Il teorema di Taylor

Taylor's theorem The exponential function y = ex (rosso) e il corrispondente polinomio di Taylor di grado quattro (verde tratteggiato) intorno all'origine. Part of a series of articles about Calculus Fundamental theorem Leibniz integral rule Limits of functionsContinuity Mean value theoremRolle's theorem hide Differential Definitions Derivative (generalizzazioni)Differential infinitesimalof a functiontotal Concepts Differentiation notationSecond derivativeImplicit differentiationLogarithmic differentiationRelated ratesTaylor's theorem Rules and identities SumProductChainPowerQuotientL'Hôpital's ruleInverseGeneral LeibnizFaà di Bruno's formulaReynolds show Integral show Series show Vector show Multivariable show Advanced show Specialized show Miscellaneous vte In calculus, Il teorema di Taylor fornisce un'approssimazione di una funzione derivabile k volte attorno a un dato punto mediante un polinomio di grado k, chiamato polinomio di Taylor di k-esimo ordine. Per una funzione regolare, il polinomio di Taylor è il troncamento all'ordine k della serie di Taylor della funzione. Il polinomio di Taylor del primo ordine è l'approssimazione lineare della funzione, e il polinomio di Taylor del secondo ordine è spesso indicato come approssimazione quadratica.[1] Esistono diverse versioni del teorema di Taylor, alcuni forniscono stime esplicite dell'errore di approssimazione della funzione mediante il suo polinomio di Taylor.

Il teorema di Taylor prende il nome dal matematico Brook Taylor, che ne ha dichiarato una versione in 1715,[2] sebbene una versione precedente del risultato fosse già menzionata in 1671 di Giacomo Gregorio.[3] Il teorema di Taylor viene insegnato nei corsi di calcolo di livello introduttivo ed è uno degli strumenti elementari centrali nell'analisi matematica. Fornisce semplici formule aritmetiche per calcolare accuratamente i valori di molte funzioni trascendentali come la funzione esponenziale e le funzioni trigonometriche. È il punto di partenza dello studio delle funzioni analitiche, ed è fondamentale in varie aree della matematica, così come nell'analisi numerica e nella fisica matematica. Il teorema di Taylor si generalizza anche alle funzioni multivariate e vettoriali.

Contenuti 1 Motivazione 2 Il teorema di Taylor in una variabile reale 2.1 Enunciato del teorema 2.2 Formule esplicite per il resto 2.3 Stime per il resto 2.4 Esempio 3 Relazione con l'analiticità 3.1 Espansioni di Taylor di funzioni analitiche reali 3.2 Teorema di Taylor e convergenza delle serie di Taylor 3.3 Il teorema di Taylor nell'analisi complessa 3.4 Esempio 4 Generalizzazioni del teorema di Taylor 4.1 Differenziabilità di ordine superiore 4.2 Teorema di Taylor per funzioni multivariate 4.3 Esempio in due dimensioni 5 Prove 5.1 Dimostrazione del teorema di Taylor in una variabile reale 5.2 Dimostrazione alternativa del teorema di Taylor in una variabile reale 5.3 Derivazione per le forme del valore medio del resto 5.4 Derivazione per la forma integrale del resto 5.5 Derivazione per il resto di polinomi di Taylor multivariati 6 Guarda anche 7 Note a piè di pagina 8 Riferimenti 9 Collegamenti esterni Motivazione Grafico di f(X) = es (blu) con la sua approssimazione lineare P1(X) = 1 + X (rosso) at a = 0.

Se una funzione a valori reali f(X) è derivabile nel punto x = a, allora ha un'approssimazione lineare vicino a questo punto. Ciò significa che esiste una funzione h1(X) tale che {stile di visualizzazione f(X)=f(un)+f'(un)(x-a)+h_{1}(X)(x-a),quad lim _{xto a}h_{1}(X)=0.} Qui {stile di visualizzazione P_{1}(X)=f(un)+f'(un)(x-a)} è l'approssimazione lineare di f(X) per x vicino al punto a, il cui grafico y = P1(X) è la retta tangente al grafico y = f(X) a x = a. L'errore nell'approssimazione è: {stile di visualizzazione R_{1}(X)=f(X)-P_{1}(X)=h_{1}(X)(x-a).} As x tends to a, questo errore va a zero molto più velocemente di {stile di visualizzazione f'(un)(X{-}un)} , fabbricazione {stile di visualizzazione f(X)circa P_{1}(X)} un'utile approssimazione.

