# Uniform boundedness principle

In matematica, the uniform boundedness principle or Banach–Steinhaus theorem is one of the fundamental results in functional analysis. Together with the Hahn–Banach theorem and the open mapping theorem, it is considered one of the cornerstones of the field. In its basic form, it asserts that for a family of continuous linear operators (and thus bounded operators) whose domain is a Banach space, pointwise boundedness is equivalent to uniform boundedness in operator norm.

The theorem was first published in 1927 by Stefan Banach and Hugo Steinhaus, but it was also proven independently by Hans Hahn.

Contenuti 1 Teorema 2 Corollari 3 Esempio: pointwise convergence of Fourier series 4 generalizzazioni 4.1 Barrelled spaces 4.2 Uniform boundedness in topological vector spaces 4.3 Generalizations involving nonmeager subsets 4.3.1 Complete metrizable domain 5 Guarda anche 6 Appunti 7 Citazioni 8 Bibliography Theorem Uniform Boundedness Principle — Let {stile di visualizzazione X} be a Banach space, {stile di visualizzazione Y} a normed vector space and {stile di visualizzazione B(X,Y)} the space of all continuous linear operators from {stile di visualizzazione X} in {stile di visualizzazione Y} . Supporre che {stile di visualizzazione F} is a collection of continuous linear operators from {stile di visualizzazione X} a {stile di visualizzazione Y.} Se {stile di visualizzazione sup_{Tin F}|T(X)|_{Y}0} tale che {stile di visualizzazione {sopra {B_{varepsilon }(X_{0})}}~:=~left{xin X,:,|x-x_{0}|leq varepsilon right}~subseteq ~X_{m}.} Permettere {displaystyle uin X} insieme a {stile di visualizzazione |tu|leq 1} e {displaystyle Tin F.} Quindi: {stile di visualizzazione {inizio{allineato}|T(tu)|_{Y}&=varepsilon ^{-1}sinistra|Tleft(X_{0}+varepsilon uright)-Tleft(X_{0}Giusto)Giusto|_{Y}&[{testo{ by linearity of }}T]\&leq varepsilon ^{-1}sinistra(sinistra|T(X_{0}+varepsilon u)Giusto|_{Y}+sinistra|T(X_{0})Giusto|_{Y}Giusto)\&leq varepsilon ^{-1}(m+m).&[{testo{ da }} X_{0}+varepsilon u, X_{0}in X_{m}]\fine{allineato}}} Taking the supremum over {stile di visualizzazione u} in the unit ball of {stile di visualizzazione X} and over {displaystyle Tin F} ne consegue che {stile di visualizzazione sup_{Tin F}|T|_{B(X,Y)}~leq ~2varepsilon ^{-1}m~<~infty .} There are also simple proofs not using the Baire theorem (Sokal 2011). Corollaries Corollary — If a sequence of bounded operators {displaystyle left(T_{n}right)} converges pointwise, that is, the limit of {displaystyle left(T_{n}(x)right)} exists for all {displaystyle xin X,} then these pointwise limits define a bounded linear operator {displaystyle T.} The above corollary does not claim that {displaystyle T_{n}} converges to {displaystyle T} in operator norm, that is, uniformly on bounded sets. However, since {displaystyle left{T_{n}right}} is bounded in operator norm, and the limit operator {displaystyle T} is continuous, a standard " {displaystyle 3varepsilon } " estimate shows that {displaystyle T_{n}} converges to {displaystyle T} uniformly on compact sets. Proof Essentially the same as that of the proof that a pointwise convergent sequence of uniformly continuous functions on a compact set converges to a continuous function. By uniform boundedness principle, let {displaystyle M=max{sup _{n}|T_{n}|,T}} be a uniform upper bound on the operator norms. Fix any compact {displaystyle Ksubset X} . Then for any {displaystyle epsilon >0} , finitely cover (use compactness) {stile di visualizzazione K} by a finite set of open balls {stile di visualizzazione {B(X_{io},r)}_{i=1,...,N}} of radius {displaystyle r={frac {epsilon }{M}}} Da {stile di visualizzazione T_{n}to T} pointwise on each of {stile di visualizzazione x_{1},...,X_{N}} , for all large {stile di visualizzazione n} , {stile di visualizzazione |T_{n}(X_{io})-T(X_{io})|leq epsilon } per tutti {displaystyle i=1,...,N} .

