Théorème des trois moments

Théorème des trois moments En génie civil et en analyse structurelle, le théorème des trois moments de Clapeyron est une relation entre les moments de flexion à trois supports consécutifs d'une poutre horizontale.

Soit A,B,C les trois points d'appui consécutifs, et désigner par- l la longueur de AB et {displaystyle l'} la longueur de BC, par w et {style d'affichage dans '} le poids par unité de longueur dans ces segments. Alors[1] les moments de flexion {style d'affichage M_{UN},,M_{B},,M_{C}} aux trois points sont liés par: {style d'affichage M_{UN}l+2M_{B}(l+l')+M_{C}l'={frac {1}{4}}wl ^{3}+{frac {1}{4}}w'(je)^{3}.} Cette équation peut aussi s'écrire [2] {style d'affichage M_{UN}l+2M_{B}(l+l')+M_{C}l'={frac {6un_{1}X_{1}}{je}}+{frac {6un_{2}X_{2}}{je}}} où a1 est l'aire sur le diagramme du moment de flexion due aux charges verticales sur AB, a2 est la surface due aux charges sur BC, x1 est la distance entre A et le centre de gravité du diagramme des moments fléchissants de la poutre AB, x2 est la distance entre C et le centre de gravité de l'aire du diagramme des moments fléchissants de la poutre BC.

La deuxième équation est plus générale car elle ne nécessite pas que le poids de chaque segment soit réparti uniformément.

Figure 01-Exemple de section de poutre continue Table des matières 1 Dérivation des équations aux trois moments 1.1 Premier théorème de Mohr 1.2 Deuxième théorème de Mohr 1.3 La convention des signes 1.4 Dérivation du théorème des trois moments 2 Équation à trois moments 3 Remarques 4 Liens externes Dérivation des équations aux trois moments Théorème de Mohr[3] peut être utilisé pour dériver le théorème des trois moments[4] (TMT).

Premier théorème de Mohr La variation de pente d'une courbe de déviation entre deux points d'une poutre est égale à l'aire du diagramme M/EI entre ces deux points.(Chiffre 02) Figure 02-Premier théorème de Mohr Deuxième théorème de Mohr Considérons deux points k1 et k2 sur une poutre. La déviation de k1 et k2 par rapport au point d'intersection entre la tangente en k1 et k2 et la verticale passant par k1 est égale au moment du diagramme M/EI entre k1 et k2 autour de k1.(Chiffre 03) Figure03-Deuxième théorème de Mohr L'équation des trois moments exprime la relation entre les moments de flexion à trois appuis successifs d'une poutre continue, soumis à un chargement sur deux travées adjacentes avec ou sans tassement des appuis.

La convention de signe selon la figure 04, L'instant M1, M2, et M3 soient positifs s'ils provoquent une compression dans la partie supérieure de la poutre. (affaissement positif) La déviation positive vers le bas. (Règlement à la baisse positif) Soit ABC une poutre continue d'appui en A,B, et C. Puis moment en A,B, et C sont M1, M2, et M3, respectivement. Soit A' B' et C' les positions finales de la poutre ABC dues aux tassements d'appui. Figure 04-Courbe de déflexion d'une poutre continue sous tassement Dérivation du théorème des trois moments PB'Q est une tangente tracée en B' pour la courbe élastique finale A'B'C' de la poutre ABC. RB'S est une ligne horizontale passant par B'. Envisager, Triangles RB'P et QB'S.

{style d'affichage {dfrac {RP}{RB'}}={dfrac {SQ}{B'S}},} {style d'affichage {dfrac {RP}{L1}}={dfrac {SQ}{L2}}} (1) {style d'affichage PR=Delta B-Delta A+PA'} (2) {style d'affichage SQ=Delta C-Delta B-QC'} (3) De (1), (2), et (3), {style d'affichage {dfrac {Delta B-Delta A + PA '}{L1}}={dfrac {Delta C-Delta B-QC'}{L2}}} {style d'affichage {dfrac {PENNSYLVANIE'}{L1}}+{dfrac {CQ'}{L2}}={dfrac {Delta A-Delta B}{L1}}+{dfrac {Delta C-Delta B}{L2}}} (un) Dessinez le diagramme M/EI pour trouver les PA' et QC'.

Chiffre 05 - M / Diagramme EI du deuxième théorème de Mohr PA' = premier moment de l'aire du diagramme M/EI entre A et B autour de A.

{style d'affichage PA'=gauche({frac {1}{2}}fois {frac {M_{1}}{E_{1}JE_{1}}}fois L_{1}droit)fois L_{1}fois {frac {1}{3}}+la gauche({frac {1}{2}}fois {frac {M_{2}}{E_{2}JE_{2}}}fois L_{1}droit)fois L_{1}fois {frac {2}{3}}+{frac {UN_{1}X_{1}}{E_{1}JE_{1}}}} QC' = Premier moment de l'aire du diagramme M/EI entre B et C autour de C.

{style d'affichage QC'=gauche({frac {1}{2}}fois {frac {M_{3}}{E_{2}JE_{2}}}fois L_{2}droit)fois L_{2}fois {frac {1}{3}}+la gauche({frac {1}{2}}fois {frac {M_{2}}{E_{2}JE_{2}}}fois L_{2}droit)fois L_{2}fois {frac {2}{3}}+{frac {UN_{2}X_{2}}{E_{2}JE_{2}}}} Remplacer PA' et QC' sur l'équation (un), le théorème des trois moments (TMT) peut être obtenu.

Équation à trois moments {style d'affichage {frac {M_{1}L_{1}}{E_{1}JE_{1}}}+2M_{2}la gauche({frac {L_{1}}{E_{1}JE_{1}}}+{frac {L_{2}}{E_{2}JE_{2}}}droit)+{frac {M_{3}L_{2}}{E_{2}JE_{2}}}=6[{frac {Delta A-Delta B}{L_{1}}}+{frac {Delta C-Delta B}{L_{2}}}]-6[{frac {UN_{1}X_{1}}{E_{1}JE_{1}L_{1}}}+{frac {UN_{2}X_{2}}{E_{2}JE_{2}L_{2}}}]} Notes ^ J. B. Rouleur: Un cours élémentaire de génie civil, 1876, Page 118 [1] ^ Srivastava et Gope: La résistance des matériaux, page 73 ^ "Théorème de Mohr" (PDF). ^ "Théorème des trois moments" (PDF). Liens externes CodeCogs: Poutres continues avec plus d'une travée hide vte Ingénierie des structures Analyse dynamique Intégrale de Duhamel Analyse modale Analyse statique Théorème de Betti Méthode de Castigliano Méthode des poutres conjuguées FEMF Méthode de flexibilité Méthode de Macaulay Théorème de l'aire des moments Méthode de rigidité Diagramme des moments et cisaillement Théorème des trois moments dimensionnelle ArchThin-shell structure Support structurel Théories des supportsThéorie des poutres d'Euler–BernoulliThéorie de Mohr–CoulombThéorie des plaquesThéorie des poutres de Timoshenko–Ehrenfest Catégories: Analyse structuraleMécanique du continuThéorèmes de physique