Teorema di Bertini

Teorema di Bertini (Reindirizzato dal teorema di Bertini) Vai alla navigazione Vai alla ricerca In matematica, il teorema di Bertini è un teorema di esistenza e genericità per sezioni iperplanari connesse lisce per varietà proiettive lisce su campi algebricamente chiusi, introduced by Eugenio Bertini. Questo è il più semplice e più ampio dei "I teoremi di Bertini" applicando ad un sistema lineare di divisori; più semplice perché non vi è alcuna restrizione sulla caratteristica del campo sottostante, mentre le estensioni richiedono caratteristica 0.[1][2] Contenuti 1 Dichiarazione per sezioni iperplanari di varietà lisce 2 Schema di una dimostrazione 3 Dichiarazione generale 4 generalizzazioni 5 Guarda anche 6 Appunti 7 References Statement for hyperplane sections of smooth varieties Let X be a smooth quasi-projective variety over an algebraically closed field, racchiuso in uno spazio proiettivo {displaystyle mathbf {P} ^{n}} . Permettere {stile di visualizzazione |H|} denota il sistema completo di divisori iperplani in {displaystyle mathbf {P} ^{n}} . Ricordiamo che è lo spazio duale {stile di visualizzazione (mathbf {P} ^{n})^{stella }} di {displaystyle mathbf {P} ^{n}} ed è isomorfo a {displaystyle mathbf {P} ^{n}} .

Il teorema di Bertini afferma che l'insieme degli iperpiani non contenenti X e con intersezione regolare con X contiene un sottoinsieme denso aperto del sistema totale dei divisori {stile di visualizzazione |H|} . L'insieme stesso è aperto se X è proiettivo. Se {displaystyle dim(X)geq 2} , poi questi incroci (chiamate sezioni iperpiane di X) sono collegati, quindi irriducibile.

Il teorema quindi afferma che una sezione iperplanare generale non uguale a X è liscia, questo è: la proprietà della levigatezza è generica.

Su un campo arbitrario k, c'è un denso sottoinsieme aperto dello spazio duale {stile di visualizzazione (mathbf {P} ^{n})^{stella }} i cui punti razionali definiscono iperpiani sezioni iperpiane lisce di X. Quando k è infinito, questo sottoinsieme aperto ha quindi infiniti punti razionali e ci sono infinite sezioni iperplanari lisce in X.

Su un campo finito, il sottoinsieme aperto di cui sopra potrebbe non contenere punti razionali e in generale non ci sono iperpiani con intersezione regolare con X. Tuttavia, se prendiamo ipersuperfici di gradi sufficientemente grandi, allora vale il teorema di Bertini.[3] Outline of a proof We consider the subfibration of the product variety {stile di visualizzazione Xtimes |H|} con fibra sopra {stile di visualizzazione xin X} il sistema lineare di iperpiani che intersecano X non trasversalmente in x.

Il rango della fibrazione nel prodotto è uno in meno della codimensione di {displaystyle Xsubset mathbf {P} ^{n}} , in modo che lo spazio totale abbia una dimensione minore di {stile di visualizzazione n} e quindi la sua proiezione è contenuta in un divisore del sistema completo {stile di visualizzazione |H|} .

General statement Over any infinite field {stile di visualizzazione k} di caratteristica 0, se X è una quasi-proiettiva liscia {stile di visualizzazione k} -varietà, un membro generale di un sistema lineare di divisori su X è liscio lontano dal luogo di base del sistema. Per chiarire, questo significa che dato un sistema lineare {stile di visualizzazione f:Xrightarrow mathbf {P} ^{n}} , la preimmagine {stile di visualizzazione f^{-1}(H)} di un iperpiano H è liscio -- al di fuori del luogo di base di f -- per tutti gli iperpiani H in qualche denso sottoinsieme aperto dello spazio proiettivo duale {stile di visualizzazione (mathbf {P} ^{n})^{stella }} . This theorem also holds in characteristic p>0 when the linear system f is unramified. [4] Generalizations The theorem of Bertini has been generalized in various ways. Per esempio, un risultato dovuto a Steven Kleiman afferma quanto segue (cfr. Il teorema di Kleiman): per un gruppo algebrico connesso G, e qualsiasi varietà G omogenea X, e due varietà Y e Z che mappano su X, sia Yσ la varietà ottenuta lasciando agire σ ∈ G su Y. Quindi, esiste un sottoschema aperto denso H di G tale che per σ ∈ H, {stile di visualizzazione Y^{sigma }volte _{X}Z} è vuoto o puramente del (previsto) dimensione debole Y + dim Z - dim X. Se, Inoltre, Y e Z sono lisci e il campo base ha la caratteristica zero, allora H può essere preso tale che {stile di visualizzazione Y^{sigma }volte _{X}Z} è liscio per tutti {displaystyle sigma in H} , anche. Il teorema di Bertini sopra è il caso speciale in cui {displaystyle X=matematicabb {P} ^{n}} è espresso come quoziente di SLn dal sottogruppo parabolico delle matrici triangolari superiori, Z è una sottovarietà e Y è un iperpiano.[5] Il teorema di Bertini è stato anche generalizzato a domini di valutazione discreti o campi finiti, o per i rivestimenti étale di X.

Il teorema è spesso utilizzato per i passaggi di induzione.

Vedi anche il teorema di connessione di Grothendieck Note ^ "I teoremi di Bertini", Enciclopedia della matematica, EMS Press, 2001 [1994] ^ Hartshorn, cap. III.10. ^ Poonen, Bjorn (2004). "Teoremi di Bertini su campi finiti". Annali di matematica. 160 (3): 1099–1127. doi:10.4007/annali.2004.160.1099. ^ Jouanolou, JeanPierre (1983). Teoremi e applicazioni di Bertini. Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. p. 89. ISBN 0-8176-3164-X. ^ Kleiman, Steven L. (1974), "La trasversalità di una traduzione generale", Composizione matematica, 28: 287–297, ISSN 0010-437X References Hartshorne, Robin (1977), Geometria algebrica, Testi di laurea in Matematica, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, SIG 0463157 Bertini and his two fundamental theorems by Steven L. Cleiman, sulla vita e le opere di Eugenio Bertini Categorie: Geometria dei divisori Teoremi in geometria algebrica