Teorema de Taylor

Taylor's theorem The exponential function y = ex (vermelho) e o polinômio de Taylor correspondente de grau quatro (verde pontilhado) em torno da origem. Part of a series of articles about Calculus Fundamental theorem Leibniz integral rule Limits of functionsContinuity Mean value theoremRolle's theorem hide Differential Definitions Derivative (generalizações)Differential infinitesimalof a functiontotal Concepts Differentiation notationSecond derivativeImplicit differentiationLogarithmic differentiationRelated ratesTaylor's theorem Rules and identities SumProductChainPowerQuotientL'Hôpital's ruleInverseGeneral LeibnizFaà di Bruno's formulaReynolds show Integral show Series show Vector show Multivariable show Advanced show Specialized show Miscellaneous vte In calculus, O teorema de Taylor dá uma aproximação de uma função k vezes diferenciável em torno de um dado ponto por um polinômio de grau k, chamado de polinômio de Taylor de ordem k. Para uma função suave, o polinômio de Taylor é o truncamento na ordem k da série de Taylor da função. O polinômio de Taylor de primeira ordem é a aproximação linear da função, e o polinômio de Taylor de segunda ordem é muitas vezes referido como a aproximação quadrática.[1] Existem várias versões do teorema de Taylor, alguns dando estimativas explícitas do erro de aproximação da função por seu polinômio de Taylor.

O teorema de Taylor é nomeado após o matemático Brook Taylor, que declarou uma versão dele em 1715,[2] embora uma versão anterior do resultado já tenha sido mencionada em 1671 por James Gregório.[3] O teorema de Taylor é ensinado em cursos introdutórios de cálculo e é uma das ferramentas elementares centrais em análise matemática. Ele fornece fórmulas aritméticas simples para calcular com precisão os valores de muitas funções transcendentais, como a função exponencial e as funções trigonométricas. É o ponto de partida do estudo das funções analíticas, e é fundamental em várias áreas da matemática, bem como em análise numérica e física matemática. O teorema de Taylor também generaliza para funções multivariadas e vetoriais.

Conteúdo 1 Motivação 2 Teorema de Taylor em uma variável real 2.1 Declaração do teorema 2.2 Fórmulas explícitas para o restante 2.3 Estimativas para o restante 2.4 Exemplo 3 Relação com a analiticidade 3.1 Expansões de Taylor de funções analíticas reais 3.2 Teorema de Taylor e convergência da série de Taylor 3.3 Teorema de Taylor em Análise Complexa 3.4 Exemplo 4 Generalizações do teorema de Taylor 4.1 Diferenciabilidade de ordem superior 4.2 Teorema de Taylor para funções multivariadas 4.3 Exemplo em duas dimensões 5 Provas 5.1 Demonstração do teorema de Taylor em uma variável real 5.2 Prova alternativa para o teorema de Taylor em uma variável real 5.3 Derivação para as formas de valor médio do restante 5.4 Derivação para a forma integral do resto 5.5 Derivação para o resto de polinômios multivariados de Taylor 6 Veja também 7 Notas de rodapé 8 Referências 9 Links externos Gráfico de motivação de f(x) = ex (azul) com sua aproximação linear P1(x) = 1 + x (vermelho) at a = 0.

Se uma função de valor real f(x) é diferenciável no ponto x = a, então tem uma aproximação linear perto deste ponto. Isso significa que existe uma função h1(x) de tal modo que {estilo de exibição f(x)=f(uma)+f'(uma)(x-a)+h_{1}(x)(x-a),quad lim _{xto a}h_{1}(x)=0.} Aqui {estilo de exibição P_{1}(x)=f(uma)+f'(uma)(x-a)} é a aproximação linear de f(x) para x próximo ao ponto a, cujo gráfico y = P1(x) é a reta tangente ao gráfico y = f(x) em x = a. O erro na aproximação é: {estilo de exibição R_{1}(x)=f(x)-P_{1}(x)=h_{1}(x)(x-a).} As x tends to a, este erro vai para zero muito mais rápido do que {estilo de exibição f'(uma)(x{-}uma)} , fazer {estilo de exibição f(x)aprox P_{1}(x)} uma aproximação útil.

Gráfico de f(x) = ex (azul) com sua aproximação quadrática P2(x) = 1 + x + x2/2 (vermelho) at a = 0. Observe a melhora na aproximação.

Para uma melhor aproximação de f(x), podemos ajustar um polinômio quadrático em vez de uma função linear: {estilo de exibição P_{2}(x)=f(uma)+f'(uma)(x-a)+{fratura {f''(uma)}{2}}(x-a)^{2}.} Em vez de apenas combinar uma derivada de f(x) em x = a, este polinômio tem a mesma primeira e segunda derivada, como é evidente na diferenciação.

O teorema de Taylor garante que a aproximação quadrática é, em uma vizinhança suficientemente pequena de x = a, mais preciso do que a aproximação linear. Especificamente, {estilo de exibição f(x)=P_{2}(x)+h_{2}(x)(x-a)^{2},quad lim _{xto a}h_{2}(x)=0.} Aqui o erro na aproximação é {estilo de exibição R_{2}(x)=f(x)-P_{2}(x)=h_{2}(x)(x-a)^{2},} que, dado o comportamento limitante de {estilo de exibição h_{2}} , vai para zero mais rápido do que {estilo de exibição (x-a)^{2}} as x tends to a.

Aproximação de f(x) = 1/(1 + x2) (azul) by its Taylor polynomials Pk of order k = 1, …, 16 centered at x = 0 (vermelho) and x = 1 (verde). As aproximações não melhoram nada fora (−1, 1) e (1 − √2, 1 + √2) respectivamente.

