Número de Thabit

Número Thabit Thabit primo Nomeado após Thābit ibn Qurra Conjecturado não. de termos Infinita Subsequência de números Thabit Primeiros termos 2, 5, 11, 23, 47, 191, 383, 6143, 786431 Índice OEIS A007505 Na teoria dos números, um número Thabit, Número de Thâbit ibn Qurra, ou 321 número é um número inteiro da forma {estilo de exibição 3cdot 2^{n}-1} para um inteiro não negativo n.

Os primeiros números Thabit são: 2, 5, 11, 23, 47, 95, 191, 383, 767, 1535, 3071, 6143, 12287, 24575, 49151, 98303, 196607, 393215, 786431, 1572863, ... (sequência A055010 no OEIS) O matemático do século IX, médico, o astrônomo e tradutor Thābit ibn Qurra é creditado como o primeiro a estudar esses números e sua relação com os números amigáveis.[1] Conteúdo 1 Propriedades 2 Conexão com números amigáveis 3 Generalização 4 Referências 5 External links Properties The binary representation of the Thabit number 3·2n−1 is n+2 digits long, consiste em "10" seguido por n 1s.

Os primeiros números Thabit que são primos (Thabit primos ou 321 primos): 2, 5, 11, 23, 47, 191, 383, 6143, 786431, 51539607551, 824633720831, ... (sequência A007505 no OEIS) As of January 2022, existem 65 números primos Thabit conhecidos. Seus valores n são:[2][3][4][5] 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 38, 43, 55, 64, 76, 94, 103, 143, 206, 216, 306, 324, 391, 458, 470, 827, 1274, 3276, 4204, 5134, 7559, 12676, 14898, 18123, 18819, 25690, 26459, 41628, 51387, 71783, 80330, 85687, 88171, 97063, 123630, 155930, 164987, 234760, 414840, 584995, 702038, 727699, 992700, 1201046, 1232255, 2312734, 3136255, 4235414, 6090515, 11484018, 11731850, 11895718, 16819291, 17748034, 18196595, ... (sequência A002235 no OEIS) Os primos para 234760 ≤ n ≤ 3136255 foram encontrados pelo projeto de computação distribuída 321 procurar.[6] Dentro 2008, PrimeGrid assumiu a busca por primos Thabit.[7] Ele ainda está procurando e já encontrou todos os primos Thabit atualmente conhecidos com n ≥ 4235414.[8] Também está procurando por primos da forma 3·2n+1, tais primos são chamados de primos Thabit do segundo tipo ou 321 primos do segundo tipo.

Os primeiros números Thabit do segundo tipo são: 4, 7, 13, 25, 49, 97, 193, 385, 769, 1537, 3073, 6145, 12289, 24577, 49153, 98305, 196609, 393217, 786433, 1572865, ... (sequência A181565 no OEIS) Os primeiros primos Thabit do segundo tipo são: 7, 13, 97, 193, 769, 12289, 786433, 3221225473, 206158430209, 6597069766657, 221360928884514619393, ... (sequência A039687 no OEIS) Seus valores n são: 1, 2, 5, 6, 8, 12, 18, 30, 36, 41, 66, 189, 201, 209, 276, 353, 408, 438, 534, 2208, 2816, 3168, 3189, 3912, 20909, 34350, 42294, 42665, 44685, 48150, 54792, 55182, 59973, 80190, 157169, 213321, 303093, 362765, 382449, 709968, 801978, 916773, 1832496, 2145353, 2291610, 2478785, 5082306, 7033641, 10829346, ... (sequência A002253 no OEIS) Connection with amicable numbers When both n and n−1 yield Thabit primes (do primeiro tipo), e {estilo de exibição 9cdot 2^{2n-1}-1} também é primo, um par de números amigáveis ​​pode ser calculado da seguinte forma: {estilo de exibição 2 ^{n}(3cdot 2^{n-1}-1)(3cdot 2^{n}-1)} e {estilo de exibição 2 ^{n}(9cdot 2^{2n-1}-1).} Por exemplo, n = 2 dá o primeiro Thabit 11, e n−1 = 1 dá o primeiro Thabit 5, e nosso terceiro termo é 71. Então, 22=4, multiplicado por 5 e 11 resulta em 220, cujos divisores somam 284, e 4 vezes 71 é 284, cujos divisores somam 220.

Os únicos n conhecidos que satisfazem essas condições são 2, 4 e 7, correspondente aos primos de Thabit 11, 47 e 383 dado por n, os primos Thabit 5, 23 e 191 dado por n−1, e nossos terceiros termos são 71, 1151 e 73727. (Os pares amigáveis ​​correspondentes são (220, 284), (17296, 18416) e (9363584, 9437056)) Generalization For integer b ≥ 2, a base numérica Thabit b é um número da forma (b+1)·bn- 1 para um inteiro não negativo n. Também, para inteiro b ≥ 2, um número Thabit do segundo tipo base b é um número da forma (b+1)·bn + 1 para um inteiro não negativo n.