Then by triangle inequality, we find for all large {stile di visualizzazione n} , {displaystyle forall xin K,|T_{n}(X_{io})-T(X_{io})|leq 3epsilon } .

Corollary — Any weakly bounded subset {displaystyle Ssubseteq Y} in a normed space {stile di visualizzazione Y} è delimitato.

Infatti, gli elementi di {stile di visualizzazione S} define a pointwise bounded family of continuous linear forms on the Banach space {stile di visualizzazione X:=Y',} which is the continuous dual space of {stile di visualizzazione Y.} By the uniform boundedness principle, the norms of elements of {stile di visualizzazione S,} as functionals on {stile di visualizzazione X,} questo è, norms in the second dual {displaystyle Y'',} are bounded. But for every {displaystyle sin S,} the norm in the second dual coincides with the norm in {stile di visualizzazione Y,} by a consequence of the Hahn–Banach theorem.

Permettere {stile di visualizzazione L(X,Y)} denote the continuous operators from {stile di visualizzazione X} a {stile di visualizzazione Y,} endowed with the operator norm. If the collection {stile di visualizzazione F} is unbounded in {stile di visualizzazione L(X,Y),} then the uniform boundedness principle implies: {displaystyle R=left{xin X : sup nolimits _{Tin F}|Tx|_{Y}=infty right}neq varnothing .} Infatti, {stile di visualizzazione R} is dense in {stile di visualizzazione X.} The complement of {stile di visualizzazione R} in {stile di visualizzazione X} is the countable union of closed sets {textstyle bigcup X_{n}.} By the argument used in proving the theorem, each {stile di visualizzazione X_{n}} is nowhere dense, cioè. il sottoinsieme {textstyle bigcup X_{n}} is of first category. Perciò {stile di visualizzazione R} is the complement of a subset of first category in a Baire space. By definition of a Baire space, such sets (called comeagre or residual sets) are dense. Such reasoning leads to the principle of condensation of singularities, which can be formulated as follows: Theorem — Let {stile di visualizzazione X} be a Banach space, {stile di visualizzazione a sinistra(Y_{n}Giusto)} a sequence of normed vector spaces, e per ogni {stile di visualizzazione n,} permettere {stile di visualizzazione F_{n}} an unbounded family in {displaystyle Lleft(X,Y_{n}Giusto).} Then the set {stile di visualizzazione R:= sinistra{xin X : {testo{ per tutti }}nin mathbb {N} ,sup _{Tin F_{n}}|Tx|_{Y_{n}}=infty right}} is a residual set, and thus dense in {stile di visualizzazione X.} Proof The complement of {stile di visualizzazione R} is the countable union {displaystyle tazza grande _{n,m}sinistra{xin X : sup _{Tin F_{n}}|Tx|_{Y_{n}}leq mright}} of sets of first category. Perciò, its residual set {stile di visualizzazione R} is dense.

Esempio: pointwise convergence of Fourier series Let {displaystyle mathbb {T} } be the circle, e lascia {stile di visualizzazione C(mathbb {T} )} be the Banach space of continuous functions on {displaystyle mathbb {T} ,} with the uniform norm. Using the uniform boundedness principle, one can show that there exists an element in {stile di visualizzazione C(mathbb {T} )} for which the Fourier series does not converge pointwise.

