Numéro de Thabit

Nombre Thabit Premier Thabit Nommé d'après Thābit ibn Qurra Conjecturé non. de termes Sous-suite infinie de nombres de Thabit Premiers termes 2, 5, 11, 23, 47, 191, 383, 6143, 786431 Index OEIS A007505 En théorie des nombres, un nombre Thabit, Numéro Thâbit ibn Qurra, ou 321 nombre est un entier de la forme {style d'affichage 3cdot 2^{n}-1} pour un entier non négatif n.

Les premiers chiffres Thabit sont: 2, 5, 11, 23, 47, 95, 191, 383, 767, 1535, 3071, 6143, 12287, 24575, 49151, 98303, 196607, 393215, 786431, 1572863, ... (séquence A055010 dans l'OEIS) Le mathématicien du IXe siècle, médecin, l'astronome et traducteur Thābit ibn Qurra est considéré comme le premier à avoir étudié ces nombres et leur relation avec les nombres amicaux.[1] Contenu 1 Propriétés 2 Mise en relation avec des numéros amiables 3 Généralisation 4 Références 5 External links Properties The binary representation of the Thabit number 3·2n−1 is n+2 digits long, composé de "10" suivi de n 1s.

Les premiers nombres de Thabit qui sont premiers (Thabit premiers ou 321 nombres premiers): 2, 5, 11, 23, 47, 191, 383, 6143, 786431, 51539607551, 824633720831, ... (séquence A007505 dans l'OEIS) As of January 2022, il y a 65 nombres premiers connus de Thabit. Leurs n valeurs sont:[2][3][4][5] 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 38, 43, 55, 64, 76, 94, 103, 143, 206, 216, 306, 324, 391, 458, 470, 827, 1274, 3276, 4204, 5134, 7559, 12676, 14898, 18123, 18819, 25690, 26459, 41628, 51387, 71783, 80330, 85687, 88171, 97063, 123630, 155930, 164987, 234760, 414840, 584995, 702038, 727699, 992700, 1201046, 1232255, 2312734, 3136255, 4235414, 6090515, 11484018, 11731850, 11895718, 16819291, 17748034, 18196595, ... (séquence A002235 dans l'OEIS) Les nombres premiers pour 234760 ≤ n ≤ 3136255 ont été trouvés par le projet informatique distribué 321 chercher.[6] Dans 2008, PrimeGrid a repris la recherche des nombres premiers de Thabit.[7] Il cherche toujours et a déjà trouvé tous les nombres premiers de Thabit actuellement connus avec n ≥ 4235414.[8] Il recherche aussi des nombres premiers de la forme 3·2n+1, ces nombres premiers sont appelés nombres premiers Thabit du second type ou 321 nombres premiers de seconde espèce.

Les premiers nombres Thabit du deuxième type sont: 4, 7, 13, 25, 49, 97, 193, 385, 769, 1537, 3073, 6145, 12289, 24577, 49153, 98305, 196609, 393217, 786433, 1572865, ... (séquence A181565 dans l'OEIS) Les premiers nombres premiers de Thabit du second type sont: 7, 13, 97, 193, 769, 12289, 786433, 3221225473, 206158430209, 6597069766657, 221360928884514619393, ... (séquence A039687 dans l'OEIS) Leurs n valeurs sont: 1, 2, 5, 6, 8, 12, 18, 30, 36, 41, 66, 189, 201, 209, 276, 353, 408, 438, 534, 2208, 2816, 3168, 3189, 3912, 20909, 34350, 42294, 42665, 44685, 48150, 54792, 55182, 59973, 80190, 157169, 213321, 303093, 362765, 382449, 709968, 801978, 916773, 1832496, 2145353, 2291610, 2478785, 5082306, 7033641, 10829346, ... (séquence A002253 dans l'OEIS) Connection with amicable numbers When both n and n−1 yield Thabit primes (du premier genre), et {style d'affichage 9cdot 2^{2n-1}-1} est aussi premier, une paire de numéros amiables peut être calculée comme suit: {style d'affichage 2 ^{n}(3cdot 2^{n-1}-1)(3cdot 2^{n}-1)} et {style d'affichage 2 ^{n}(9cdot 2^{2n-1}-1).} Par exemple, n = 2 donne le premier Thabit 11, et n−1 = 1 donne le premier Thabit 5, et notre troisième mandat est 71. Alors, 22=4, multiplié par 5 et 11 résulte en 220, dont les diviseurs totalisent 284, et 4 fois 71 est 284, dont les diviseurs totalisent 220.

Les seuls n connus satisfaisant ces conditions sont 2, 4 et 7, correspondant aux nombres premiers de Thabit 11, 47 et 383 donné par n, les nombres premiers de Thabit 5, 23 et 191 donné par n−1, et nos troisièmes termes sont 71, 1151 et 73727. (Les paires amiables correspondantes sont (220, 284), (17296, 18416) et (9363584, 9437056)) Generalization For integer b ≥ 2, a Base numérique de Thabit b est un nombre de la forme (b+1)·milliards − 1 pour un entier non négatif n. Aussi, pour l'entier b ≥ 2, a Nombre de Thabit de seconde espèce base b est un nombre de la forme (b+1)·bn + 1 pour un entier non négatif n.

