Thabit-Nummer

Thabit-Zahl Thabit-Primzahl Benannt nach Thābit ibn Qurra Vermutete Nr. von Termen Unendliche Folge von Thabit-Zahlen Erste Terme 2, 5, 11, 23, 47, 191, 383, 6143, 786431 OEIS-Index A007505 In der Zahlentheorie, eine Thabit-Nummer, Thâbit ibn Qurra Nummer, oder 321 Zahl ist eine Ganzzahl der Form {Anzeigestil 3cdot 2^{n}-1} für eine nicht negative ganze Zahl n.

Die ersten paar Thabit-Zahlen sind: 2, 5, 11, 23, 47, 95, 191, 383, 767, 1535, 3071, 6143, 12287, 24575, 49151, 98303, 196607, 393215, 786431, 1572863, ... (Sequenz A055010 im OEIS) Der Mathematiker des 9. Jahrhunderts, Arzt, Der Astronom und Übersetzer Thābit ibn Qurra gilt als der erste, der diese Zahlen und ihre Beziehung zu freundschaftlichen Zahlen untersucht hat.[1] Inhalt 1 Eigenschaften 2 Verbindung mit freundschaftlichen Nummern 3 Verallgemeinerung 4 Verweise 5 External links Properties The binary representation of the Thabit number 3·2n−1 is n+2 digits long, bestehend aus "10" gefolgt von n 1s.

Die ersten paar Thabit-Zahlen, die Primzahlen sind (Thabit-Primzahlen oder 321 Primzahlen): 2, 5, 11, 23, 47, 191, 383, 6143, 786431, 51539607551, 824633720831, ... (Sequenz A007505 im OEIS) As of January 2022, es gibt 65 bekannte Primzahlen von Thabit. Ihre n-Werte sind:[2][3][4][5] 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 38, 43, 55, 64, 76, 94, 103, 143, 206, 216, 306, 324, 391, 458, 470, 827, 1274, 3276, 4204, 5134, 7559, 12676, 14898, 18123, 18819, 25690, 26459, 41628, 51387, 71783, 80330, 85687, 88171, 97063, 123630, 155930, 164987, 234760, 414840, 584995, 702038, 727699, 992700, 1201046, 1232255, 2312734, 3136255, 4235414, 6090515, 11484018, 11731850, 11895718, 16819291, 17748034, 18196595, ... (Sequenz A002235 im OEIS) Die Primzahlen für 234760 ≤ n ≤ 3136255 wurden vom Distributed-Computing-Projekt gefunden 321 Suche.[6] Im 2008, PrimeGrid hat die Suche nach Thabit-Primzahlen übernommen.[7] Es sucht noch und hat bereits alle derzeit bekannten Thabit-Primzahlen mit n ≥ gefunden 4235414.[8] Es sucht auch nach Primzahlen der Form 3·2n+1, solche Primzahlen werden als Thabit-Primzahlen zweiter Art oder bezeichnet 321 Primzahlen zweiter Art.

Die ersten paar Thabit-Zahlen der zweiten Art sind: 4, 7, 13, 25, 49, 97, 193, 385, 769, 1537, 3073, 6145, 12289, 24577, 49153, 98305, 196609, 393217, 786433, 1572865, ... (Sequenz A181565 im OEIS) Die ersten paar Thabit-Primzahlen der zweiten Art sind: 7, 13, 97, 193, 769, 12289, 786433, 3221225473, 206158430209, 6597069766657, 221360928884514619393, ... (Sequenz A039687 im OEIS) Ihre n-Werte sind: 1, 2, 5, 6, 8, 12, 18, 30, 36, 41, 66, 189, 201, 209, 276, 353, 408, 438, 534, 2208, 2816, 3168, 3189, 3912, 20909, 34350, 42294, 42665, 44685, 48150, 54792, 55182, 59973, 80190, 157169, 213321, 303093, 362765, 382449, 709968, 801978, 916773, 1832496, 2145353, 2291610, 2478785, 5082306, 7033641, 10829346, ... (Sequenz A002253 im OEIS) Connection with amicable numbers When both n and n−1 yield Thabit primes (der ersten Sorte), und {Anzeigestil 9cdot 2^{2n-1}-1} ist auch prim, Ein Paar befreundeter Zahlen kann wie folgt berechnet werden: {Anzeigestil 2 ^{n}(3cdot 2^{n-1}-1)(3cdot 2^{n}-1)} und {Anzeigestil 2 ^{n}(9cdot 2^{2n-1}-1).} Zum Beispiel, n = 2 gibt der Thabit-Primzahl 11, und n−1 = 1 gibt der Thabit-Primzahl 5, und unser dritter Begriff ist 71. Dann, 22=4, multipliziert mit 5 und 11 ergibt sich 220, deren Teiler sich addieren 284, und 4 mal 71 ist 284, deren Teiler sich addieren 220.

