Teorema dos três momentos

Teorema dos três momentos Em engenharia civil e análise estrutural O teorema dos três momentos de Clapeyron é uma relação entre os momentos fletores em três apoios consecutivos de uma viga horizontal.

Deixe A,B,C são os três pontos de apoio consecutivos, e denotar por- l o comprimento de AB e {estilo de exibição o} o comprimento de BC, por w e {estilo de exibição em '} o peso por unidade de comprimento nesses segmentos. Então[1] os momentos fletores {estilo de exibição M_{UMA},,M_{B},,M_{C}} nos três pontos estão relacionados por: {estilo de exibição M_{UMA}l+2M_{B}(l+l')+M_{C}l'={fratura {1}{4}}w^{3}+{fratura {1}{4}}W'(eu')^{3}.} Essa equação também pode ser escrita como [2] {estilo de exibição M_{UMA}l+2M_{B}(l+l')+M_{C}l'={fratura {6uma_{1}x_{1}}{eu}}+{fratura {6uma_{2}x_{2}}{eu'}}} onde a1 é a área no diagrama de momento fletor devido a cargas verticais em AB, a2 é a área devido às cargas em BC, x1 é a distância de A ao centroide do diagrama de momento fletor da viga AB, x2 é a distância de C ao centroide da área do diagrama de momento fletor da viga BC.

A segunda equação é mais geral, pois não exige que o peso de cada segmento seja distribuído uniformemente.

Figura 01-Amostra de seção de feixe contínuo Conteúdo 1 Derivação de equações de três momentos 1.1 primeiro teorema de Mohr 1.2 segundo teorema de Mohr 1.3 A convenção de sinais 1.4 Derivação do teorema dos três momentos 2 Equação de três momentos 3 Notas 4 External links Derivation of three moments equations Mohr's theorem[3] pode ser usado para derivar o teorema dos três momentos[4] (TMT).

Mohr's first theorem The change in slope of a deflection curve between two points of a beam is equal to the area of the M/EI diagram between those two points.(Figura 02) Figure 02-Mohr's First Theorem Mohr's second theorem Consider two points k1 and k2 on a beam. A deflexão de k1 e k2 em relação ao ponto de intersecção entre a tangente em k1 e k2 e a vertical através de k1 é igual ao momento do diagrama M/EI entre k1 e k2 em relação a k1.(Figura 03) Figure03-Mohr's Second Theorem The three moment equation expresses the relation between bending moments at three successive supports of a continuous beam, sujeito a um carregamento em dois vãos adjacentes com ou sem assentamento dos apoios.

The sign convention According to the Figure 04, O momento M1, M2, e M3 sejam positivos se causarem compressão na parte superior da viga. (cedendo positivo) A deflexão positiva para baixo. (Liquidação descendente positiva) Seja ABC uma viga contínua com apoio em A,B, e C. Então momento em A,B, e C são M1, M2, e M3, respectivamente. Sejam A' B' e C' as posições finais da viga ABC devido aos assentamentos dos apoios. Figure 04-Deflection Curve of a Continuous Beam Under Settlement Derivation of three moment theorem PB'Q is a tangent drawn at B' for final Elastic Curve A'B'C' of the beam ABC. RB'S é uma linha horizontal traçada por B'. Considerar, Triângulos RB'P e QB'S.

{estilo de exibição {dfrac {RP}{RB'}}={dfrac {SQ}{B'S}},} {estilo de exibição {dfrac {RP}{L1}}={dfrac {SQ}{L2}}} (1) {estilo de exibição PR=Delta B-Delta A+PA'} (2) {estilo de exibição SQ=Delta C-Delta B-QC'} (3) A partir de (1), (2), e (3), {estilo de exibição {dfrac {Delta B-Delta A + PA '}{L1}}={dfrac {Delta C-Delta B-QC'}{L2}}} {estilo de exibição {dfrac {PA'}{L1}}+{dfrac {CQ'}{L2}}={dfrac {Delta A-Delta B}{L1}}+{dfrac {Delta C-Delta B}{L2}}} (uma) Desenhe o diagrama M/EI para encontrar o PA' e o QC'.

Figura 05 - M / EI Diagram From Mohr's Second Theorem PA' = First moment of area of M/EI diagram between A and B about A.

{estilo de exibição PA'=esquerda({fratura {1}{2}}vezes {fratura {M_{1}}{E_{1}EU_{1}}}vezes L_{1}certo)vezes L_{1}vezes {fratura {1}{3}}+deixei({fratura {1}{2}}vezes {fratura {M_{2}}{E_{2}EU_{2}}}vezes L_{1}certo)vezes L_{1}vezes {fratura {2}{3}}+{fratura {UMA_{1}X_{1}}{E_{1}EU_{1}}}} QC' = Primeiro momento da área do diagrama M/EI entre B e C em torno de C.

{estilo de exibição QC'=esquerda({fratura {1}{2}}vezes {fratura {M_{3}}{E_{2}EU_{2}}}vezes L_{2}certo)vezes L_{2}vezes {fratura {1}{3}}+deixei({fratura {1}{2}}vezes {fratura {M_{2}}{E_{2}EU_{2}}}vezes L_{2}certo)vezes L_{2}vezes {fratura {2}{3}}+{fratura {UMA_{2}X_{2}}{E_{2}EU_{2}}}} Substitua em PA' e QC' na equação (uma), o Teorema dos Três Momentos (TMT) pode ser obtido.

Equação de três momentos {estilo de exibição {fratura {M_{1}EU_{1}}{E_{1}EU_{1}}}+2M_{2}deixei({fratura {EU_{1}}{E_{1}EU_{1}}}+{fratura {EU_{2}}{E_{2}EU_{2}}}certo)+{fratura {M_{3}EU_{2}}{E_{2}EU_{2}}}=6[{fratura {Delta A-Delta B}{EU_{1}}}+{fratura {Delta C-Delta B}{EU_{2}}}]-6[{fratura {UMA_{1}X_{1}}{E_{1}EU_{1}EU_{1}}}+{fratura {UMA_{2}X_{2}}{E_{2}EU_{2}EU_{2}}}]} Notas ^ J. B. Wheeler: Curso Básico de Engenharia Civil, 1876, Página 118 [1] ^ Srivastava e Gope: Resistência dos materiais, página 73 ^ "Teorema de Mohr" (PDF). ^ "Teorema dos Três Momentos" (PDF). Links externos CodeCogs: Continuous beams with more than one span hide vte Structural engineering Dynamic analysis Duhamel's integralModal analysis Static analysis Betti's theoremCastigliano's methodConjugate beam methodFEMFlexibility methodMacaulay's methodMoment-area theoremStiffness methodShear and moment diagramTheorem of three moments Structural elements 1-dimensional Beam I-beamLintel Post and lintelSpanCompression memberStrutTie 2-dimensional ArchThin-shell structure Structural support Bracket Theories Euler–Bernoulli beam theoryMohr–Coulomb theoryPlate theoryTimoshenko–Ehrenfest beam theory Categories: Análise estruturalMecânica do contínuoTeoremas da física