Les nombres de Williams sont aussi une généralisation des nombres de Thabit. Pour entier b ≥ 2, a Base de nombres de Williams b est un nombre de la forme (b−1)·milliards − 1 pour un entier non négatif n.[9] Aussi, pour l'entier b ≥ 2, un nombre de Williams de deuxième espèce base b est un nombre de la forme (b−1)·bn + 1 pour un entier non négatif n.

Pour entier b ≥ 2, a Thabit prime b est une base de nombres de Thabit b qui est également premier. De la même manière, pour l'entier b ≥ 2, a Base de nombres de Williams b est une base de nombres de Williams b qui est également première.

Tout premier p est un premier Thabit de première espèce base p, un nombre premier de Williams de première espèce base p+2, et un nombre premier de Williams du second type base p; si p ≥ 5, alors p est aussi un Thabit premier de seconde espèce base p−2.

C'est une conjecture que pour tout entier b ≥ 2, il existe une infinité de nombres premiers de Thabit de première espèce base b, infinité de nombres premiers de Williams de première espèce base b, et une infinité de nombres premiers de Williams du second type base b; aussi, pour tout entier b ≥ 2 ce n'est pas conforme à 1 modulo 3, il existe une infinité de nombres premiers Thabit de seconde espèce base b. (Si la base b est congruente à 1 modulo 3, alors tous les nombres de Thabit de seconde espèce base b sont divisibles par 3 (et supérieur à 3, puisque b ≥ 2), il n'y a donc pas de nombres premiers Thabit de base de seconde espèce b.) L'exposant des nombres premiers de Thabit de seconde espèce ne peut pas être congru à 1 mode 3 (à l'exception 1 lui-même), l'exposant des nombres premiers de Williams de première espèce ne peut pas être congru à 4 mode 6, et l'exposant des nombres premiers de Williams de seconde espèce ne peut pas être congru à 1 mode 6 (à l'exception 1 lui-même), puisque le polynôme correspondant à b est un polynôme réductible. (Si n ≡ 1 mode 3, alors (b+1)·bn + 1 est divisible par b2 + b + 1; si n ≡ 4 mode 6, alors (b−1)·milliards − 1 est divisible par b2 − b + 1; et si n ≡ 1 mode 6, alors (b−1)·bn + 1 est divisible par b2 − b + 1) Autrement, le polynôme correspondant à b est un polynôme irréductible, donc si la conjecture de Bunyakovsky est vraie, alors il existe une infinité de bases b telles que le nombre correspondant (pour un exposant fixe n satisfaisant la condition) est premier. ((b+1)·milliards − 1 est irréductible pour tout entier non négatif n, donc si la conjecture de Bunyakovsky est vraie, alors il existe une infinité de bases b telles que le nombre correspondant (pour exposant fixe n) est premier) b numbers n such that (b+1)·milliards − 1 est premier (Thabit premiers de première espèce base b) nombres n tels que (b+1)·bn + 1 est premier (Thabit nombres premiers de seconde espèce base b) nombres n tels que (b−1)·milliards − 1 est premier (Nombres premiers de Williams de première espèce base b) nombres n tels que (b−1)·bn + 1 est premier (Nombres premiers de Williams du second type base b) 2 OEIS: A002235 OEIS: A002253 OEIS: A000043 0, 1, 2, 4, 8, 16, ... (voir Fermat prime) 3 OEIS: A005540 OEIS: A005537 OEIS: A003307 OEIS: A003306 4 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 16, 24, 27, 36, 74, 92, 124, 135, 137, 210, ... (rien) OEIS: A272057 1, 3, 4, 6, 9, 15, 18, 33, 138, 204, 219, 267, ... 5 OEIS: A257790 OEIS: A143279 OEIS: A046865 OEIS: A204322 6 1, 2, 3, 13, 21, 28, 30, 32, 36, 48, 52, 76, ... 1, 6, 17, 38, 50, 80, 207, 236, 264, ... OEIS: A079906 OEIS: A247260 7 0, 4, 7, 10, 14, 23, 59, ... (rien) OEIS: A046866 OEIS: A245241 8 1, 5, 7, 21, 33, 53, 103, ... 1, 2, 11, 14, 21, 27, 54, 122, 221, ... OEIS: A268061 OEIS: A269544 9 1, 2, 4, 5, 7, 10, 11, 13, 15, 19, 27, 29, 35, 42, 51, 70, 112, 164, 179, 180, 242, ... 0, 2, 6, 9, 11, 51, 56, 81, ... OEIS: A268356 OEIS: A056799 10 OEIS: A111391 (rien) OEIS: A056725 OEIS: A056797 11 0, 1, 2, 3, 4, 11, 13, 22, 27, 48, 51, 103, 147, 280, ... 0, 2, 3, 6, 8, 138, 149, 222, ... OEIS: A046867 OEIS: A057462 12 2, 6, 11, 66, 196, ... 1, 2, 8, 9, 17, 26, 62, 86, 152, ... OEIS: A079907 OEIS: A251259 Least k ≥ 1 tel que (n+1)·nk − 1 est premier sont: (commencer par n = 2) 1, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 4, 3, 1, 1, 1, 2, 7, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 4, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 8, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 5, 2, 1483, 1, 1, 1, 24, 1, 2, 1, 2, 6, 3, 3, 36, 1, 10, 8, 3, 7, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 7, 1704, 1, 3, 9, 4, 1, 1, 2, 1, 2, 24, 25, 1, ...