Die einzigen bekannten n, die diese Bedingungen erfüllen, sind 2, 4 und 7, entsprechend den Thabit-Primzahlen 11, 47 und 383 gegeben durch n, die Thabit-Primzahlen 5, 23 und 191 gegeben durch n−1, und unsere dritten Terme sind 71, 1151 und 73727. (Die entsprechenden freundschaftlichen Paare sind (220, 284), (17296, 18416) und (9363584, 9437056)) Generalization For integer b ≥ 2, Eine Thabit-Zahl zur Basis b ist eine Zahl der Form (b+1)· Mrd. − 1 für eine nicht negative ganze Zahl n. Ebenfalls, für ganze Zahl b ≥ 2, Eine Thabitzahl zweiter Art zur Basis b ist eine Zahl der Form (b+1)· Mrd + 1 für eine nicht negative ganze Zahl n.

Die Williams-Zahlen sind auch eine Verallgemeinerung der Thabit-Zahlen. Für ganze Zahl b ≥ 2, a Williams-Zahl zur Basis b ist eine Zahl der Form (b−1)· Mrd. − 1 für eine nicht negative ganze Zahl n.[9] Ebenfalls, für ganze Zahl b ≥ 2, Eine Williamszahl zweiter Art zur Basis b ist eine Zahl der Form (b−1)· Mrd + 1 für eine nicht negative ganze Zahl n.

Für ganze Zahl b ≥ 2, Eine Thabit-Primzahlbasis b ist eine Thabit-Zahlenbasis b, die ebenfalls eine Primzahl ist. Ähnlich, für ganze Zahl b ≥ 2, Eine Williams-Primzahlbasis b ist eine Williams-Zahlenbasis b, die ebenfalls eine Primzahl ist.

Jede Primzahl p ist eine Thabit-Primzahl erster Art zur Basis p, eine Williams-Primzahl erster Art zur Basis p+2, und eine Williams-Primzahl zweiter Art Basis p; wenn p ≥ 5, dann ist p auch eine Thabit-Primzahl zweiter Art zur Basis p−2.