De forma similar, podemos obter aproximações ainda melhores para f se usarmos polinômios de grau mais alto, desde então podemos combinar ainda mais derivadas com f no ponto base selecionado.

No geral, o erro na aproximação de uma função por um polinômio de grau k irá para zero muito mais rápido do que {estilo de exibição (x-a)^{k}} as x tends to a. No entanto, existem funções, mesmo infinitamente diferenciáveis, para os quais aumentar o grau do polinômio de aproximação não aumenta a precisão da aproximação: dizemos que tal função não é analítica em x = a: não é (localmente) determinado por suas derivadas neste ponto.

O teorema de Taylor é de natureza assintótica: it only tells us that the error Rk in an approximation by a k-th order Taylor polynomial Pk tends to zero faster than any nonzero k-th degree polynomial as x → a. Não nos diz qual é o tamanho do erro em qualquer vizinhança concreta do centro de expansão, mas para este fim existem fórmulas explícitas para o termo restante (dado abaixo) que são válidos sob algumas suposições de regularidade adicionais em f. Essas versões aprimoradas do teorema de Taylor normalmente levam a estimativas uniformes para o erro de aproximação em uma pequena vizinhança do centro de expansão, mas as estimativas não são necessariamente válidas para bairros muito grandes, mesmo que a função f seja analítica. Nessa situação, pode ser necessário selecionar vários polinômios de Taylor com diferentes centros de expansão para obter aproximações de Taylor confiáveis ​​da função original. (veja a animação à direita.) Existem várias maneiras de usar o termo restante: Estime o erro para um polinômio Pk(x) do grau k estimando f(x) em um determinado intervalo (a-r, uma + r). (Dado o intervalo e o grau, encontramos o erro.) Encontre o menor grau k para o qual o polinômio Pk(x) aproxima f(x) dentro de uma determinada tolerância de erro em um determinado intervalo (a - r, uma + r) . (Dado o intervalo e a tolerância a erros, encontramos o grau.) Encontre o maior intervalo (a - r, uma + r) em que pk(x) aproxima f(x) dentro de uma determinada tolerância de erro. (Dado o grau e a tolerância a erros, encontramos o intervalo.) Taylor's theorem in one real variable Statement of the theorem The precise statement of the most basic version of Taylor's theorem is as follows: Teorema de Taylor[4][5][6] — Let k ≥ 1 be an integer and let the function f : R → R be k vezes diferenciável no ponto a ∈ R. Then there exists a function hk : R → R tal que {estilo de exibição f(x)=f(uma)+f'(uma)(x-a)+{fratura {f''(uma)}{2!}}(x-a)^{2}+cdots +{fratura {f^{(k)}(uma)}{k!}}(x-a)^{k}+h_{k}(x)(x-a)^{k},} e {displaystyle lim _{xto a}h_{k}(x)=0.} Isso é chamado de forma Peano do resto.

O polinômio que aparece no teorema de Taylor é o polinômio de Taylor de ordem k {estilo de exibição P_{k}(x)=f(uma)+f'(uma)(x-a)+{fratura {f''(uma)}{2!}}(x-a)^{2}+cdots +{fratura {f^{(k)}(uma)}{k!}}(x-a)^{k}} da função f no ponto a. O polinômio de Taylor é o único "melhor ajuste assintótico" polynomial in the sense that if there exists a function hk : R → R e um polinômio de k-ésima ordem p tal que {estilo de exibição f(x)=p(x)+h_{k}(x)(x-a)^{k},quad lim _{xto a}h_{k}(x)=0,} then p = Pk. O teorema de Taylor descreve o comportamento assintótico do termo restante {estilo de exibição R_{k}(x)=f(x)-P_{k}(x),} que é o erro de aproximação ao aproximar f com seu polinômio de Taylor. Usando a notação little-o, a afirmação no teorema de Taylor é lida como {estilo de exibição R_{k}(x)=o(|x-a|^{k}),quad xto a.} Explicit formulas for the remainder Under stronger regularity assumptions on f there are several precise formulas for the remainder term Rk of the Taylor polynomial, os mais comuns são os seguintes.

Mean-value forms of the remainder — Let f : R → R be k + 1 times differentiable on the open interval with f(k) contínua no intervalo fechado entre a e x.[7] Então {estilo de exibição R_{k}(x)={fratura {f^{(k+1)}(XI _{eu})}{(k+1)!}}(x-a)^{k+1}} para algum número real ξL entre a e x. Esta é a forma de Lagrange[8] do restante.

De forma similar, {estilo de exibição R_{k}(x)={fratura {f^{(k+1)}(XI _{C})}{k!}}(x-xi _{C})^{k}(x-a)} para algum número real ξC entre a e x. Esta é a forma de Cauchy[9] do restante.

Esses refinamentos do teorema de Taylor são geralmente provados usando o teorema do valor médio, de onde vem o nome. Adicionalmente, observe que este é precisamente o teorema do valor médio quando k = 0. Também outras expressões semelhantes podem ser encontradas. Por exemplo, se G(t) é contínua no intervalo fechado e diferenciável com uma derivada não evanescente no intervalo aberto entre a e x, então {estilo de exibição R_{k}(x)={fratura {f^{(k+1)}(XI )}{k!}}(x-xi )^{k}{fratura {G(x)-G(uma)}{G'(XI )}}} para algum número ξ entre a e x. Esta versão cobre as formas Lagrange e Cauchy do restante como casos especiais, e é provado abaixo usando o teorema do valor médio de Cauchy.

A afirmação para a forma integral do resto é mais avançada que as anteriores, e requer a compreensão da teoria da integração de Lebesgue para a generalidade completa. No entanto, vale também no sentido de integral de Riemann desde que o (k + 1)ª derivada de f é contínua no intervalo fechado [uma,x].

