Satz von drei Momenten

Drei-Momenten-Satz Im Bauingenieurwesen und in der Statik ist der Drei-Momenten-Satz von Clapeyron eine Beziehung zwischen den Biegemomenten an drei aufeinanderfolgenden Stützen eines horizontalen Trägers.

Lassen Sie A,B,C die drei aufeinanderfolgenden Stützpunkte sein, und bezeichnen mit- l die Länge von AB und {Display-Stil die} die Länge von BC, von w und {Anzeigestil in '} das Gewicht pro Längeneinheit in diesen Segmenten. Dann[1] die Biegemomente {Anzeigestil M_{EIN},,M_{B},,M_{C}} an den drei Punkten sind durch verwandt: {Anzeigestil M_{EIN}l+2M_{B}(l+l')+M_{C}l'={frac {1}{4}}wl^{3}+{frac {1}{4}}w'(l')^{3}.} Diese Gleichung kann auch geschrieben werden als [2] {Anzeigestil M_{EIN}l+2M_{B}(l+l')+M_{C}l'={frac {6a_{1}x_{1}}{l}}+{frac {6a_{2}x_{2}}{l'}}} wobei a1 die Fläche im Biegemomentdiagramm aufgrund vertikaler Lasten auf AB ist, a2 ist die Fläche aufgrund von Lasten auf BC, x1 ist der Abstand von A zum Schwerpunkt des Biegemomentdiagramms des Trägers AB, x2 ist der Abstand von C zum Flächenschwerpunkt des Biegemomentdiagramms des Balkens BC.

Die zweite Gleichung ist allgemeiner, da sie nicht erfordert, dass das Gewicht jedes Segments gleichmäßig verteilt wird.

Bild 01-Beispiel für einen Durchlaufträgerquerschnitt Inhalt 1 Ableitung von drei Momentengleichungen 1.1 Mohrs erster Satz 1.2 Zweiter Satz von Mohr 1.3 Die Vorzeichenkonvention 1.4 Ableitung des Drei-Momenten-Theorems 2 Drei-Moment-Gleichung 3 Anmerkungen 4 External links Derivation of three moments equations Mohr's theorem[3] kann verwendet werden, um den Drei-Momenten-Satz abzuleiten[4] (TMT).

Mohr's first theorem The change in slope of a deflection curve between two points of a beam is equal to the area of the M/EI diagram between those two points.(Figur 02) Figure 02-Mohr's First Theorem Mohr's second theorem Consider two points k1 and k2 on a beam. Die Auslenkung von k1 und k2 relativ zum Schnittpunkt zwischen der Tangente bei k1 und k2 und der Vertikalen durch k1 ist gleich dem Moment des M/EI-Diagramms zwischen k1 und k2 um k1.(Figur 03) Figure03-Mohr's Second Theorem The three moment equation expresses the relation between bending moments at three successive supports of a continuous beam, Belastung auf zwei benachbarte Felder mit oder ohne Setzung der Stützen.

The sign convention According to the Figure 04, Der Moment M1, M2, und M3 positiv sein, wenn sie eine Kompression im oberen Teil des Balkens verursachen. (Absacken positiv) Die Auslenkung nach unten positiv. (Abwärtssetzung positiv) Sei ABC ein durchgehender Balken mit Auflager bei A,B, und C. Dann Moment bei A,B, und C sind M1, M2, und M3, beziehungsweise. Seien A' B' und C' die Endpositionen des Balkens ABC aufgrund von Stützsetzungen. Figure 04-Deflection Curve of a Continuous Beam Under Settlement Derivation of three moment theorem PB'Q is a tangent drawn at B' for final Elastic Curve A'B'C' of the beam ABC. RB'S ist eine horizontale Linie, die durch B' gezogen wird. In Betracht ziehen, Dreiecke RB'P und QB'S.

{Anzeigestil {dfrac {PR}{RB'}}={dfrac {Q}{BS}},} {Anzeigestil {dfrac {PR}{L1}}={dfrac {Q}{L2}}} (1) {Anzeigestil PR=Delta B-Delta A+PA'} (2) {Anzeigestil SQ=Delta C-Delta B-QC'} (3) Aus (1), (2), und (3), {Anzeigestil {dfrac {Delta B-Delta A + PA '}{L1}}={dfrac {Delta C-Delta B-QC'}{L2}}} {Anzeigestil {dfrac {PA'}{L1}}+{dfrac {QC'}{L2}}={dfrac {Delta A-Delta B}{L1}}+{dfrac {Delta C-Delta B}{L2}}} (a) Zeichnen Sie das M/EI-Diagramm, um PA' und QC' zu finden.

Figur 05 - M / EI Diagram From Mohr's Second Theorem PA' = First moment of area of M/EI diagram between A and B about A.

{Anzeigestil PA'=links({frac {1}{2}}mal {frac {M_{1}}{E_{1}ICH_{1}}}mal L_{1}Rechts)mal L_{1}mal {frac {1}{3}}+links({frac {1}{2}}mal {frac {M_{2}}{E_{2}ICH_{2}}}mal L_{1}Rechts)mal L_{1}mal {frac {2}{3}}+{frac {EIN_{1}X_{1}}{E_{1}ICH_{1}}}} QC' = Erstes Flächenmoment des M/EI-Diagramms zwischen B und C um C.

{Anzeigestil QC'=links({frac {1}{2}}mal {frac {M_{3}}{E_{2}ICH_{2}}}mal L_{2}Rechts)mal L_{2}mal {frac {1}{3}}+links({frac {1}{2}}mal {frac {M_{2}}{E_{2}ICH_{2}}}mal L_{2}Rechts)mal L_{2}mal {frac {2}{3}}+{frac {EIN_{2}X_{2}}{E_{2}ICH_{2}}}} Setzen Sie PA' und QC' in Gleichung ein (a), das Drei-Momenten-Theorem (TMT) erhalten werden können.

Drei-Moment-Gleichung {Anzeigestil {frac {M_{1}L_{1}}{E_{1}ICH_{1}}}+2M_{2}links({frac {L_{1}}{E_{1}ICH_{1}}}+{frac {L_{2}}{E_{2}ICH_{2}}}Rechts)+{frac {M_{3}L_{2}}{E_{2}ICH_{2}}}=6[{frac {Delta A-Delta B}{L_{1}}}+{frac {Delta C-Delta B}{L_{2}}}]-6[{frac {EIN_{1}X_{1}}{E_{1}ICH_{1}L_{1}}}+{frac {EIN_{2}X_{2}}{E_{2}ICH_{2}L_{2}}}]} Anmerkungen ^J. B. Wheeler: Ein Grundkurs des Bauingenieurwesens, 1876, Buchseite 118 [1] ^ Srivastava und Gope: Stärke des Materials, Seite 73 ^ "Satz von Mohr" (Pdf). ^ "Drei-Moment-Theorem" (Pdf). Externe Links CodeCogs: Continuous beams with more than one span hide vte Structural engineering Dynamic analysis Duhamel's integralModal analysis Static analysis Betti's theoremCastigliano's methodConjugate beam methodFEMFlexibility methodMacaulay's methodMoment-area theoremStiffness methodShear and moment diagramTheorem of three moments Structural elements 1-dimensional Beam I-beamLintel Post and lintelSpanCompression memberStrutTie 2-dimensional ArchThin-shell structure Structural support Bracket Theories Euler–Bernoulli beam theoryMohr–Coulomb theoryPlate theoryTimoshenko–Ehrenfest beam theory Categories: StrukturanalyseKontinuumsmechanikTheoreme der Physik