Uniform boundedness principle

Na matemática, the uniform boundedness principle or Banach–Steinhaus theorem is one of the fundamental results in functional analysis. Together with the Hahn–Banach theorem and the open mapping theorem, it is considered one of the cornerstones of the field. In its basic form, it asserts that for a family of continuous linear operators (and thus bounded operators) whose domain is a Banach space, pointwise boundedness is equivalent to uniform boundedness in operator norm.

The theorem was first published in 1927 by Stefan Banach and Hugo Steinhaus, but it was also proven independently by Hans Hahn.

Conteúdo 1 Teorema 2 Corolários 3 Exemplo: pointwise convergence of Fourier series 4 Generalizações 4.1 Barrelled spaces 4.2 Uniform boundedness in topological vector spaces 4.3 Generalizations involving nonmeager subsets 4.3.1 Complete metrizable domain 5 Veja também 6 Notas 7 Citações 8 Bibliography Theorem Uniform Boundedness Principle — Let {estilo de exibição X} be a Banach space, {estilo de exibição Y} a normed vector space and {estilo de exibição B(X,S)} the space of all continuous linear operators from {estilo de exibição X} em {estilo de exibição Y} . Suponha que {estilo de exibição F} is a collection of continuous linear operators from {estilo de exibição X} para {estilo de exibição Y.} Se {displaystyle sup _{Tin F}|T(x)|_{S}0} de tal modo que {estilo de exibição {overline {B_{varepsilon }(x_{0})}}~:=~left{xin X,:,|x-x_{0}|leq varepsilon right}~subseteq ~X_{m}.} Deixar {displaystyle uin X} com {estilo de exibição |você|leq 1} e {displaystyle Tin F.} Então: {estilo de exibição {começar{alinhado}|T(você)|_{S}&=varepsilon ^{-1}deixei|Tleft(x_{0}+varepsilon uright)-Tleft(x_{0}certo)certo|_{S}&[{texto{ by linearity of }}T]\&leq varepsilon ^{-1}deixei(deixei|T(x_{0}+varepsilon u)certo|_{S}+deixei|T(x_{0})certo|_{S}certo)\&leq varepsilon ^{-1}(m+m).&[{texto{ desde }} x_{0}+varepsilon u, x_{0}in X_{m}]\fim{alinhado}}} Taking the supremum over {estilo de exibição você} in the unit ball of {estilo de exibição X} and over {displaystyle Tin F} segue que {displaystyle sup _{Tin F}|T|_{B(X,S)}~leq ~2varepsilon ^{-1}m~<~infty .} There are also simple proofs not using the Baire theorem (Sokal 2011). Corollaries Corollary — If a sequence of bounded operators {displaystyle left(T_{n}right)} converges pointwise, that is, the limit of {displaystyle left(T_{n}(x)right)} exists for all {displaystyle xin X,} then these pointwise limits define a bounded linear operator {displaystyle T.} The above corollary does not claim that {displaystyle T_{n}} converges to {displaystyle T} in operator norm, that is, uniformly on bounded sets. However, since {displaystyle left{T_{n}right}} is bounded in operator norm, and the limit operator {displaystyle T} is continuous, a standard " {displaystyle 3varepsilon } " estimate shows that {displaystyle T_{n}} converges to {displaystyle T} uniformly on compact sets. Proof Essentially the same as that of the proof that a pointwise convergent sequence of uniformly continuous functions on a compact set converges to a continuous function. By uniform boundedness principle, let {displaystyle M=max{sup _{n}|T_{n}|,T}} be a uniform upper bound on the operator norms. Fix any compact {displaystyle Ksubset X} . Then for any {displaystyle epsilon >0} , finitely cover (use compactness) {estilo de exibição K} by a finite set of open balls {estilo de exibição {B(x_{eu},r)}_{i=1,...,N}} of radius {displaystyle r={fratura {épsilon }{M}}} Desde {estilo de exibição T_{n}to T} pointwise on each of {estilo de exibição x_{1},...,x_{N}} , for all large {estilo de exibição m} , {estilo de exibição |T_{n}(x_{eu})-T(x_{eu})|leq épsilon } para todos {displaystyle i=1,...,N} .

Then by triangle inequality, we find for all large {estilo de exibição m} , {displaystyle forall xin K,|T_{n}(x_{eu})-T(x_{eu})|leq 3epsilon } .

Corollary — Any weakly bounded subset {displaystyle Ssubseteq Y} in a normed space {estilo de exibição Y} é limitado.

De fato, os elementos de {estilo de exibição S} define a pointwise bounded family of continuous linear forms on the Banach space {estilo de exibição X:=Y',} which is the continuous dual space of {estilo de exibição Y.} By the uniform boundedness principle, the norms of elements of {estilo de exibição S,} as functionals on {estilo de exibição X,} isso é, norms in the second dual {displaystyle Y'',} are bounded. But for every {displaystyle sin S,} the norm in the second dual coincides with the norm in {estilo de exibição Y,} by a consequence of the Hahn–Banach theorem.