Forma integral do resto[10] — Let f(k) ser absolutamente contínua no intervalo fechado entre a e x. Então {estilo de exibição R_{k}(x)=int_{uma}^{x}{fratura {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k},dt.} Devido à continuidade absoluta de f(k) no intervalo fechado entre a e x, sua derivada f(k+1) existe como uma função L1, e o resultado pode ser comprovado por um cálculo formal usando o teorema fundamental do cálculo e integração por partes.

Estimates for the remainder It is often useful in practice to be able to estimate the remainder term appearing in the Taylor approximation, em vez de ter uma fórmula exata para isso. Suponha que f é (k + 1)-vezes continuamente diferenciável em um intervalo I contendo um. Suponha que existam constantes reais q e Q tais que {estilo de exibição qleq f^{(k+1)}(x)leq Q} em todo eu. Então o termo restante satisfaz a desigualdade[11] {estilo de exibição q{fratura {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}}leq R_{k}(x)leq Q{fratura {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}},} if x > a, e uma estimativa semelhante se x < a. This is a simple consequence of the Lagrange form of the remainder. In particular, if {displaystyle |f^{(k+1)}(x)|leq M} on an interval I = (a − r,a + r) with some {displaystyle r>0} , então {estilo de exibição |R_{k}(x)|leq M{fratura {|x-a|^{k+1}}{(k+1)!}}leq M{fratura {^{k+1}}{(k+1)!}}} para todo x∈(a - r,uma + r). A segunda desigualdade é chamada de estimativa uniforme, porque vale uniformemente para todo x no intervalo (a - r,uma + r).

Exemplo Aproximação de ex (azul) by its Taylor polynomials Pk of order k = 1,…,7 centered at x = 0 (vermelho).

Suponha que desejamos encontrar o valor aproximado da função f(x) = ex no intervalo [−1,1] garantindo que o erro na aproximação não seja maior que 10−5. Neste exemplo, fingimos que conhecemos apenas as seguintes propriedades da função exponencial: {estilo de exibição e^{0}=1,qquad {fratura {d}{dx}}e^{x}=e^{x},qquad e^{x}>0,qquad xin mathbb {R} .} (⁎) Destas propriedades segue que f(k)(x) = ex para todo k, e em particular, f(k)(0) = 1. Daí o polinômio de Taylor de ordem k de f em 0 e seu termo restante na forma de Lagrange são dados por {estilo de exibição P_{k}(x)=1+x+{fratura {x^{2}}{2!}}+cdots +{fratura {x^{k}}{k!}},qquad R_{k}(x)={fratura {e^{XI }}{(k+1)!}}x^{k+1},} onde ξ é algum número entre 0 e x. Como ex está aumentando em (⁎), we can simply use ex ≤ 1 for x ∈ [−1, 0] para estimar o resto no subintervalo [−1, 0]. Para obter um limite superior para o restante em [0,1], usamos a propriedade eξ < ex for 0<ξ 0 and a sequence of coefficients ck ∈ R such that (a - r, uma + r) ⊂ Eu e {estilo de exibição f(x)=soma _{k=0}^{infty }c_{k}(x-a)^{k}=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+cdots ,qquad |x-a| 0 there exists a constant Mk,r > 0 de tal modo que {estilo de exibição |R_{k}(x)|leq M_{k,r}{fratura {|x-a|^{k+1}}{(k+1)!}}} (⁎⁎) for every x ∈ (a - r,uma + r). Às vezes, as constantes Mk,r pode ser escolhido de tal forma que Mk,r é limitado acima, para r fixo e todo k. Então a série de Taylor de f converge uniformemente para alguma função analítica {estilo de exibição {começar{alinhado}&T_{f}:(a-r,a+r)para mathbb {R} \&T_{f}(x)=soma _{k=0}^{infty }{fratura {f^{(k)}(uma)}{k!}}deixei(x-direita)^{k}fim{alinhado}}} (Também se obtém convergência mesmo se Mk,r não é limitado acima, desde que cresça devagar o suficiente.) A função limite Tf é, por definição, sempre analítica, mas não é necessariamente igual à função original f, mesmo que f seja infinitamente diferenciável. Nesse caso, dizemos que f é uma função suave não analítica, por exemplo, uma função plana: {estilo de exibição {começar{alinhado}&f:mathbb {R} para mathbb {R} \&f(x)={começar{casos}e^{-{fratura {1}{x^{2}}}}&x>0\0&xleq 0.end{casos}}fim{alinhado}}} Usando a regra da cadeia repetidamente por indução matemática, one shows that for any order k, {estilo de exibição f^{(k)}(x)={começar{casos}{fratura {p_{k}(x)}{x^{3k}}}cdot e^{-{fratura {1}{x^{2}}}}&x>0\0&xleq 0end{casos}}} para algum polinômio pk de grau 2(k- 1). A função {estilo de exibição e^{-{fratura {1}{x^{2}}}}} tende a zero mais rápido do que qualquer polinômio quando x → 0, então f é infinitamente diferenciável e f(k)(0) = 0 para cada inteiro positivo k. Todos os resultados acima valem neste caso: A série de Taylor de f converge uniformemente para a função zero Tf(x) = 0, que é analítico com todos os coeficientes iguais a zero. A função f é diferente desta série de Taylor, e, portanto, não analítico. For any order k ∈ N and radius r > 0 there exists Mk,r > 0 satisfying the remainder bound (⁎⁎) acima de.

No entanto, à medida que k aumenta para r fixo, o valor de mk,r cresce mais rápido que rk, e o erro não vai a zero.

