Satz von Bertini

Satz von Bertini (Umgeleitet von Bertinis Theorem) Zur Navigation springen Zur Suche springen In der Mathematik, Der Satz von Bertini ist ein Existenz- und Gattungssatz für glatt verbundene Hyperebenenabschnitte für glatte projektive Varietäten über algebraisch abgeschlossenen Körpern, eingeführt von Eugenio Bertini. Dies ist die einfachste und breiteste der "Bertinis Sätze" Anwendung auf ein lineares Teilersystem; am einfachsten, weil es keine Beschränkung auf die Eigenschaft des zugrunde liegenden Feldes gibt, während die Erweiterungen charakteristisch erfordern 0.[1][2] Inhalt 1 Aussage für Hyperebenenschnitte glatter Varietäten 2 Gliederung eines Beweises 3 Allgemeine Aussage 4 Verallgemeinerungen 5 Siehe auch 6 Anmerkungen 7 References Statement for hyperplane sections of smooth varieties Let X be a smooth quasi-projective variety over an algebraically closed field, Eingebettet in einen projektiven Raum {Anzeigestil mathbf {P} ^{n}} . Lassen {Anzeigestil |H|} bezeichnen das vollständige System der Hyperebenenteiler in {Anzeigestil mathbf {P} ^{n}} . Denken Sie daran, dass es sich um den dualen Raum handelt {Anzeigestil (mathbf {P} ^{n})^{Stern }} von {Anzeigestil mathbf {P} ^{n}} und ist isomorph zu {Anzeigestil mathbf {P} ^{n}} .

Der Satz von Bertini besagt, dass die Menge der Hyperebenen, die X nicht enthalten und die sich glatt mit X schneiden, eine offene dichte Teilmenge des gesamten Teilersystems enthält {Anzeigestil |H|} . Die Menge selbst ist offen, falls X projektiv ist. Wenn {Anzeigestil dim(X)geq 2} , dann diese Kreuzungen (sogenannte Hyperebenenschnitte von X) sind verbunden, daher irreduzibel.

Der Satz besagt daher, dass ein allgemeiner Hyperebenenschnitt, der nicht gleich X ist, glatt ist, das ist: die Eigenschaft der Glätte ist generisch.

Über einem beliebigen Körper k, es gibt eine dichte offene Teilmenge des dualen Raums {Anzeigestil (mathbf {P} ^{n})^{Stern }} deren rationale Punkte Hyperebenen definieren, glatte Hyperebenenabschnitte von X. Wenn k unendlich ist, diese offene Teilmenge hat dann unendlich viele rationale Punkte und es gibt unendlich viele glatte Hyperebenenschnitte in X.

Über ein endliches Feld, Die obige offene Teilmenge enthält möglicherweise keine rationalen Punkte, und im Allgemeinen gibt es keine Hyperebenen mit glattem Schnittpunkt mit X. Jedoch, wenn wir Hyperflächen hinreichend großen Grades nehmen, dann gilt der Satz von Bertini.[3] Outline of a proof We consider the subfibration of the product variety {Displaystyle xmal |H|} mit Faser oben {Anzeigestil xin X} das lineare System von Hyperebenen, die X nicht transversal bei x schneiden.

Der Faserungsgrad im Produkt ist um eins geringer als die Kodimension von {displaystyle Xsubset mathbf {P} ^{n}} , so dass der Gesamtraum eine geringere Dimension als hat {Anzeigestil n} und so ist seine Projektion in einem Teiler des vollständigen Systems enthalten {Anzeigestil |H|} .

General statement Over any infinite field {Anzeigestil k} von charakteristisch 0, wenn X glatt quasi-projektiv ist {Anzeigestil k} -Vielfalt, Ein allgemeines Mitglied eines linearen Teilersystems auf X ist glatt vom Basisort des Systems entfernt. Zur Klarstellung, dies bedeutet, dass bei einem linearen System {Anzeigestil f:XRechtspfeil mathbf {P} ^{n}} , das Vorbild {Anzeigestil f^{-1}(H)} einer Hyperebene H ist glatt -- außerhalb des Basisortes von f -- für alle Hyperebenen H in einer dichten offenen Teilmenge des dualen projektiven Raums {Anzeigestil (mathbf {P} ^{n})^{Stern }} . This theorem also holds in characteristic p>0 when the linear system f is unramified. [4] Generalizations The theorem of Bertini has been generalized in various ways. Zum Beispiel, ein Ergebnis von Steven Kleiman behauptet Folgendes (vgl. Satz von Kleiman): für eine zusammenhängende algebraische Gruppe G, und jede homogene G-Sorte X, und zwei Varietäten Y und Z, die auf X abgebildet werden, sei Yσ die Varietät, die man erhält, wenn man σ ∈ G auf Y wirken lässt. Dann, es gibt ein offenes dichtes Unterschema H von G, so dass für σ ∈ H, {Anzeigestil Y^{Sigma }mal _{X}Z} ist entweder leer oder rein von der (erwartet) Maßmaß Y + dim Z − dim X. Wenn, zusätzlich, Y und Z sind glatt und das Grundfeld hat die Charakteristik Null, dann kann H so genommen werden, dass {Anzeigestil Y^{Sigma }mal _{X}Z} ist für alle glatt {Anzeigestil Sigma in H} , auch. Der obige Satz von Bertini ist der Spezialfall wo {Anzeigestil X=mathbb {P} ^{n}} wird als Quotient von SLn durch die parabolische Untergruppe der oberen Dreiecksmatrizen ausgedrückt, Z ist eine Untervarietät und Y ist eine Hyperebene.[5] Der Satz von Bertini wurde auch auf diskrete Bewertungsdomänen oder endliche Körper verallgemeinert, oder für étale Bedeckungen von X.

Der Satz wird oft für Induktionsschritte verwendet.

Siehe auch Zusammenhangssatz von Grothendieck Anmerkungen ^ "Bertinis Sätze", Enzyklopädie der Mathematik, EMS-Presse, 2001 [1994] ^ Hartshorne, CH. III.10. ^ Poonen, Björn (2004). "Bertini-Theoreme über endliche Körper". Annalen der Mathematik. 160 (3): 1099–1127. doi:10.4007/Annalen.2004.160.1099. ^ Jouanolou, Jean Pierre (1983). Bertinis Theoreme und Anwendungen. Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. p. 89. ISBN 0-8176-3164-X. ^ Kleiman, Steven L. (1974), "Die Transversalität einer allgemeinen Übersetzung", Mathematische Zusammensetzung, 28: 287–297, ISSN 0010-437X References Hartshorne, Robin (1977), Algebraische Geometrie, Abschlusstexte in Mathematik, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, HERR 0463157 Bertini and his two fundamental theorems by Steven L. Kleiman, über das Leben und Werk von Eugenio Bertini Kategorien: Geometrie der DivisorenSätze der algebraischen Geometrie