Os números de Williams também são uma generalização dos números Thabit. Para inteiro b ≥ 2, a base numérica de Williams b é um número da forma (b−1)·bn- 1 para um inteiro não negativo n.[9] Também, para inteiro b ≥ 2, um número de Williams do segundo tipo base b é um número da forma (b−1)·bn + 1 para um inteiro não negativo n.

Para inteiro b ≥ 2, a base Thabit primo b é uma base numérica Thabit b que também é primo. De forma similar, para inteiro b ≥ 2, a base numérica de Williams b é uma base numérica de Williams b que também é primo.

Todo primo p é um primo Thabit do primeiro tipo base p, um primo de Williams do primeiro tipo base p+2, e um primo de Williams de segunda espécie base p; se p ≥ 5, então p também é um primo de Thabit de segunda espécie base p−2.

É uma conjectura que para todo inteiro b ≥ 2, existem infinitos primos Thabit do primeiro tipo base b, infinitos primos de Williams do primeiro tipo base b, e infinitos primos de Williams do segundo tipo base b; também, para cada inteiro b ≥ 2 que não é congruente com 1 módulo 3, existem infinitos primos Thabit do segundo tipo base b. (Se a base b for congruente com 1 módulo 3, então todos os números Thabit do segundo tipo base b são divisíveis por 3 (e maior que 3, uma vez que b ≥ 2), então não há primos Thabit da segunda espécie base b.) O expoente dos primos de Thabit do segundo tipo não pode ser congruente com 1 mod 3 (exceto 1 em si), o expoente dos primos de Williams do primeiro tipo não pode ser congruente com 4 mod 6, e o expoente dos primos de Williams do segundo tipo não pode ser congruente com 1 mod 6 (exceto 1 em si), uma vez que o polinômio correspondente a b é um polinômio redutível. (Se n ≡ 1 mod 3, então (b+1)·bn + 1 é divisível por b2 + b + 1; se n ≡ 4 mod 6, então (b−1)·bn- 1 é divisível por b2 − b + 1; e se n ≡ 1 mod 6, então (b−1)·bn + 1 é divisível por b2 − b + 1) Por outro lado, o polinômio correspondente a b é um polinômio irredutível, então, se a conjectura de Bunyakovsky for verdadeira, então existem infinitas bases b tais que o número correspondente (para expoente fixo n satisfazendo a condição) é primo. ((b+1)·bn- 1 é irredutível para todo inteiro não negativo n, então, se a conjectura de Bunyakovsky for verdadeira, então existem infinitas bases b tais que o número correspondente (para expoente fixo n) é primo) b numbers n such that (b+1)·bn- 1 é primo (Thabit primos do primeiro tipo base b) números n tais que (b+1)·bn + 1 é primo (Thabit primos do segundo tipo base b) números n tais que (b−1)·bn- 1 é primo (primos de Williams do primeiro tipo base b) números n tais que (b−1)·bn + 1 é primo (primos de Williams do segundo tipo base b) 2 OEIS: A002235 OEIS: A002253 OEIS: A000043 0, 1, 2, 4, 8, 16, ... (ver Fermat prime) 3 OEIS: A005540 OEIS: A005537 OEIS: A003307 OEIS: A003306 4 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 16, 24, 27, 36, 74, 92, 124, 135, 137, 210, ... (Nenhum) OEIS: A272057 1, 3, 4, 6, 9, 15, 18, 33, 138, 204, 219, 267, ... 5 OEIS: A257790 OEIS: A143279 OEIS: A046865 OEIS: A204322 6 1, 2, 3, 13, 21, 28, 30, 32, 36, 48, 52, 76, ... 1, 6, 17, 38, 50, 80, 207, 236, 264, ... OEIS: A079906 OEIS: A247260 7 0, 4, 7, 10, 14, 23, 59, ... (Nenhum) OEIS: A046866 OEIS: A245241 8 1, 5, 7, 21, 33, 53, 103, ... 1, 2, 11, 14, 21, 27, 54, 122, 221, ... OEIS: A268061 OEIS: A269544 9 1, 2, 4, 5, 7, 10, 11, 13, 15, 19, 27, 29, 35, 42, 51, 70, 112, 164, 179, 180, 242, ... 0, 2, 6, 9, 11, 51, 56, 81, ... OEIS: A268356 OEIS: A056799 10 OEIS: A111391 (Nenhum) OEIS: A056725 OEIS: A056797 11 0, 1, 2, 3, 4, 11, 13, 22, 27, 48, 51, 103, 147, 280, ... 0, 2, 3, 6, 8, 138, 149, 222, ... OEIS: A046867 OEIS: A057462 12 2, 6, 11, 66, 196, ... 1, 2, 8, 9, 17, 26, 62, 86, 152, ... OEIS: A079907 OEIS: A251259 Least k ≥ 1 de tal modo que (n+1)·nk − 1 é primo são: (comece com n = 2) 1, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 4, 3, 1, 1, 1, 2, 7, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 4, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 8, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 5, 2, 1483, 1, 1, 1, 24, 1, 2, 1, 2, 6, 3, 3, 36, 1, 10, 8, 3, 7, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 7, 1704, 1, 3, 9, 4, 1, 1, 2, 1, 2, 24, 25, 1, ...