Taylor's theorem in complex analysis Taylor's theorem generalizes to functions f : C → C which are complex differentiable in an open subset U ⊂ C of the complex plane. No entanto, sua utilidade é ofuscada por outros teoremas gerais em análise complexa. Nomeadamente, stronger versions of related results can be deduced for complex differentiable functions f : U → C using Cauchy's integral formula as follows.

Let r > 0 such that the closed disk B(z, r) ∪ S(z, r) está contido em U. Então a fórmula integral de Cauchy com uma parametrização positiva γ(t) = z + rei do círculo S(z, r) com t ∈ [0, 2Pi] dá {estilo de exibição f(z)={fratura {1}{2pi eu}}int_{gama }{fratura {f(W)}{w-z}},dw,quad f'(z)={fratura {1}{2pi eu}}int_{gama }{fratura {f(W)}{(w-z)^{2}}},dw,quad ldots ,quad f^{(k)}(z)={fratura {k!}{2pi eu}}int_{gama }{fratura {f(W)}{(w-z)^{k+1}}},dw.} Aqui todos os integrandos são contínuos no círculo S(z, r), que justifica a diferenciação sob o sinal de integral. Em particular, se f é uma vez complexo diferenciável no conjunto aberto U, então é na verdade infinitamente muitas vezes complexo diferenciável em U. Obtêm-se também as estimativas de Cauchy[12] {estilo de exibição |f^{(k)}(z)|leq {fratura {k!}{2pi }}int_{gama }{fratura {M_{r}}{|w-z|^{k+1}}},dw={fratura {k!M_{r}}{^{k}}},quad M_{r}=máximo _{|banheiro|=r}|f(W)|} for any z ∈ U and r > 0 such that B(z, r) ∪ S(c, r) ⊂ U. Essas estimativas implicam que a complexa série de Taylor {estilo de exibição T_{f}(z)=soma _{k=0}^{infty }{fratura {f^{(k)}(c)}{k!}}(z-c)^{k}} de f converge uniformemente em qualquer disco aberto B(c, r) ⊂ U with S(c, r) ⊂ U into some function Tf. Além disso, usando as fórmulas integrais de contorno para as derivadas f(k)(c), {estilo de exibição {começar{alinhado}T_{f}(z)&=sum _{k=0}^{infty }{fratura {(z-c)^{k}}{2pi eu}}int_{gama }{fratura {f(W)}{(banheiro)^{k+1}}},dw\&={fratura {1}{2pi eu}}int_{gama }{fratura {f(W)}{banheiro}}soma _{k=0}^{infty }deixei({fratura {z-c}{banheiro}}certo)^{k},dw\&={fratura {1}{2pi eu}}int_{gama }{fratura {f(W)}{banheiro}}deixei({fratura {1}{1-{fratura {z-c}{banheiro}}}}certo),dw\&={fratura {1}{2pi eu}}int_{gama }{fratura {f(W)}{w-z}},dw=f(z),fim{alinhado}}} so any complex differentiable function f in an open set U ⊂ C is in fact complex analytic. All that is said for real analytic functions here holds also for complex analytic functions with the open interval I replaced by an open subset U ∈ C and a-centered intervals (a - r, uma + r) substituído por discos c-centrados B(c, r). Em particular, a expansão de Taylor é válida na forma {estilo de exibição f(z)=P_{k}(z)+R_{k}(z),quad P_{k}(z)=soma _{j=0}^{k}{fratura {f^{(j)}(c)}{j!}}(z-c)^{j},} onde o termo restante Rk é analítico complexo. Métodos de análise complexa fornecem alguns resultados poderosos sobre expansões de Taylor. Por exemplo, using Cauchy's integral formula for any positively oriented Jordan curve γ which parametrizes the boundary ∂W ⊂ U of a region W ⊂ U, obtém-se expressões para as derivadas f(j)(c) como acima, e modificando ligeiramente o cálculo para Tf(z) = f(z), chega-se à fórmula exata {estilo de exibição R_{k}(z)=soma _{j=k+1}^{infty }{fratura {(z-c)^{j}}{2pi eu}}int_{gama }{fratura {f(W)}{(banheiro)^{j+1}}},dw={fratura {(z-c)^{k+1}}{2pi eu}}int_{gama }{fratura {f(W),dw}{(banheiro)^{k+1}(w-z)}},qquad zin W.} The important feature here is that the quality of the approximation by a Taylor polynomial on the region W ⊂ U is dominated by the values of the function f itself on the boundary ∂W ⊂ U. De forma similar, aplicando as estimativas de Cauchy à expressão da série para o restante, obtém-se as estimativas uniformes {estilo de exibição |R_{k}(z)|soma leq _{j=k+1}^{infty }{fratura {M_{r}|z-c|^{j}}{^{j}}}={fratura {M_{r}}{^{k+1}}}{fratura {|z-c|^{k+1}}{1-{fratura {|z-c|}{r}}}}leq {fratura {M_{r}beta ^{k+1}}{1-beta }},qquad {fratura {|z-c|}{r}}leq beta <1.} Example Complex plot of f(z) = 1/(1 + z2). Modulus is shown by elevation and argument by coloring: cyan=0, blue = π/3, violet = 2π/3, red = π, yellow=4π/3, green=5π/3. The function {displaystyle {begin{aligned}&f:mathbb {R} to mathbb {R} \&f(x)={frac {1}{1+x^{2}}}end{aligned}}} is real analytic, that is, locally determined by its Taylor series. This function was plotted above to illustrate the fact that some elementary functions cannot be approximated by Taylor polynomials in neighborhoods of the center of expansion which are too large. This kind of behavior is easily understood in the framework of complex analysis. Namely, the function f extends into a meromorphic function {displaystyle {begin{aligned}&f:mathbb {C} cup {infty }to mathbb {C} cup {infty }\&f(z)={frac {1}{1+z^{2}}}end{aligned}}} on the compactified complex plane. It has simple poles at z = i and z = −i, and it is analytic elsewhere. Now its Taylor series centered at z0 converges on any disc B(z0, r) with r < |z − z0|, where the same Taylor series converges at z ∈ C. Therefore, Taylor series of f centered at 0 converges on B(0, 1) and it does not converge for any z ∈ C with |z| > 1 due to the poles at i and −i. Pela mesma razão, a série de Taylor de f centrada em 1 converge em B(1, √2) and does not converge for any z ∈ C with |z − 1| > √2.

