Numero di Thabit

Thabit numero Thabit prime Prende il nome da Thābit ibn Qurra Congetturato n. di termini Sottosequenza infinita di numeri Thabit Primi termini 2, 5, 11, 23, 47, 191, 383, 6143, 786431 Indice OEIS A007505 Nella teoria dei numeri, un numero di Thabit, Numero di Thâbit ibn Qurra, o 321 numero è un numero intero della forma {displaystyle 3cdot 2^{n}-1} per un intero non negativo n.

I primi numeri di Thabit lo sono: 2, 5, 11, 23, 47, 95, 191, 383, 767, 1535, 3071, 6143, 12287, 24575, 49151, 98303, 196607, 393215, 786431, 1572863, ... (sequenza A055010 nell'OEIS) Il matematico del IX secolo, medico, L'astronomo e traduttore Thābit ibn Qurra è considerato il primo a studiare questi numeri e la loro relazione con i numeri amichevoli.[1] Contenuti 1 Proprietà 2 Collegamento con numeri amichevoli 3 Generalizzazione 4 Riferimenti 5 External links Properties The binary representation of the Thabit number 3·2n−1 is n+2 digits long, consiste in "10" seguito da n 1s.

I primi numeri di Thabit che sono primi (Thabit primi o 321 primi): 2, 5, 11, 23, 47, 191, 383, 6143, 786431, 51539607551, 824633720831, ... (sequenza A007505 nell'OEIS) As of January 2022, ci sono 65 numeri primi conosciuti di Thabit. I loro n valori sono:[2][3][4][5] 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 38, 43, 55, 64, 76, 94, 103, 143, 206, 216, 306, 324, 391, 458, 470, 827, 1274, 3276, 4204, 5134, 7559, 12676, 14898, 18123, 18819, 25690, 26459, 41628, 51387, 71783, 80330, 85687, 88171, 97063, 123630, 155930, 164987, 234760, 414840, 584995, 702038, 727699, 992700, 1201046, 1232255, 2312734, 3136255, 4235414, 6090515, 11484018, 11731850, 11895718, 16819291, 17748034, 18196595, ... (sequenza A002235 nell'OEIS) I numeri primi per 234760 ≤ n ≤ 3136255 sono stati trovati dal progetto di calcolo distribuito 321 ricerca.[6] In 2008, PrimeGrid ha assunto la ricerca dei numeri primi di Thabit.[7] Sta ancora cercando e ha già trovato tutti i numeri primi di Thabit attualmente conosciuti con n ≥ 4235414.[8] Cerca anche numeri primi della forma 3·2n+1, tali numeri primi sono chiamati primi Thabit del secondo tipo o 321 primi del secondo tipo.

I primi numeri Thabit del secondo tipo sono: 4, 7, 13, 25, 49, 97, 193, 385, 769, 1537, 3073, 6145, 12289, 24577, 49153, 98305, 196609, 393217, 786433, 1572865, ... (sequenza A181565 nell'OEIS) I primi primi di Thabit del secondo tipo sono: 7, 13, 97, 193, 769, 12289, 786433, 3221225473, 206158430209, 6597069766657, 221360928884514619393, ... (sequenza A039687 nell'OEIS) I loro n valori sono: 1, 2, 5, 6, 8, 12, 18, 30, 36, 41, 66, 189, 201, 209, 276, 353, 408, 438, 534, 2208, 2816, 3168, 3189, 3912, 20909, 34350, 42294, 42665, 44685, 48150, 54792, 55182, 59973, 80190, 157169, 213321, 303093, 362765, 382449, 709968, 801978, 916773, 1832496, 2145353, 2291610, 2478785, 5082306, 7033641, 10829346, ... (sequenza A002253 nell'OEIS) Connection with amicable numbers When both n and n−1 yield Thabit primes (del primo tipo), e {displaystyle 9cdot 2^{2n-1}-1} è anche primo, una coppia di numeri amichevoli può essere calcolata come segue: {stile di visualizzazione 2 ^{n}(3cdot 2^{n-1}-1)(3cdot 2^{n}-1)} e {stile di visualizzazione 2 ^{n}(9cdot 2^{2n-1}-1).} Per esempio, n = 2 dà il Thabit primo 11, e n−1 = 1 dà il Thabit primo 5, e il nostro terzo mandato è 71. Quindi, 22=4, moltiplicato per 5 e 11 risulta in 220, i cui divisori si sommano 284, e 4 volte 71 è 284, i cui divisori si sommano 220.

Gli unici n conosciuti che soddisfano queste condizioni sono 2, 4 e 7, corrispondente ai primi di Thabit 11, 47 e 383 dato dal n, i primi di Thabit 5, 23 e 191 dato da n−1, e i nostri terzi termini sono 71, 1151 e 73727. (Le corrispondenti coppie amichevoli sono (220, 284), (17296, 18416) e (9363584, 9437056)) Generalization For integer b ≥ 2, a Thabit base numerica b è un numero della forma (b+1)·bn − 1 per un intero non negativo n. Anche, per intero b ≥ 2, a Numero Thabit del secondo tipo base b è un numero della forma (b+1)·mld + 1 per un intero non negativo n.