Mínimo k ≥ 1 de tal modo que (n+1)·k + 1 é primo são: (comece com n = 2, 0 se tal k não existir) 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 0, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 9, 0, 1, 1, 0, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 5, 2, 0, 5, 1, 0, 2, 3, 0, 1, 3, 0, 1, 2, 0, 2, 2, 0, 2, 6, 0, 1, 183, 0, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 21, 0, 1, 185, 0, 3, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 120, 0, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 8, 0, 5, 9, 0, 2, 2, 0, 1, 1, 0, 2, 3, 0, 9, 14, 0, 3, 1, 0, ...

Mínimo k ≥ 1 de tal modo que (n−1)·nk − 1 é primo são: (comece com n = 2) 2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 14, 1, 1, 2, 6, 1, 1, 1, 55, 12, 1, 133, 1, 20, 1, 2, 1, 1, 2, 15, 3, 1, 7, 136211, 1, 1, 7, 1, 7, 7, 1, 1, 1, 2, 1, 25, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 899, 3, 11, 1, 1, 1, 63, 1, 13, 1, 25, 8, 3, 2, 7, 1, 44, 2, 11, 3, 81, 21495, 1, 2, 1, 1, 3, 25, 1, 519, 77, 476, 1, 1, 2, 1, 4983, 2, 2, ...

Mínimo k ≥ 1 de tal modo que (n−1)·k + 1 é primo são: (comece com n = 2) 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 10, 3, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 29, 14, 1, 1, 14, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 5, 12, 2, 1, 2, 2, 9, 16, 1, 2, 80, 1, 2, 4, 2, 3, 16, 2, 2, 2, 1, 15, 960, 15, 1, 4, 3, 1, 14, 1, 6, 20, 1, 3, 946, 6, 1, 18, 10, 1, 4, 1, 5, 42, 4, 1, 828, 1, 1, 2, 1, 12, 2, 6, 4, 30, 3, 3022, 2, 1, 1, 8, 2, 4, 4, 2, 11, 8, 2, 1, ...

Números Pierpont {estilo de exibição 3 ^{m}cdot 2^{n}+1} são uma generalização de números Thabit do segundo tipo {estilo de exibição 3cdot 2^{n}+1} .

Referências ^ Rashed, Roshdi (1994). O desenvolvimento da matemática árabe: entre aritmética e álgebra. Volume. 156. Dordrecht, Boston, Londres: Editores Acadêmicos Kluwer. p. 277. ISBN 0-7923-2565-6. ^ http://www.mersenneforum.org/321search/How%20many%20digits%20these%20primes%20have.html ^ "PrimePage Primes: 3 · 2^4235414 - 1". ^ http://primes.utm.edu/primes/lists/short.txt[arquivo de texto simples de URL simples] ^ PrimeGrid Primes procura 3*2^n - 1. ^ http://www.mersenneforum.org/321search/The%20status%20of%20the%20search.html ^ "Bios do PrimePage: 321procurar". ^ http://primes.utm.edu/primes/lists/short.txt[arquivo de texto simples de URL simples] ^ Lista de primos de Williams (do primeiro tipo) base 3 para 2049 (para expoente ≥ 1) Weissstein esquerdo externo, Eric W. "Número de Thâbit ibn Kurrah". MathWorld. Weisstein, Eric W. "Thabit ibn Kurrah Prime". MathWorld. Chris Caldwell, O maior banco de dados de primos conhecidos nas páginas Prime Um primo Thabit da primeira base de tipo 2: (2+1)·211895718 − 1 Um primo Thabit da base do segundo tipo 2: (2+1)·210829346 + 1 Um primo Williams da primeira base tipo 2: (2−1)·274207281 − 1 Um primo Williams da primeira base tipo 3: (3−1)·31360104 − 1 Um primo de Williams da segunda base tipo 3: (3−1)·31175232 + 1 Um primo Williams da primeira base tipo 10: (10−1)·10383643 − 1 Um primo Williams da primeira base tipo 113: (113−1)·113286643 − 1 Lista de primos de Williams PrimeGrid 321 Pesquisa principal, sobre a descoberta do Thabit primo da primeira base de tipo 2: (2+1)·26090515 − 1 show vte classes de números primos show vte classes de números naturais Categorias: Sequências inteirasMatemática islâmicaInvenções árabes