Generalizations of Taylor's theorem Higher-order differentiability A function f: Rn → R is differentiable at a ∈ Rn if and only if there exists a linear functional L : Rn → R and a function h : Rn → R such that {estilo de exibição f({símbolo em negrito {x}})=f({símbolo em negrito {uma}})+eu({símbolo em negrito {x}}-{símbolo em negrito {uma}})+h({símbolo em negrito {x}})lVert {símbolo em negrito {x}}-{símbolo em negrito {uma}}rVert ,qquad lim _{{símbolo em negrito {x}}para {símbolo em negrito {uma}}}h({símbolo em negrito {x}})=0.} Se esse é o caso, then L = df(uma) é o (definido exclusivamente) diferencial de f no ponto a. Além disso, então as derivadas parciais de f existem em a e a diferencial de f em a é dada por {estilo de exibição df({símbolo em negrito {uma}})({símbolo em negrito {v}})={fratura {f parcial}{parcial x_{1}}}({símbolo em negrito {uma}})v_{1}+cdots +{fratura {f parcial}{parcial x_{n}}}({símbolo em negrito {uma}})v_{n}.} Introduzir a notação multi-índice {estilo de exibição |alfa |=alfa_{1}+cdots +alfa _{n},alfa quádruplo !=alfa_{1}!cdots alfa _{n}!,quadrilátero {símbolo em negrito {x}}^{alfa }=x_{1}^{alfa _{1}}cdots x_{n}^{alfa _{n}}} for α ∈ Nn and x ∈ Rn. If all the k-th order partial derivatives of f : Rn → R são contínuos em a ∈ Rn, então pelo teorema de Clairaut, pode-se alterar a ordem das derivadas mistas em um, então a notação {estilo de exibição D^{alfa }f={fratura {parcial ^{|alfa |}f}{parcial x_{1}^{alfa _{1}}cdots parcial x_{n}^{alfa _{n}}}},qquad |alfa |leq k} para as derivadas parciais de ordem superior é justificada nesta situação. O mesmo acontece se todos os (k- 1)-Derivadas parciais de ª ordem de f existem em alguma vizinhança de a e são diferenciáveis ​​em a.[13] Then we say that f is k times differentiable at the point a.

Taylor's theorem for multivariate functions Using notations of the preceding section, tem o seguinte teorema.