Grafico di f(X) = es (blu) con la sua approssimazione quadratica P2(X) = 1 + X + x2/2 (rosso) at a = 0. Notare il miglioramento nell'approssimazione.

Per una migliore approssimazione a f(X), possiamo adattare un polinomio quadratico invece di una funzione lineare: {stile di visualizzazione P_{2}(X)=f(un)+f'(un)(x-a)+{frac {f''(un)}{2}}(x-a)^{2}.} Invece di abbinare solo una derivata di f(X) a x = a, questo polinomio ha le stesse derivate prima e seconda, come risulta dalla differenziazione.

Il teorema di Taylor assicura che l'approssimazione quadratica sia, in un intorno sufficientemente piccolo di x = a, più accurato dell'approssimazione lineare. In particolare, {stile di visualizzazione f(X)=P_{2}(X)+h_{2}(X)(x-a)^{2},quad lim _{xto a}h_{2}(X)=0.} Qui c'è l'errore nell'approssimazione {stile di visualizzazione R_{2}(X)=f(X)-P_{2}(X)=h_{2}(X)(x-a)^{2},} quale, dato il comportamento limitante di {stile di visualizzazione h_{2}} , va a zero più velocemente di {stile di visualizzazione (x-a)^{2}} as x tends to a.

Approssimazione di f(X) = 1/(1 + x2) (blu) by its Taylor polynomials Pk of order k = 1, …, 16 centered at x = 0 (rosso) and x = 1 (verde). Le approssimazioni non migliorano affatto all'esterno (-1, 1) e (1 − √2, 1 + √2) rispettivamente.

Allo stesso modo, potremmo ottenere approssimazioni ancora migliori di f se usiamo polinomi di grado superiore, da allora possiamo abbinare ancora più derivate con f nel punto base selezionato.

In generale, l'errore nell'approssimare una funzione con un polinomio di grado k andrà a zero molto più velocemente di {stile di visualizzazione (x-a)^{K}} as x tends to a. Tuttavia, ci sono funzioni, anche infinitamente differenziabili, per cui l'aumento del grado del polinomio approssimante non aumenta la precisione dell'approssimazione: diciamo che tale funzione non è analitica in x = a: non è (localmente) determinato dalle sue derivate a questo punto.

Il teorema di Taylor è di natura asintotica: it only tells us that the error Rk in an approximation by a k-th order Taylor polynomial Pk tends to zero faster than any nonzero k-th degree polynomial as x → a. Non ci dice quanto sia grande l'errore in qualsiasi vicinanza concreta del centro di espansione, ma a questo scopo ci sono formule esplicite per il termine residuo (indicato di seguito) che sono valide sotto alcune ulteriori ipotesi di regolarità su f. Queste versioni avanzate del teorema di Taylor in genere portano a stime uniformi per l'errore di approssimazione in un piccolo quartiere del centro di espansione, ma le stime non valgono necessariamente per quartieri troppo grandi, anche se la funzione f è analitica. In quella situazione potrebbe essere necessario selezionare diversi polinomi di Taylor con diversi centri di espansione per avere approssimazioni di Taylor affidabili della funzione originale (vedi animazione a destra.) Ci sono diversi modi in cui potremmo usare il termine resto: Stimare l'errore per un polinomio Pk(X) di grado k stima f(X) su un dato intervallo (a – r, un + r). (Dati l'intervallo e il grado, troviamo l'errore.) Trova il grado più piccolo k per il quale il polinomio Pk(X) approssima f(X) entro una data tolleranza di errore su un dato intervallo (un - r, un + r) . (Dati l'intervallo e la tolleranza agli errori, troviamo il grado.) Trova l'intervallo più grande (un - r, un + r) su cui Pk(X) approssima f(X) entro una data tolleranza di errore. (Dato il grado e la tolleranza agli errori, troviamo l'intervallo.) Taylor's theorem in one real variable Statement of the theorem The precise statement of the most basic version of Taylor's theorem is as follows: Il teorema di Taylor[4][5][6] — Let k ≥ 1 be an integer and let the function f : R → R be k volte differenziabili nel punto a ∈ R. Then there exists a function hk : R → R tale che {stile di visualizzazione f(X)=f(un)+f'(un)(x-a)+{frac {f''(un)}{2!}}(x-a)^{2}+cdot +{frac {f^{(K)}(un)}{K!}}(x-a)^{K}+h_{K}(X)(x-a)^{K},} e {displaystyle lim _{xto a}h_{K}(X)=0.} Questa è chiamata la forma Peano del resto.