Es ist eine Vermutung, dass für jede ganze Zahl b ≥ 2, es gibt unendlich viele Thabit-Primzahlen der ersten Art Basis b, unendlich viele Williams-Primzahlen erster Art Basis b, und unendlich viele Williams-Primzahlen der zweiten Art Basis b; Auch, für jede ganze Zahl b ≥ 2 das ist nicht deckungsgleich 1 modulo 3, es gibt unendlich viele Thabit-Primzahlen der zweiten Art Basis b. (Wenn die Basis b kongruent ist zu 1 modulo 3, dann sind alle Thabit-Zahlen der zweiten Art zur Basis b teilbar durch 3 (und größer als 3, da b ≥ 2), also gibt es keine Thabit-Primzahlen der zweiten Art Basis b.) Der Exponent von Thabit-Primzahlen zweiter Art kann nicht kongruent sein 1 Mod 3 (außer 1 selbst), der Exponent von Williams-Primzahlen erster Art kann nicht kongruent sein 4 Mod 6, und der Exponent von Williams-Primzahlen zweiter Art kann nicht kongruent sein 1 Mod 6 (außer 1 selbst), da das entsprechende Polynom zu b ein reduzierbares Polynom ist. (Wenn n ≡ 1 Mod 3, dann (b+1)· Mrd + 1 ist durch b2 teilbar + b + 1; wenn n ≡ 4 Mod 6, dann (b−1)· Mrd. − 1 durch b2 − b teilbar ist + 1; und wenn n ≡ 1 Mod 6, dann (b−1)· Mrd + 1 durch b2 − b teilbar ist + 1) Andernfalls, das entsprechende Polynom zu b ist ein irreduzibles Polynom, Also, wenn die Bunyakovsky-Vermutung wahr ist, dann gibt es unendlich viele Basen b, so dass die entsprechende Zahl (für den festen Exponenten n, der die Bedingung erfüllt) ist prim. ((b+1)· Mrd. − 1 ist irreduzibel für alle nichtnegativen ganzen Zahlen n, Also, wenn die Bunyakovsky-Vermutung wahr ist, dann gibt es unendlich viele Basen b, so dass die entsprechende Zahl (für festen Exponenten n) ist prim) b numbers n such that (b+1)· Mrd. − 1 ist prim (Thabit-Primzahlen der ersten Art Basis b) Zahlen n so dass (b+1)· Mrd + 1 ist prim (Thabit-Primzahlen der zweiten Art Basis b) Zahlen n so dass (b−1)· Mrd. − 1 ist prim (Williams-Primzahlen erster Art Basis b) Zahlen n so dass (b−1)· Mrd + 1 ist prim (Williams-Primzahlen zweiter Art Basis b) 2 OEIS: A002235 OEIS: A002253 OEIS: A000043 0, 1, 2, 4, 8, 16, ... (siehe Fermat-Primzahl) 3 OEIS: A005540 OEIS: A005537 OEIS: A003307 OEIS: A003306 4 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 16, 24, 27, 36, 74, 92, 124, 135, 137, 210, ... (keiner) OEIS: A272057 1, 3, 4, 6, 9, 15, 18, 33, 138, 204, 219, 267, ... 5 OEIS: A257790 OEIS: A143279 OEIS: A046865 OEIS: A204322 6 1, 2, 3, 13, 21, 28, 30, 32, 36, 48, 52, 76, ... 1, 6, 17, 38, 50, 80, 207, 236, 264, ... OEIS: A079906 OEIS: A247260 7 0, 4, 7, 10, 14, 23, 59, ... (keiner) OEIS: A046866 OEIS: A245241 8 1, 5, 7, 21, 33, 53, 103, ... 1, 2, 11, 14, 21, 27, 54, 122, 221, ... OEIS: A268061 OEIS: A269544 9 1, 2, 4, 5, 7, 10, 11, 13, 15, 19, 27, 29, 35, 42, 51, 70, 112, 164, 179, 180, 242, ... 0, 2, 6, 9, 11, 51, 56, 81, ... OEIS: A268356 OEIS: A056799 10 OEIS: A111391 (keiner) OEIS: A056725 OEIS: A056797 11 0, 1, 2, 3, 4, 11, 13, 22, 27, 48, 51, 103, 147, 280, ... 0, 2, 3, 6, 8, 138, 149, 222, ... OEIS: A046867 OEIS: A057462 12 2, 6, 11, 66, 196, ... 1, 2, 8, 9, 17, 26, 62, 86, 152, ... OEIS: A079907 OEIS: A251259 Least k ≥ 1 so dass (n+1)·nk- 1 ist prim sind: (Beginne mit n = 2) 1, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 4, 3, 1, 1, 1, 2, 7, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 4, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 8, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 5, 2, 1483, 1, 1, 1, 24, 1, 2, 1, 2, 6, 3, 3, 36, 1, 10, 8, 3, 7, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 7, 1704, 1, 3, 9, 4, 1, 1, 2, 1, 2, 24, 25, 1, ...

Mindestens k ≥ 1 so dass (n+1)·nk + 1 ist prim sind: (Beginne mit n = 2, 0 wenn kein solches k existiert) 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 0, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 9, 0, 1, 1, 0, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 5, 2, 0, 5, 1, 0, 2, 3, 0, 1, 3, 0, 1, 2, 0, 2, 2, 0, 2, 6, 0, 1, 183, 0, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 21, 0, 1, 185, 0, 3, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 120, 0, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 8, 0, 5, 9, 0, 2, 2, 0, 1, 1, 0, 2, 3, 0, 9, 14, 0, 3, 1, 0, ...