I numeri di Williams sono anche una generalizzazione dei numeri di Thabit. Per intero b ≥ 2, a base numerica Williams b è un numero della forma (b-1)·bn − 1 per un intero non negativo n.[9] Anche, per intero b ≥ 2, un numero di Williams del secondo tipo in base b è un numero della forma (b-1)·mld + 1 per un intero non negativo n.

Per intero b ≥ 2, a Thabit prima base b è una base numerica Thabit b che è anche prima. Allo stesso modo, per intero b ≥ 2, una base prima di Williams b è una base numerica di Williams b che è anche prima.

Ogni primo p è un primo Thabit del primo tipo in base p, un primo di Williams del primo tipo in base p+2, e un primo di Williams del secondo tipo in base p; se p ≥ 5, allora p è anche un Thabit primo del secondo tipo in base p−2.

È una congettura che per ogni intero b ≥ 2, ci sono infiniti numeri primi di Thabit del primo tipo in base b, infiniti primi di Williams del primo tipo in base b, e infiniti primi di Williams del secondo tipo in base b; anche, per ogni intero b ≥ 2 che non è congruente a 1 modulo 3, ci sono infiniti numeri primi di Thabit del secondo tipo in base b. (Se la base b è congruente a 1 modulo 3, allora tutti i numeri di Thabit del secondo tipo in base b sono divisibili per 3 (e maggiore di 3, poiché b ≥ 2), quindi non ci sono numeri primi di Thabit del secondo tipo in base b.) L'esponente dei primi di Thabit del secondo tipo non può essere congruente a 1 mod 3 (tranne 1 si), l'esponente dei primi di Williams del primo tipo non può congruente con 4 mod 6, e l'esponente dei primi di Williams del secondo tipo non può congruente con 1 mod 6 (tranne 1 si), poiché il polinomio corrispondente a b è un polinomio riducibile. (Se n ≡ 1 mod 3, poi (b+1)·mld + 1 è divisibile per b2 + b + 1; se n ≡ 4 mod 6, poi (b-1)·bn − 1 è divisibile per b2 − b + 1; e se n ≡ 1 mod 6, poi (b-1)·mld + 1 è divisibile per b2 − b + 1) Altrimenti, il polinomio corrispondente a b è un polinomio irriducibile, quindi se la congettura di Bunyakovsky è vera, allora ci sono infinite basi b tali che il numero corrispondente (per esponente fisso n che soddisfa la condizione) è primo. ((b+1)·bn − 1 è irriducibile per ogni intero non negativo n, quindi se la congettura di Bunyakovsky è vera, allora ci sono infinite basi b tali che il numero corrispondente (per esponente fisso n) è primo) b numbers n such that (b+1)·bn − 1 è primo (Primi di Thabit del primo tipo in base b) numeri n tali che (b+1)·mld + 1 è primo (Primi di Thabit del secondo tipo in base b) numeri n tali che (b-1)·bn − 1 è primo (Primi di Williams del primo tipo in base b) numeri n tali che (b-1)·mld + 1 è primo (Primi di Williams del secondo tipo in base b) 2 OEIS: A002235 OEIS: A002253 OEIS: A000043 0, 1, 2, 4, 8, 16, ... (vedi Fermat primo) 3 OEIS: A005540 OEIS: A005537 OEIS: A003307 OEIS: A003306 4 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 16, 24, 27, 36, 74, 92, 124, 135, 137, 210, ... (nessuno) OEIS: A272057 1, 3, 4, 6, 9, 15, 18, 33, 138, 204, 219, 267, ... 5 OEIS: A257790 OEIS: A143279 OEIS: A046865 OEIS: A204322 6 1, 2, 3, 13, 21, 28, 30, 32, 36, 48, 52, 76, ... 1, 6, 17, 38, 50, 80, 207, 236, 264, ... OEIS: A079906 OEIS: A247260 7 0, 4, 7, 10, 14, 23, 59, ... (nessuno) OEIS: A046866 OEIS: A245241 8 1, 5, 7, 21, 33, 53, 103, ... 1, 2, 11, 14, 21, 27, 54, 122, 221, ... OEIS: A268061 OEIS: A269544 9 1, 2, 4, 5, 7, 10, 11, 13, 15, 19, 27, 29, 35, 42, 51, 70, 112, 164, 179, 180, 242, ... 0, 2, 6, 9, 11, 51, 56, 81, ... OEIS: A268356 OEIS: A056799 10 OEIS: A111391 (nessuno) OEIS: A056725 OEIS: A056797 11 0, 1, 2, 3, 4, 11, 13, 22, 27, 48, 51, 103, 147, 280, ... 0, 2, 3, 6, 8, 138, 149, 222, ... OEIS: A046867 OEIS: A057462 12 2, 6, 11, 66, 196, ... 1, 2, 8, 9, 17, 26, 62, 86, 152, ... OEIS: A079907 OEIS: A251259 Least k ≥ 1 tale che (n+1)·nk − 1 è primo sono: (inizia con n = 2) 1, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 4, 3, 1, 1, 1, 2, 7, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 4, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 8, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 5, 2, 1483, 1, 1, 1, 24, 1, 2, 1, 2, 6, 3, 3, 36, 1, 10, 8, 3, 7, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 7, 1704, 1, 3, 9, 4, 1, 1, 2, 1, 2, 24, 25, 1, ...