Il polinomio che appare nel teorema di Taylor è il k-esimo polinomio di Taylor {stile di visualizzazione P_{K}(X)=f(un)+f'(un)(x-a)+{frac {f''(un)}{2!}}(x-a)^{2}+cdot +{frac {f^{(K)}(un)}{K!}}(x-a)^{K}} della funzione f nel punto a. Il polinomio di Taylor è l'unico "miglior adattamento asintotico" polynomial in the sense that if there exists a function hk : R → R e un polinomio di k-esimo ordine p tale che {stile di visualizzazione f(X)= p(X)+h_{K}(X)(x-a)^{K},quad lim _{xto a}h_{K}(X)=0,} then p = Pk. Il teorema di Taylor descrive il comportamento asintotico del termine resto {stile di visualizzazione R_{K}(X)=f(X)-P_{K}(X),} che è l'errore di approssimazione quando si approssima f con il suo polinomio di Taylor. Usando la notazione little-o, l'affermazione nel teorema di Taylor si legge come {stile di visualizzazione R_{K}(X)=o(|x-a|^{K}),quad xto a.} Explicit formulas for the remainder Under stronger regularity assumptions on f there are several precise formulas for the remainder term Rk of the Taylor polynomial, i più comuni sono i seguenti.

Mean-value forms of the remainder — Let f : R → R be k + 1 times differentiable on the open interval with f(K) continua sull'intervallo chiuso tra a e x.[7] Quindi {stile di visualizzazione R_{K}(X)={frac {f^{(k+1)}(xi _{l})}{(k+1)!}}(x-a)^{k+1}} per un numero reale ξL compreso tra a e x. Questa è la forma Lagrange[8] del resto.

Allo stesso modo, {stile di visualizzazione R_{K}(X)={frac {f^{(k+1)}(xi _{C})}{K!}}(x-xi _{C})^{K}(x-a)} per un numero reale ξC compreso tra a e x. Questa è la forma di Cauchy[9] del resto.

Questi perfezionamenti del teorema di Taylor sono generalmente dimostrati utilizzando il teorema del valore medio, da cui il nome. Inoltre, si noti che questo è precisamente il teorema del valore medio quando k = 0. Si possono trovare anche altre espressioni simili. Per esempio, se G(t) è continua sull'intervallo chiuso e differenziabile con una derivata non nullo sull'intervallo aperto tra a e x, poi {stile di visualizzazione R_{K}(X)={frac {f^{(k+1)}(xi )}{K!}}(x-xi )^{K}{frac {G(X)-G(un)}{G'(xi )}}} per un certo numero ξ compreso tra a e x. Questa versione copre le forme Lagrange e Cauchy del resto come casi speciali, ed è dimostrato di seguito usando il teorema del valore medio di Cauchy.

L'affermazione per la forma integrale del resto è più avanzata delle precedenti, e richiede la comprensione della teoria dell'integrazione di Lebesgue per la piena generalità. Tuttavia, vale anche nel senso di integrale di Riemann purché il (K + 1)la derivata di f è continua sull'intervallo chiuso [un,X].