Deixar {estilo de exibição L(X,S)} denote the continuous operators from {estilo de exibição X} para {estilo de exibição Y,} endowed with the operator norm. If the collection {estilo de exibição F} is unbounded in {estilo de exibição L(X,S),} then the uniform boundedness principle implies: {displaystyle R=left{xin X : sup nolimits _{Tin F}|Tx|_{S}=infty right}neq varnothing .} Na verdade, {estilo de exibição R} is dense in {displaystyle X.} The complement of {estilo de exibição R} dentro {estilo de exibição X} is the countable union of closed sets {textstyle bigcup X_{n}.} By the argument used in proving the theorem, each {estilo de exibição X_{n}} is nowhere dense, ou seja. o subconjunto {textstyle bigcup X_{n}} is of first category. Portanto {estilo de exibição R} is the complement of a subset of first category in a Baire space. By definition of a Baire space, such sets (called comeagre or residual sets) are dense. Such reasoning leads to the principle of condensation of singularities, which can be formulated as follows: Theorem — Let {estilo de exibição X} be a Banach space, {estilo de exibição à esquerda(Y_{n}certo)} a sequence of normed vector spaces, and for every {estilo de exibição m,} deixar {estilo de exibição F_{n}} an unbounded family in {displaystyle Lleft(X,Y_{n}certo).} Then the set {estilo de exibição R:= esquerda{xin X : {texto{ para todos }}nin mathbb {N} ,e aí _{Tin F_{n}}|Tx|_{Y_{n}}=infty right}} is a residual set, and thus dense in {displaystyle X.} Proof The complement of {estilo de exibição R} is the countable union {displaystyle bigcup _{n,m}deixei{xin X : e aí _{Tin F_{n}}|Tx|_{Y_{n}}leq mright}} of sets of first category. Portanto, its residual set {estilo de exibição R} is dense.

Exemplo: pointwise convergence of Fourier series Let {estilo de exibição mathbb {T} } be the circle, e deixar {estilo de exibição C(mathbb {T} )} be the Banach space of continuous functions on {estilo de exibição mathbb {T} ,} with the uniform norm. Using the uniform boundedness principle, one can show that there exists an element in {estilo de exibição C(mathbb {T} )} for which the Fourier series does not converge pointwise.

Por {displaystyle fin C(mathbb {T} ),} its Fourier series is defined by {soma de estilo de exibição _{kin mathbb {Z} }{chapéu {f}}(k)e^{ikx}=soma _{kin mathbb {Z} }{fratura {1}{2pi }}deixei(int_{0}^{2pi }f(t)e^{-ikt}dtright)e^{ikx},} and the N-th symmetric partial sum is {estilo de exibição S_{N}(f)(x)=soma _{k=-N}^{N}{chapéu {f}}(k)e^{ikx}={fratura {1}{2pi }}int_{0}^{2pi }f(t)D_{N}(x-t),dt,} Onde {displaystyle D_{N}} é o {estilo de exibição N} -th Dirichlet kernel. Fixar {displaystyle xin mathbb {T} } and consider the convergence of {estilo de exibição à esquerda{S_{N}(f)(x)certo}.} The functional {estilo de exibição varphi _{N,x}:C(mathbb {T} )para mathbb {C} } definido por {estilo de exibição varphi _{N,x}(f)=S_{N}(f)(x),qquad fin C(mathbb {T} ),} é limitado. The norm of {estilo de exibição varphi _{N,x},} in the dual of {estilo de exibição C(mathbb {T} ),} is the norm of the signed measure {estilo de exibição (2(2pi )^{-1}D_{N}(x-t)dt,} nomeadamente {estilo de exibição à esquerda|varphi_{N,x}certo|={fratura {1}{2pi }}int_{0}^{2pi }deixei|D_{N}(x-t)certo|,dt={fratura {1}{2pi }}int_{0}^{2pi }deixei|D_{N}(s)certo|,ds=left|D_{N}certo|_{L^{1}(mathbb {T} )}.} It can be verified that {estilo de exibição {fratura {1}{2pi }}int_{0}^{2pi }|D_{N}(t)|,dtgeq {fratura {1}{2pi }}int_{0}^{2pi }{fratura {deixei|sin left((N+{tfrac {1}{2}})tright)certo|}{t/2}},dtto infty .} So the collection {estilo de exibição à esquerda(varphi_{N,x}certo)} is unbounded in {estilo de exibição C(mathbb {T} )^{ast },} the dual of {estilo de exibição C(mathbb {T} ).} Portanto, by the uniform boundedness principle, para qualquer {displaystyle xin mathbb {T} ,} the set of continuous functions whose Fourier series diverges at {estilo de exibição x} is dense in {estilo de exibição C(mathbb {T} ).} More can be concluded by applying the principle of condensation of singularities. Deixar {estilo de exibição à esquerda(x_{m}certo)} be a dense sequence in {estilo de exibição mathbb {T} .} Definir {estilo de exibição varphi _{N,x_{m}}} in the similar way as above. The principle of condensation of singularities then says that the set of continuous functions whose Fourier series diverges at each {estilo de exibição x_{m}} is dense in {estilo de exibição C(mathbb {T} )} (Contudo, the Fourier series of a continuous function {estilo de exibição f} converge para {estilo de exibição f(x)} for almost every {displaystyle xin mathbb {T} ,} by Carleson's theorem).

Generalizations In a topological vector space (TV) {estilo de exibição X,} "bounded subset" refers specifically to the notion of a von Neumann bounded subset. Se {estilo de exibição X} happens to also be a normed or seminormed space, say with (semi)norma {estilo de exibição |cdot |,} then a subset {estilo de exibição B} é (por Neumann) bounded if and only if it is norm bounded, which by definition means {textstyle sup _{bin B}|b|0} {displaystyle tgeq r} {displaystyle Csubseteq tU.} {displaystyle tgeq r,} {displaystyle h(C)subseteq h(tU)=th(U)subseteq tV,} {textstyle bigcup _{hin H}h(C)subseteq tV.} Citations Shtern 2001. Jump up to: b c d Rudin 1991, pp. 42−47. Bibliography Banach, Stefan; Steinhaus, Hugo (1927), "Sur le principe de la condensation singularités" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 9: 50–61, doi:10.4064>

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