Per {displaystyle fin C(mathbb {T} ),} its Fourier series is defined by {somma dello stile di visualizzazione _{kin mathbb {Z} }{cappello {f}}(K)e^{ikx}=somma _{kin mathbb {Z} }{frac {1}{2pi }}sinistra(int _{0}^{2pi }f(t)e^{-ikt}giusto)e^{ikx},} and the N-th symmetric partial sum is {stile di visualizzazione S_{N}(f)(X)=somma _{k=-N}^{N}{cappello {f}}(K)e^{ikx}={frac {1}{2pi }}int _{0}^{2pi }f(t)D_{N}(x-t),dt,} dove {stile di visualizzazione D_{N}} è il {stile di visualizzazione N} -th Dirichlet kernel. Fix {displaystyle xin mathbb {T} } and consider the convergence of {stile di visualizzazione a sinistra{S_{N}(f)(X)Giusto}.} The functional {displaystyle varphi _{N,X}:C(mathbb {T} )a matematicabb {C} } definito da {displaystyle varphi _{N,X}(f)=S_{N}(f)(X),qquad fin C(mathbb {T} ),} è delimitato. The norm of {displaystyle varphi _{N,X},} in the dual of {stile di visualizzazione C(mathbb {T} ),} is the norm of the signed measure {stile di visualizzazione (2(2pi )^{-1}D_{N}(x-t)dt,} vale a dire {stile di visualizzazione a sinistra|varfi _{N,X}Giusto|={frac {1}{2pi }}int _{0}^{2pi }sinistra|D_{N}(x-t)Giusto|,dt={frac {1}{2pi }}int _{0}^{2pi }sinistra|D_{N}(S)Giusto|,ds=left|D_{N}Giusto|_{L^{1}(mathbb {T} )}.} It can be verified that {stile di visualizzazione {frac {1}{2pi }}int _{0}^{2pi }|D_{N}(t)|,dtgeq {frac {1}{2pi }}int _{0}^{2pi }{frac {sinistra|sin left((N+{tfrac {1}{2}})tright)Giusto|}{t/2}},dtto infty .} So the collection {stile di visualizzazione a sinistra(varfi _{N,X}Giusto)} is unbounded in {stile di visualizzazione C(mathbb {T} )^{ast },} the dual of {stile di visualizzazione C(mathbb {T} ).} Perciò, by the uniform boundedness principle, per ogni {displaystyle xin mathbb {T} ,} the set of continuous functions whose Fourier series diverges at {stile di visualizzazione x} is dense in {stile di visualizzazione C(mathbb {T} ).} More can be concluded by applying the principle of condensation of singularities. Permettere {stile di visualizzazione a sinistra(X_{m}Giusto)} be a dense sequence in {displaystyle mathbb {T} .} Definire {displaystyle varphi _{N,X_{m}}} in the similar way as above. The principle of condensation of singularities then says that the set of continuous functions whose Fourier series diverges at each {stile di visualizzazione x_{m}} is dense in {stile di visualizzazione C(mathbb {T} )} (però, the Fourier series of a continuous function {stile di visualizzazione f} converge a {stile di visualizzazione f(X)} for almost every {displaystyle xin mathbb {T} ,} by Carleson's theorem).

Generalizations In a topological vector space (TV) {stile di visualizzazione X,} "bounded subset" refers specifically to the notion of a von Neumann bounded subset. Se {stile di visualizzazione X} happens to also be a normed or seminormed space, say with (semi)norma {stile di visualizzazione |cdot |,} then a subset {stile di visualizzazione B} è (di Neumann) bounded if and only if it is norm bounded, che per definizione significa {textstyle sup _{bin B}|b|0} {displaystyle tgeq r} {displaystyle Csubseteq tU.} {displaystyle tgeq r,} {displaystyle h(C)subseteq h(tU)=th(U)subseteq tV,} {textstyle bigcup _{hin H}h(C)subseteq tV.} Citations Shtern 2001. Jump up to: b c d Rudin 1991, pp. 42−47. Bibliography Banach, Stefan; Steinhaus, Hugo (1927), "Sur le principe de la condensation singularités" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 9: 50–61, doi:10.4064>

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