Teorema de Bertini

Teorema de Bertini (Redirecionado do teorema de Bertini) Ir para a navegação Ir para a pesquisa Em matemática, o teorema de Bertini é um teorema de existência e de generalidade para seções de hiperplano conectadas suaves para variedades projetivas suaves sobre corpos algebricamente fechados, apresentado por Eugenio Bertini. Este é o mais simples e amplo dos "Teoremas de Bertini" aplicando a um sistema linear de divisores; mais simples porque não há restrição na característica do campo subjacente, enquanto as extensões requerem características 0.[1][2] Conteúdo 1 Declaração para seções de hiperplano de variedades suaves 2 Esquema de uma prova 3 Declaração geral 4 Generalizações 5 Veja também 6 Notas 7 References Statement for hyperplane sections of smooth varieties Let X be a smooth quasi-projective variety over an algebraically closed field, embutido em um espaço projetivo {estilo de exibição mathbf {P} ^{n}} . Deixar {estilo de exibição |H|} denotar o sistema completo de divisores de hiperplano em {estilo de exibição mathbf {P} ^{n}} . Lembre-se que é o espaço dual {estilo de exibição (mathbf {P} ^{n})^{Estrela }} do {estilo de exibição mathbf {P} ^{n}} e é isomorfo a {estilo de exibição mathbf {P} ^{n}} .

O teorema de Bertini afirma que o conjunto de hiperplanos não contendo X e com interseção suave com X contém um subconjunto denso aberto do sistema total de divisores {estilo de exibição |H|} . O próprio conjunto é aberto se X for projetivo. Se {estilo de exibição escurecer(X)geq 2} , então essas interseções (chamados de seções de hiperplano de X) estão conectados, portanto irredutível.

O teorema, portanto, afirma que uma seção geral do hiperplano não igual a X é suave, isso é: a propriedade de suavidade é genérica.

Sobre um campo arbitrário k, existe um subconjunto denso e aberto do espaço dual {estilo de exibição (mathbf {P} ^{n})^{Estrela }} cujos pontos racionais definem hiperplanos suaves seções de hiperplano de X. Quando k é infinito, este subconjunto aberto então tem infinitos pontos racionais e existem infinitas seções de hiperplano suaves em X.

Sobre um campo finito, o subconjunto aberto acima pode não conter pontos racionais e, em geral, não há hiperplanos com interseção suave com X. No entanto, se tomarmos hipersuperfícies de graus suficientemente grandes, então vale o teorema de Bertini.[3] Outline of a proof We consider the subfibration of the product variety {Xtimes de estilo de exibição |H|} com fibra acima {estilo de exibição xin X} o sistema linear de hiperplanos que interceptam X não transversalmente em x.

O posto da fibração no produto é um a menos que a codimensão de {displaystyle Xsubset mathbf {P} ^{n}} , de modo que o espaço total tem menor dimensão do que {estilo de exibição m} e assim sua projeção está contida em um divisor do sistema completo {estilo de exibição |H|} .

General statement Over any infinite field {estilo de exibição k} de característica 0, se X é um semi-projetivo suave {estilo de exibição k} -variedade, um membro geral de um sistema linear de divisores em X é suave longe do lugar geométrico da base do sistema. Para esclarecimento, isso significa que dado um sistema linear {estilo de exibição f:Xrightarrow mathbf {P} ^{n}} , a pré-imagem {estilo de exibição f^{-1}(H)} de um hiperplano H é suave -- fora do lugar geométrico da base de f -- para todos os hiperplanos H em algum subconjunto denso e aberto do espaço projetivo dual {estilo de exibição (mathbf {P} ^{n})^{Estrela }} . This theorem also holds in characteristic p>0 when the linear system f is unramified. [4] Generalizations The theorem of Bertini has been generalized in various ways. Por exemplo, um resultado devido a Steven Kleiman afirma o seguinte (cf. Teorema de Kleiman): para um grupo algébrico conectado G, e qualquer variedade G homogênea X, e duas variedades Y e Z mapeando para X, seja Yσ a variedade obtida deixando σ ∈ G atuar em Y. Então, existe um subesquema denso aberto H de G tal que para σ ∈ H, {estilo de exibição Y^{sigma }vezes _{X}Z} está vazio ou puramente do (esperado) dimensão dim Y + dim Z − dim X. Se, além do que, além do mais, Y e Z são suaves e o campo base tem característica zero, então H pode ser tomado tal que {estilo de exibição Y^{sigma }vezes _{X}Z} é suave para todos {estilo de exibição sigma em H} , também. O teorema de Bertini acima é o caso especial onde {estilo de exibição X = mathbb {P} ^{n}} é expresso como o quociente de SLn pelo subgrupo parabólico de matrizes triangulares superiores, Z é uma subvariedade e Y é um hiperplano.[5] O Teorema de Bertini também foi generalizado para domínios de valoração discretos ou campos finitos, ou para coberturas étale de X.

O teorema é frequentemente usado para etapas de indução.

Veja também o teorema de conectividade de Grothendieck Notas ^ "Teoremas de Bertini", Enciclopédia de Matemática, Imprensa EMS, 2001 [1994] ^ Hartshorne, CH. III.10. ^ Poonen, Björn (2004). "Teoremas de Bertini sobre corpos finitos". Anais da Matemática. 160 (3): 1099-1127. doi:10.4007/anais.2004.160.1099. ^ Jouanolou, Jean Pierre (1983). Teoremas e aplicações de Bertini. Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. p. 89. ISBN 0-8176-3164-X. ^ Kleiman, Steven L. (1974), "A transversalidade de uma tradução geral", Composição matemática, 28: 287-297, ISSN 0010-437X References Hartshorne, Robin (1977), Geometria Algébrica, Textos de Graduação em Matemática, volume. 52, Nova york: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 Bertini and his two fundamental theorems by Steven L. Kleiman, sobre a vida e obra de Eugenio Bertini Categorias: Geometria de divisoresTeoremas em geometria algébrica