Versão multivariada do teorema de Taylor[14] — Let f : Rn → R seja uma função k-vezes continuamente diferenciável no ponto a ∈ Rn. Then there exist functions hα : Rn → R, Onde {estilo de exibição |alfa |=k,} de tal modo que {estilo de exibição {começar{alinhado}&f({símbolo em negrito {x}})=soma _{|alfa |leq k}{fratura {D^{alfa }f({símbolo em negrito {uma}})}{alfa !}}({símbolo em negrito {x}}-{símbolo em negrito {uma}})^{alfa }+soma _{|alfa |=k+1}h_{alfa }({símbolo em negrito {x}})({símbolo em negrito {x}}-{símbolo em negrito {uma}})^{alfa },\&{mbox{e}}quad lim _{{símbolo em negrito {x}}para {símbolo em negrito {uma}}}h_{alfa }({símbolo em negrito {x}})=0.fim{alinhado}}} If the function f : Rn → R is k + 1 times continuously differentiable in a closed ball {estilo de exibição B={mathbf {y} em matemática {R} ^{n}:deixei|mathbf {uma} -mathbf {y} certo|ler}} para alguns {displaystyle r>0} , então pode-se derivar uma fórmula exata para o resto em termos de (k+1)-derivadas parciais de ª ordem de f nesta vizinhança.[15] Nomeadamente, {estilo de exibição {começar{alinhado}&f({símbolo em negrito {x}})=soma _{|alfa |leq k}{fratura {D^{alfa }f({símbolo em negrito {uma}})}{alfa !}}({símbolo em negrito {x}}-{símbolo em negrito {uma}})^{alfa }+soma _{|beta |=k+1}R_{beta }({símbolo em negrito {x}})({símbolo em negrito {x}}-{símbolo em negrito {uma}})^{beta },\&R_{beta }({símbolo em negrito {x}})={fratura {|beta |}{beta !}}int_{0}^{1}(1-t)^{|beta |-1}D^{beta }f{grande (}{símbolo em negrito {uma}}+t({símbolo em negrito {x}}-{símbolo em negrito {uma}}){grande )},dt.fim{alinhado}}} Nesse caso, devido à continuidade (k+1)-derivadas parciais de ª ordem no conjunto compacto B, obtém-se imediatamente as estimativas uniformes {estilo de exibição à esquerda|R_{beta }({símbolo em negrito {x}})certo|leq {fratura {1}{beta !}}máximo _{|alfa |=|beta |}máximo _{{símbolo em negrito {y}}em B}|D^{alfa }f({símbolo em negrito {y}})|,qquad {símbolo em negrito {x}}em B.} Example in two dimensions For example, o polinômio de Taylor de terceira ordem de uma função suave f: R2 → R is, denotando x − a = v, {estilo de exibição {começar{alinhado}P_{3}({símbolo em negrito {x}})=f({símbolo em negrito {uma}})+{}&{fratura {f parcial}{parcial x_{1}}}({símbolo em negrito {uma}})v_{1}+{fratura {f parcial}{parcial x_{2}}}({símbolo em negrito {uma}})v_{2}+{fratura {parcial ^{2}f}{parcial x_{1}^{2}}}({símbolo em negrito {uma}}){fratura {v_{1}^{2}}{2!}}+{fratura {parcial ^{2}f}{parcial x_{1}parcial x_{2}}}({símbolo em negrito {uma}})v_{1}v_{2}+{fratura {parcial ^{2}f}{parcial x_{2}^{2}}}({símbolo em negrito {uma}}){fratura {v_{2}^{2}}{2!}}\&+{fratura {parcial ^{3}f}{parcial x_{1}^{3}}}({símbolo em negrito {uma}}){fratura {v_{1}^{3}}{3!}}+{fratura {parcial ^{3}f}{parcial x_{1}^{2}parcial x_{2}}}({símbolo em negrito {uma}}){fratura {v_{1}^{2}v_{2}}{2!}}+{fratura {parcial ^{3}f}{parcial x_{1}parcial x_{2}^{2}}}({símbolo em negrito {uma}}){fratura {v_{1}v_{2}^{2}}{2!}}+{fratura {parcial ^{3}f}{parcial x_{2}^{3}}}({símbolo em negrito {uma}}){fratura {v_{2}^{3}}{3!}}fim{alinhado}}} Proofs Proof for Taylor's theorem in one real variable Let[16] {estilo de exibição h_{k}(x)={começar{casos}{fratura {f(x)-P(x)}{(x-a)^{k}}}&xnot =a\0&x=aend{casos}}} Onde, como no enunciado do teorema de Taylor, {estilo de exibição P(x)=f(uma)+f'(uma)(x-a)+{fratura {f''(uma)}{2!}}(x-a)^{2}+cdots +{fratura {f^{(k)}(uma)}{k!}}(x-a)^{k}.} É suficiente mostrar que {displaystyle lim _{xto a}h_{k}(x)=0.} A prova aqui é baseada na aplicação repetida da regra de L'Hôpital. Observe que, para cada j = 0,1,…,k−1, {estilo de exibição f^{(j)}(uma)=P^{(j)}(uma)} . Portanto, cada uma das primeiras k−1 derivadas do numerador em {estilo de exibição h_{k}(x)} desaparece em {estilo de exibição x=a} , e o mesmo vale para o denominador. Também, uma vez que a condição de que a função f seja k vezes diferenciável em um ponto requer diferenciabilidade até a ordem k−1 em uma vizinhança do referido ponto (isso é verdade, porque a diferenciabilidade requer que uma função seja definida em toda a vizinhança de um ponto), the numerator and its k − 2 derivatives are differentiable in a neighborhood of a. Claramente, o denominador também satisfaz a referida condição, e adicionalmente, não desaparece a menos que x = a, portanto, todas as condições necessárias para a regra de L'Hopital são preenchidas, e seu uso se justifica. Então {estilo de exibição {começar{alinhado}lim_{xto a}{fratura {f(x)-P(x)}{(x-a)^{k}}}&=lim _{xto a}{fratura {{fratura {d}{dx}}(f(x)-P(x))}{{fratura {d}{dx}}(x-a)^{k}}}=cdots =lim_{xto a}{fratura {{fratura {d^{k-1}}{dx^{k-1}}}(f(x)-P(x))}{{fratura {d^{k-1}}{dx^{k-1}}}(x-a)^{k}}}\&={fratura {1}{k!}}lim_{xto a}{fratura {f^{(k-1)}(x)-P^{(k-1)}(x)}{x-a}}\&={fratura {1}{k!}}(f^{(k)}(uma)-f^{(k)}(uma))=0fim{alinhado}}} where the last equality follows by the definition of the derivative at x = a.

Alternate proof for Taylor's theorem in one real variable Let {estilo de exibição f(x)} ser qualquer valor real, contínuo, função a ser aproximada pelo polinômio de Taylor.

Etapa 1: Sejam F e G funções. Defina F e G como {estilo de exibição {começar{alinhado}F(x)=f(x)-soma _{k=0}^{n-1}{fratura {f^{(k)}(uma)}{k!}}(x-a)^{k}fim{alinhado}}} {estilo de exibição {começar{alinhado}G(x)=(x-a)^{n}fim{alinhado}}} Etapa 2: Propriedades de F e G: {estilo de exibição {começar{alinhado}F(uma)=f(uma)-f(uma)-f'(uma)(a-a)-...-{fratura {f^{(n-1)}(uma)(a-a)^{n-1}}{(n-1)!}}fim{alinhado}}} De forma similar, {estilo de exibição {começar{alinhado}F'(uma)=f'(uma)-f'(uma)-{fratura {2f''(uma)(a-a)}{1!}}-...-{fratura {f^{(n-2)}(uma)(n-1)(a-a)^{n-2}}{(n-1)!}}=0fim{alinhado}}} {estilo de exibição {começar{alinhado}G'(uma)=n(a-a)^{n-1}=0fim{alinhado}}} . . .

