Théorème de Bertini

Théorème de Bertini (Redirigé du théorème de Bertini) Aller à la navigation Aller à la recherche En mathématiques, le théorème de Bertini est un théorème d'existence et de généricité pour des sections lisses d'hyperplans connexes pour des variétés projectives lisses sur des corps algébriquement clos, présenté par Eugenio Bertini. C'est la plus simple et la plus large des "Théorèmes de Bertini" application à un système linéaire de diviseurs; plus simple car il n'y a pas de restriction sur la caractéristique du champ sous-jacent, tandis que les extensions nécessitent des caractéristiques 0.[1][2] Contenu 1 Énoncé pour les sections hyperplanes de variétés lisses 2 Esquisse d'une preuve 3 Déclaration générale 4 Généralisations 5 Voir également 6 Remarques 7 References Statement for hyperplane sections of smooth varieties Let X be a smooth quasi-projective variety over an algebraically closed field, intégré dans un espace projectif {style d'affichage mathbf {P} ^{n}} . Laisser {style d'affichage |H|} désignent le système complet des diviseurs hyperplans dans {style d'affichage mathbf {P} ^{n}} . Rappelons qu'il s'agit de l'espace dual {style d'affichage (mathbf {P} ^{n})^{étoile }} de {style d'affichage mathbf {P} ^{n}} et est isomorphe à {style d'affichage mathbf {P} ^{n}} .

Le théorème de Bertini stipule que l'ensemble des hyperplans ne contenant pas X et d'intersection lisse avec X contient un sous-ensemble ouvert dense du système total de diviseurs {style d'affichage |H|} . L'ensemble lui-même est ouvert si X est projectif. Si {style d'affichage sombre(X)gq 2} , puis ces intersections (appelées sections hyperplanes de X) est connecté, donc irréductible.

Le théorème affirme donc qu'une section d'hyperplan général non égale à X est lisse, C'est: la propriété de lissage est générique.

Sur un corps arbitraire k, il existe un sous-ensemble ouvert dense de l'espace dual {style d'affichage (mathbf {P} ^{n})^{étoile }} dont les points rationnels définissent des hyperplans lisses des sections hyperplanes de X. Quand k est infini, cet ouvert a alors une infinité de points rationnels et il y a une infinité de sections lisses d'hyperplans en X.

Sur un champ fini, le sous-ensemble ouvert ci-dessus peut ne pas contenir de points rationnels et en général il n'y a pas d'hyperplans avec une intersection lisse avec X. Cependant, si l'on prend des hypersurfaces de degrés suffisamment grands, alors le théorème de Bertini est vrai.[3] Outline of a proof We consider the subfibration of the product variety {style d'affichage Xtimes |H|} avec fibre dessus {style d'affichage xin X} le système linéaire d'hyperplans qui coupent X de manière non transversale en x.

Le rang de la fibration dans le produit est un de moins que la codimension de {style d'affichage Xsubset mathbf {P} ^{n}} , de sorte que l'espace total a une dimension moindre que {displaystyle n} et donc sa projection est contenue dans un diviseur du système complet {style d'affichage |H|} .

General statement Over any infinite field {style d'affichage k} de caractéristique 0, si X est un quasi-projectif lisse {style d'affichage k} -variété, un membre général d'un système linéaire de diviseurs sur X est lisse à partir du lieu géométrique de base du système. Pour plus de précisions, cela signifie que étant donné un système linéaire {style d'affichage f:Xrightarrow mathbf {P} ^{n}} , la préimage {style d'affichage f^{-1}(H)} d'un hyperplan H est lisse -- en dehors du lieu de la base de f -- pour tous les hyperplans H dans un sous-ensemble ouvert dense de l'espace projectif dual {style d'affichage (mathbf {P} ^{n})^{étoile }} . This theorem also holds in characteristic p>0 when the linear system f is unramified. [4] Generalizations The theorem of Bertini has been generalized in various ways. Par exemple, un résultat dû à Steven Kleiman affirme ce qui suit (cf. Théorème de Kleiman): pour un groupe algébrique connexe G, et toute G-variété homogène X, et deux variétés Y et Z cartographiant X, soit Yσ la variété obtenue en faisant agir σ ∈ G sur Y. Alors, il existe un sous-schéma ouvert dense H de G tel que pour σ ∈ H, {style d'affichage Y^{sigma }fois _{X}Z} est soit vide soit purement du (attendu) cote dimension Y + dimension Z - dimension X. Si, en outre, Y et Z sont lisses et le champ de base a une caractéristique nulle, alors H peut être pris tel que {style d'affichage Y^{sigma }fois _{X}Z} est lisse pour tous {style d'affichage sigma en H} , aussi bien. Le théorème de Bertini ci-dessus est le cas particulier où {style d'affichage X=mathbb {P} ^{n}} est exprimé comme le quotient de SLn par le sous-groupe parabolique des matrices triangulaires supérieures, Z est une sous-variété et Y est un hyperplan.[5] Le théorème de Bertini a également été généralisé aux domaines d'évaluation discrets ou aux corps finis, ou pour des revêtements étales de X.

Le théorème est souvent utilisé pour les étapes d'induction.

Voir aussi le théorème de connexité de Grothendieck Notes ^ "Théorèmes de Bertini", Encyclopédie des mathématiques, Presse EMS, 2001 [1994] ^ Harthorne, Ch. III.10. ^ Poonen, Bjorn (2004). "Théorèmes de Bertini sur les corps finis". Annales de Mathématiques. 160 (3): 1099–1127. est ce que je:10.4007/annales.2004.160.1099. ^ Jouanolou, Jean-Pierre (1983). Théorèmes de Bertini et applications. Boston, MA: Birkhauser Boston, Inc. p. 89. ISBN 0-8176-3164-X. ^ Kleimane, Steven L.. (1974), "La transversalité d'une traduction générale", Composition mathématique, 28: 287–297, ISSN 0010-437X References Hartshorne, Rouge-gorge (1977), Géométrie algébrique, Textes d'études supérieures en mathématiques, volume. 52, New York: Springer Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, M 0463157 Bertini and his two fundamental theorems by Steven L. Kleiman, sur la vie et l'oeuvre d'Eugenio Bertini Catégories: Géométrie des diviseursThéorèmes de géométrie algébrique