Mindestens k ≥ 1 so dass (n-1)·nk- 1 ist prim sind: (Beginne mit n = 2) 2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 14, 1, 1, 2, 6, 1, 1, 1, 55, 12, 1, 133, 1, 20, 1, 2, 1, 1, 2, 15, 3, 1, 7, 136211, 1, 1, 7, 1, 7, 7, 1, 1, 1, 2, 1, 25, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 899, 3, 11, 1, 1, 1, 63, 1, 13, 1, 25, 8, 3, 2, 7, 1, 44, 2, 11, 3, 81, 21495, 1, 2, 1, 1, 3, 25, 1, 519, 77, 476, 1, 1, 2, 1, 4983, 2, 2, ...

Mindestens k ≥ 1 so dass (n-1)·nk + 1 ist prim sind: (Beginne mit n = 2) 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 10, 3, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 29, 14, 1, 1, 14, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 5, 12, 2, 1, 2, 2, 9, 16, 1, 2, 80, 1, 2, 4, 2, 3, 16, 2, 2, 2, 1, 15, 960, 15, 1, 4, 3, 1, 14, 1, 6, 20, 1, 3, 946, 6, 1, 18, 10, 1, 4, 1, 5, 42, 4, 1, 828, 1, 1, 2, 1, 12, 2, 6, 4, 30, 3, 3022, 2, 1, 1, 8, 2, 4, 4, 2, 11, 8, 2, 1, ...

Pierpont-Zahlen {Anzeigestil 3 ^{m}cdot 2^{n}+1} sind eine Verallgemeinerung von Thabit-Zahlen zweiter Art {Anzeigestil 3cdot 2^{n}+1} .

Referenzen ^ Ausgeschlagen, Roshdi (1994). Die Entwicklung der arabischen Mathematik: zwischen Arithmetik und Algebra. Vol. 156. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers. p. 277. ISBN 0-7923-2565-6. ^ http://www.mersenneforum.org/321search/How%20many%20digits%20these%20primes%20have.html ^ "PrimePage-Primzahlen: 3 · 2^4235414 - 1". ^ http://primes.utm.edu/primes/lists/short.txt[reine URL-Textdatei] ^ PrimeGrid Primes suchen nach 3*2^n - 1. ^ http://www.mersenneforum.org/321search/The%20status%20of%20the%20search.html ^ "PrimePage-Bios: 321Suche". ^ http://primes.utm.edu/primes/lists/short.txt[reine URL-Textdatei] ^ Liste der Williams-Primzahlen (der ersten Sorte) Base 3 zu 2049 (für Exponent ≥ 1) External links Weisstein, Erich W. "Thâbit ibn Kurrah Nummer". MathWorld. Weißstein, Erich W. "Thâbit ibn Kurrah Prime". MathWorld. Chris Caldwell, Die größte bekannte Primes-Datenbank auf The Prime Pages Eine Thabit-Prime-Basis der ersten Art 2: (2+1)·211895718 − 1 Eine Thabit-Primzahl der Basis zweiter Art 2: (2+1)·210829346 + 1 Ein Williams Prime der ersten Art Basis 2: (2−1)·274207281 − 1 Ein Williams Prime der ersten Art Basis 3: (3−1)·31360104 − 1 Ein Williams Prime der zweiten Art Basis 3: (3−1)·31175232 + 1 Ein Williams Prime der ersten Art Basis 10: (10−1)·10383643 − 1 Ein Williams Prime der ersten Art Basis 113: (113−1)·113286643 − 1 Liste der Williams-Primzahlen von PrimeGrid 321 Prime-Suche, über die Entdeckung der Thabit-Primzahl der Basis der ersten Art 2: (2+1)·26090515 − 1 zeige vte Primzahlklassen zeige vte Klassen der natürlichen Zahlen Kategorien: Ganzzahlige FolgenIslamische MathematikArabische Erfindungen