}}} .[8] This however, does not mean that the family of measures {stile di visualizzazione {matematico {V}}_{matematico {C}}:={Grande {}in _{X}:Amapsto int _{UN}|X|,dp,,Xin {matematico {C}}{Grande }}} is tight.

There is another notion of uniformity, slightly different than uniform integrability, which also has many applications in Probability and measure theory, and which does not require random variables to have a finite integral[9] Definizione: Supponiamo {stile di visualizzazione (Omega ,{matematico {F}},P)} is a probability space. A classed {stile di visualizzazione {matematico {C}}} of random variables is uniformly absolutely continuous with respect to {stile di visualizzazione P} if for any {displaystyle varepsilon >0} , there is {displaystyle delta >0} tale che {stile di visualizzazione E[|X|IO_{UN}]K)+nome operatore {e} (|X|,|X|1} ) is uniformly integrable. Relevant theorems In the following we use the probabilistic framework, but regardless of the finiteness of the measure, by adding the boundedness condition on the chosen subset of {stile di visualizzazione L^{1}(in )} .

Dunford–Pettis theorem[13][14] A class of random variables {stile di visualizzazione X_{n}subset L^{1}(in )} is uniformly integrable if and only if it is relatively compact for the weak topology {displaystyle sigma (L^{1},L^{infty })} . de la Vallée-Poussin theorem[15][16] The family {stile di visualizzazione {X_{alfa }}_{alpha in mathrm {UN} }subset L^{1}(in )} is uniformly integrable if and only if there exists a non-negative increasing convex function {stile di visualizzazione G(t)} tale che {displaystyle lim _{tto infty }{frac {G(t)}{t}}=infty {testo{ e }}sup _{alfa }nome operatore {e} (G(|X_{alfa }|))

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