Almeno k ≥ 1 tale che (n+1)·nk + 1 è primo sono: (inizia con n = 2, 0 se non esiste tale k) 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 0, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 9, 0, 1, 1, 0, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 5, 2, 0, 5, 1, 0, 2, 3, 0, 1, 3, 0, 1, 2, 0, 2, 2, 0, 2, 6, 0, 1, 183, 0, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 21, 0, 1, 185, 0, 3, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 120, 0, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 8, 0, 5, 9, 0, 2, 2, 0, 1, 1, 0, 2, 3, 0, 9, 14, 0, 3, 1, 0, ...

Almeno k ≥ 1 tale che (n-1)·nk − 1 è primo sono: (inizia con n = 2) 2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 14, 1, 1, 2, 6, 1, 1, 1, 55, 12, 1, 133, 1, 20, 1, 2, 1, 1, 2, 15, 3, 1, 7, 136211, 1, 1, 7, 1, 7, 7, 1, 1, 1, 2, 1, 25, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 899, 3, 11, 1, 1, 1, 63, 1, 13, 1, 25, 8, 3, 2, 7, 1, 44, 2, 11, 3, 81, 21495, 1, 2, 1, 1, 3, 25, 1, 519, 77, 476, 1, 1, 2, 1, 4983, 2, 2, ...

Almeno k ≥ 1 tale che (n-1)·nk + 1 è primo sono: (inizia con n = 2) 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 10, 3, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 29, 14, 1, 1, 14, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 5, 12, 2, 1, 2, 2, 9, 16, 1, 2, 80, 1, 2, 4, 2, 3, 16, 2, 2, 2, 1, 15, 960, 15, 1, 4, 3, 1, 14, 1, 6, 20, 1, 3, 946, 6, 1, 18, 10, 1, 4, 1, 5, 42, 4, 1, 828, 1, 1, 2, 1, 12, 2, 6, 4, 30, 3, 3022, 2, 1, 1, 8, 2, 4, 4, 2, 11, 8, 2, 1, ...

Numeri Pierpont {stile di visualizzazione 3 ^{m}cdot 2^{n}+1} sono una generalizzazione dei numeri di Thabit del secondo tipo {displaystyle 3cdot 2^{n}+1} .

Riferimenti ^ Rash, Roshdi (1994). Lo sviluppo della matematica araba: tra aritmetica e algebra. vol. 156. Dordrecht, Boston, Londra: Editori accademici Kluwer. p. 277. ISBN 0-7923-2565-6. ^ http://www.mersenneforum.org/321search/How%20many%20digits%20these%20primes%20have.html ^ "PrimePage Prime: 3 · 2^4235414 - 1". ^ http://primes.utm.edu/primes/lists/short.txt[file di testo normale URL nudo] ^ PrimeGrid Primes ricerca 3*2^n - 1. ^ http://www.mersenneforum.org/321search/The%20status%20of%20the%20search.html ^ "Bios di PrimePage: 321ricerca". ^ http://primes.utm.edu/primes/lists/short.txt[file di testo normale URL nudo] ^ Elenco dei numeri primi di Williams (del primo tipo) base 3 a 2049 (per esponente ≥ 1) Weissstein esterno sinistro, Eric W. "Numero di Thâbit ibn Kurrah". Math World. Weisstein, Eric W. "Thâbit ibn Kurrah Prime". Math World. Chris Caldwell, Il più grande database di Primes conosciuto su The Prime Pages Una base Thabit prime del primo tipo 2: (2+1)·211895718 - 1 Un Thabit primo della seconda base tipo 2: (2+1)·210829346 + 1 Una base Williams di prim'ordine 2: (2-1)·274207281 - 1 Una base Williams di prim'ordine 3: (3-1)·31360104 - 1 Una base Williams prime di seconda specie 3: (3-1)·31175232 + 1 Una base Williams di prim'ordine 10: (10-1)·10383643 - 1 Una base Williams di prim'ordine 113: (113-1)·113286643 - 1 Elenco dei primi Williams di PrimeGrid 321 Prime Ricerca, sulla scoperta della base di Thabit primo di primo tipo 2: (2+1)·26090515 - 1 show vte Classi di numeri primi show vte Classi di numeri naturali Categorie: Sequenze intereMatematica islamicaInvenzioni arabe