{estilo de exibição {começar{alinhado}G^{(n-1)}(uma)=F^{(n-1)}(uma)=0fim{alinhado}}} Etapa 3: Use Cauchy Mean Value Theorem Let {estilo de exibição f_{1}} e {estilo de exibição g_{1}} ser funções contínuas em {estilo de exibição [uma,b]} . Desde {estilo de exibição aDerivation for the mean value forms of the remainder Let G be any real-valued function, contínua no intervalo fechado entre a e x e diferenciável com uma derivada não evanescente no intervalo aberto entre a e x, e definir {estilo de exibição F(t)=f(t)+f'(t)(x-t)+{fratura {f''(t)}{2!}}(x-t)^{2}+cdots +{fratura {f^{(k)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}.} Por {lata de estilo de exibição [uma,x]} . Então, pelo teorema do valor médio de Cauchy, {estilo de exibição {fratura {F'(XI )}{G'(XI )}}={fratura {F(x)-F(uma)}{G(x)-G(uma)}}} (⁎⁎⁎) para algum ξ no intervalo aberto entre a e x. Observe que aqui o numerador F(x) − F(uma) = Rk(x) é exatamente o resto do polinômio de Taylor para f(x). Calcular {estilo de exibição {começar{alinhado}F'(t)={}&f'(t)+{grande (}f''(t)(x-t)-f'(t){grande )}+deixei({fratura {f^{(3)}(t)}{2!}}(x-t)^{2}-{fratura {f^{(2)}(t)}{1!}}(x-t)certo)+cdots \&cdots +left({fratura {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}-{fratura {f^{(k)}(t)}{(k-1)!}}(x-t)^{k-1}certo)={fratura {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k},fim{alinhado}}} conecte-o (⁎⁎⁎) e reorganize os termos para descobrir que {estilo de exibição R_{k}(x)={fratura {f^{(k+1)}(XI )}{k!}}(x-xi )^{k}{fratura {G(x)-G(uma)}{G'(XI )}}.} Esta é a forma do termo restante mencionado após a declaração real do teorema de Taylor com resto na forma de valor médio. A forma de Lagrange do resto é encontrada escolhendo {estilo de exibição G(t)=(x-t)^{k+1}} e a forma de Cauchy escolhendo {estilo de exibição G(t)=t-a} . Observação. Usando este método pode-se também recuperar a forma integral do resto escolhendo {estilo de exibição G(t)=int_{uma}^{t}{fratura {f^{(k+1)}(s)}{k!}}(x-s)^{k},ds,} mas os requisitos para f necessários para o uso do teorema do valor médio são muito fortes, se se pretende provar a afirmação no caso em que f(k) é apenas absolutamente contínua. No entanto, se alguém usa integral de Riemann em vez de integral de Lebesgue, as suposições não podem ser enfraquecidas. Derivation for the integral form of the remainder Due to absolute continuity of f(k) no intervalo fechado entre a e x sua derivada f(k+1) existe como uma função L1, e podemos usar o teorema fundamental do cálculo e integração por partes. Esta mesma prova se aplica à integral de Riemann assumindo que f(k) é contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto entre a e x, e isso leva ao mesmo resultado do que usando o teorema do valor médio. O teorema fundamental do cálculo afirma que {estilo de exibição f(x)=f(uma)+int_{uma}^{x},f'(t),dt.} Agora podemos integrar por partes e usar o teorema fundamental do cálculo novamente para ver que {estilo de exibição {começar{alinhado}f(x)&=f(uma)+{Grande (}xf'(x)-do'(uma){Grande )}-int_{uma}^{x}tf''(t),dt\&=f(uma)+xesquerda(f'(uma)+int_{uma}^{x}f''(t),dtright)-do'(uma)-int_{uma}^{x}tf''(t),dt\&=f(uma)+(x-a)f'(uma)+int_{uma}^{x},(x-t)f''(t),dt,fim{alinhado}}} que é exatamente o teorema de Taylor com resto na forma integral no caso k=1. A afirmação geral é provada por indução. Suponha que {estilo de exibição f(x)=f(uma)+{fratura {f'(uma)}{1!}}(x-a)+cdots +{fratura {f^{(k)}(uma)}{k!}}(x-a)^{k}+int_{uma}^{x}{fratura {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k},dt.} (⁎⁎⁎⁎) Integrando o termo restante por partes chegamos a {estilo de exibição {começar{alinhado}int_{uma}^{x}{fratura {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k},dt=&-left[{fratura {f^{(k+1)}(t)}{(k+1)k!}}(x-t)^{k+1}certo]_{uma}^{x}+int_{uma}^{x}{fratura {f^{(k+2)}(t)}{(k+1)k!}}(x-t)^{k+1},dt\=& {fratura {f^{(k+1)}(uma)}{(k+1)!}}(x-a)^{k+1}+int_{uma}^{x}{fratura {f^{(k+2)}(t)}{(k+1)!}}(x-t)^{k+1},dt.fim{alinhado}}} Substituindo isso na fórmula em (⁎⁎⁎⁎) mostra que se vale para o valor k, it must also hold for the value k + 1. Portanto, since it holds for k = 1, it must hold for every positive integer k. Derivation for the remainder of multivariate Taylor polynomials We prove the special case, where f : Rn → R tem derivadas parciais contínuas até a ordem k+1 em alguma bola fechada B com centro a. A estratégia da prova é aplicar o caso de uma variável do teorema de Taylor à restrição de f ao segmento de reta adjacente a x e a.[17] Parametrizar o segmento de reta entre a e x por u(t) = um + t(x − a). Aplicamos a versão de uma variável do teorema de Taylor à função g(t) = f(você(t)): {estilo de exibição f(mathbf {x} )=g(1)=g(0)+soma _{j=1}^{k}{fratura {1}{j!}}g^{(j)}(0) + int_{0}^{1}{fratura {(1-t)^{k}}{k!