Plus petit k ≥ 1 tel que (n+1)·nk + 1 est premier sont: (commencer par n = 2, 0 si aucun tel k n'existe) 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 0, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 9, 0, 1, 1, 0, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 5, 2, 0, 5, 1, 0, 2, 3, 0, 1, 3, 0, 1, 2, 0, 2, 2, 0, 2, 6, 0, 1, 183, 0, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 21, 0, 1, 185, 0, 3, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 120, 0, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 8, 0, 5, 9, 0, 2, 2, 0, 1, 1, 0, 2, 3, 0, 9, 14, 0, 3, 1, 0, ...

Plus petit k ≥ 1 tel que (n−1)·nk − 1 est premier sont: (commencer par n = 2) 2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 14, 1, 1, 2, 6, 1, 1, 1, 55, 12, 1, 133, 1, 20, 1, 2, 1, 1, 2, 15, 3, 1, 7, 136211, 1, 1, 7, 1, 7, 7, 1, 1, 1, 2, 1, 25, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 899, 3, 11, 1, 1, 1, 63, 1, 13, 1, 25, 8, 3, 2, 7, 1, 44, 2, 11, 3, 81, 21495, 1, 2, 1, 1, 3, 25, 1, 519, 77, 476, 1, 1, 2, 1, 4983, 2, 2, ...

Plus petit k ≥ 1 tel que (n−1)·nk + 1 est premier sont: (commencer par n = 2) 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 10, 3, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 29, 14, 1, 1, 14, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 5, 12, 2, 1, 2, 2, 9, 16, 1, 2, 80, 1, 2, 4, 2, 3, 16, 2, 2, 2, 1, 15, 960, 15, 1, 4, 3, 1, 14, 1, 6, 20, 1, 3, 946, 6, 1, 18, 10, 1, 4, 1, 5, 42, 4, 1, 828, 1, 1, 2, 1, 12, 2, 6, 4, 30, 3, 3022, 2, 1, 1, 8, 2, 4, 4, 2, 11, 8, 2, 1, ...

Numéros de Pierpont {style d'affichage 3 ^{m}cdot 2^{n}+1} sont une généralisation des nombres de Thabit de seconde espèce {style d'affichage 3cdot 2^{n}+1} .

Références ^ Rashed, Roshdi (1994). Le développement des mathématiques arabes: entre arithmétique et algèbre. Volume. 156. Dordrecht, Boston, Londres: Éditeurs académiques Kluwer. p. 277. ISBN 0-7923-2565-6. ^ http://www.mersenneforum.org/321search/How%20many%20digits%20these%20primes%20have.html ^ "PrimePage Primes: 3 · 2^4235414 - 1". ^ http://primes.utm.edu/primes/lists/short.txt[fichier de texte brut d'URL nue] ^ PrimeGrid Primes recherche 3 * 2 ^ n - 1. ^ http://www.mersenneforum.org/321search/The%20status%20of%20the%20search.html ^ "Bios PrimePage: 321chercher". ^ http://primes.utm.edu/primes/lists/short.txt[fichier de texte brut d'URL nue] ^ Liste des nombres premiers de Williams (du premier genre) base 3 à 2049 (pour exposant ≥ 1) Weissstein externe gauche, Eric W. "Numéro Thâbit ibn Kurrah". MathWorld. Weisstein, Eric W. "Thâbit ibn Kurrah Premier". MathWorld. Chris Calwell, La plus grande base de données de nombres premiers connue sur The Prime Pages Un nombre premier Thabit du premier type de base 2: (2+1)·211895718 − 1 Un premier Thabit de base de deuxième espèce 2: (2+1)·210829346 + 1 Une base Williams prime du premier type 2: (2−1)·274207281 − 1 Une base Williams prime du premier type 3: (3−1)·31360104 − 1 Une base Williams prime du deuxième type 3: (3−1)·31175232 + 1 Une base Williams prime du premier type 10: (10−1)·10383643 − 1 Une base Williams prime du premier type 113: (113−1)·113286643 − 1 Liste des nombres premiers de Williams PrimeGrid 321 Recherche principale, à propos de la découverte de la base Thabit prime du premier type 2: (2+1)·26090515 − 1 show vte Classes de nombres premiers show vte Classes de nombres naturels Catégories: Suites d'entiersMathématiques islamiquesInventions arabes