}}g^{(k+1)}(t),dt.} Aplicando a regra da cadeia para várias variáveis ​​dá {estilo de exibição {começar{alinhado}g^{(j)}(t)&={fratura {d^{j}}{dt^{j}}}f(você(t))={fratura {d^{j}}{dt^{j}}}f(mathbf {uma} +t(mathbf {x} -mathbf {uma} ))\&=sum _{|alfa |=j}deixei({começar{matriz}j\alpha end{matriz}}certo)(D^{alfa }f)(mathbf {uma} +t(mathbf {x} -mathbf {uma} ))(mathbf {x} -mathbf {uma} )^{alfa }fim{alinhado}}} Onde {estilo de exibição {tbinom {j}{alfa }}} é o coeficiente multinomial. Desde {estilo de exibição {tfrac {1}{j!}}{tbinom {j}{alfa }}={tfrac {1}{alfa !}}} , Nós temos: {estilo de exibição f(mathbf {x} )=f(mathbf {uma} )+soma _{1leq |alfa |leq k}{fratura {1}{alfa !}}(D^{alfa }f)(mathbf {uma} )(mathbf {x} -mathbf {uma} )^{alfa }+soma _{|alfa |=k+1}{fratura {k+1}{alfa !}}(mathbf {x} -mathbf {uma} )^{alfa }int_{0}^{1}(1-t)^{k}(D^{alfa }f)(mathbf {uma} +t(mathbf {x} -mathbf {uma} )),dt.} See also Hadamard's lemma Laurent series – Power series with negative powers Padé approximant – 'Best' approximation of a function by a rational function of given order Newton series Footnotes ^ (2013). "Aproximação linear e quadrática" Recuperado em dezembro 6, 2018 ^ Taylor, Ribeiro (1715). Método Direto e Inverso de Incrementos [Métodos Direto e Reverso de Incrementação] (em latim). Londres. p. 21-23 (Suporte. VII, Thm. 3, Cor. 2). Traduzido para o inglês em Struik, D. J. (1969). Um livro de origem em matemática 1200-1800. Cambridge, Massachusetts: Imprensa da Universidade de Harvard. pp. 329-332. ^ Kline 1972, pp. 442, 464. ^ Genocchi, Ângelo; Peano, Giuseppe (1884), Cálculo Diferencial e Princípios do Cálculo Integral, (N. 67, pp. XVII–XIX): Fratelli Bocca ed. ^ Spivak, Michael (1994), Cálculo (3ª ed.), Houston, TX: Publique ou pereça, p. 383, ISBN 978-0-914098-89-8 ^ "Fórmula de Taylor", Enciclopédia de Matemática, Imprensa EMS, 2001 [1994] ^ A hipótese de f(k) ser contínuo no intervalo fechado entre a e x não é redundante. Although f being k + 1 times differentiable on the open interval between a and x does imply that f(k) é contínua no intervalo aberto entre a e x, não significa que f(k) é contínua no intervalo fechado entre a e x, ou seja. não significa que f(k) é contínua nas extremidades desse intervalo. Considerar, por exemplo, a função f : [0,1] → R definido para igual {pecado de estilo de exibição(1/x)} sobre {estilo de exibição (0,1]} e com {estilo de exibição f(0)=0} . Isso não é contínuo em 0, mas é contínuo em {estilo de exibição (0,1)} . Além disso, pode-se mostrar que esta função tem uma antiderivada. Portanto, essa antiderivada é diferenciável em {estilo de exibição (0,1)} , seu derivado (a função f) é contínua no intervalo aberto {estilo de exibição (0,1)} , mas sua derivada f não é contínua no intervalo fechado {estilo de exibição [0,1]} . Então o teorema não se aplica neste caso. ^ Kline 1998, §20.3; Apóstolo 1967, §7.7. ^ Apóstolo 1967, §7.7. ^ Apóstolo 1967, §7.5. ^ Apóstolo 1967, §7.6 ^ Rudin 1987, §10.26 ^ Isso decorre da aplicação iterada do teorema que se as derivadas parciais de uma função f existem em uma vizinhança de a e são contínuas em um, então a função é diferenciável em. Ver, por exemplo, Apóstolo 1974, Teorema 12.11. ^ Análise Konigsberger 2, p. 64 ff. ^ https://sites.math.washington.edu/~folland/Math425/taylor2.pdf[URL simples PDF] ^ Stromberg 1981 ^ Hörmander 1976, pp. 12–13 References Apostol, Tom (1967), Cálculo, Wiley, ISBN 0-471-00005-1. Apóstolo, Tom (1974), Analise matemática, Addison-Wesley. Bartle, Roberto G.; Sherbert, Donald R. (2011), Introdução à Análise Real (4ª edição), Wiley, ISBN 978-0-471-43331-6. Hörmander, eu. (1976), Operadores diferenciais parciais lineares, Volume 1, Springer, ISBN 978-3-540-00662-6. Kline, Morris (1972), Pensamento matemático da antiguidade aos tempos modernos, Volume 2, imprensa da Universidade de Oxford. Kline, Morris (1998), Cálculo: Uma abordagem intuitiva e física, Dover, ISBN 0-486-40453-6. Pedro, Jorge (1994), Um primeiro curso em análise, Springer, ISBN 0-387-94108-8. Stromberg, Carlos (1981), Introdução à análise real clássica, Wadsworth, ISBN 978-0-534-98012-2. Rudin, Walter (1987), Análise real e complexa (3ª ed.), McGraw-Hill, ISBN 0-07-054234-1. Tao, Terêncio (2014), Análise, Volume I (3ª ed.), Agência do Livro Hindustão, ISBN 978-93-80250-64-9. Prova do Teorema de Taylor (PDF), Universidade Chinesa de Hong Kong. Links externos Teorema de Taylor na ProofWiki Série de Taylor Aproximação ao Cosseno no corte-o-nó Expansão Trigonométrica de Taylor Applet demonstrativo interativo Série de Taylor Revisitada no Instituto de Métodos Numéricos Holísticos show vte Calculus Authority control: National libraries Germany Categories: Teoremas em cálculoTeoremas em análise realAproximações