Forma integrale del resto[10] — Let f(K) essere assolutamente continua sull'intervallo chiuso tra a e x. Quindi {stile di visualizzazione R_{K}(X)=int _{un}^{X}{frac {f^{(k+1)}(t)}{K!}}(x-t)^{K},dt.} Per l'assoluta continuità di f(K) sull'intervallo chiuso tra a e x, la sua derivata f(k+1) esiste come una funzione L1, e il risultato può essere dimostrato da un calcolo formale usando il teorema fondamentale del calcolo e l'integrazione per parti.

Estimates for the remainder It is often useful in practice to be able to estimate the remainder term appearing in the Taylor approximation, piuttosto che avere una formula esatta per esso. Supponiamo che f sia (K + 1)-volte continuamente differenziabili in un intervallo I contenente a. Supponiamo che ci siano costanti reali q e Q tali che {displaystyle qleq f^{(k+1)}(X)leq Q} in tutto I. Quindi il termine rimanente soddisfa la disuguaglianza[11] {stile di visualizzazione q{frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}}leq R_{K}(X)leq Q{frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}},} if x > a, e una stima simile se x < a. This is a simple consequence of the Lagrange form of the remainder. In particular, if {displaystyle |f^{(k+1)}(x)|leq M} on an interval I = (a − r,a + r) with some {displaystyle r>0} , poi {stile di visualizzazione |R_{K}(X)|leq M{frac {|x-a|^{k+1}}{(k+1)!}}leq M{frac {r^{k+1}}{(k+1)!}}} per ogni x∈(un - r,un + r). La seconda disuguaglianza è chiamata stima uniforme, perché vale uniformemente per tutte le x dell'intervallo (un - r,un + r).

Esempio Approssimazione di es (blu) by its Taylor polynomials Pk of order k = 1,…,7 centered at x = 0 (rosso).

Supponiamo di voler trovare il valore approssimativo della funzione f(X) = ex sull'intervallo [-1,1] assicurando che l'errore nell'approssimazione non sia superiore a 10-5. In questo esempio si pretende di conoscere solo le seguenti proprietà della funzione esponenziale: {stile di visualizzazione e^{0}=1,qquadro {frac {d}{dx}}e^{X}=e^{X},quando ^{X}>0,qquad xin mathbb {R} .} (⁎) Da queste proprietà segue che f(K)(X) = ex per tutti k, e in particolare, f(K)(0) = 1. Da qui il k-esimo polinomio di Taylor di f at 0 e il suo termine residuo nella forma Lagrange sono dati da {stile di visualizzazione P_{K}(X)=1+x+{frac {x^{2}}{2!}}+cdot +{frac {x^{K}}{K!}},qquad R_{K}(X)={frac {e^{xi }}{(k+1)!}}x^{k+1},} dove ξ è un numero compreso tra 0 e x. Dal momento che ex sta aumentando di (⁎), we can simply use ex ≤ 1 for x ∈ [-1, 0] per stimare il resto nel sottointervallo [-1, 0]. Per ottenere un limite superiore per il resto [0,1], usiamo la proprietà eξ < ex for 0<ξ 0 and a sequence of coefficients ck ∈ R such that (un - r, un + r) ⊂ Io e {stile di visualizzazione f(X)=somma _{k=0}^{infty }c_{K}(x-a)^{K}=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+cdot ,qquad |x-a| 0 there exists a constant Mk,r > 0 tale che {stile di visualizzazione |R_{K}(X)|leq M_{K,r}{frac {|x-a|^{k+1}}{(k+1)!}}} (⁎⁎) for every x ∈ (un - r,un + r). A volte le costanti Mk,r può essere scelto in modo tale che Mk,r è delimitata sopra, per r fissa e tutti k. Allora la serie di Taylor di f converge uniformemente a qualche funzione analitica {stile di visualizzazione {inizio{allineato}&T_{f}:(a-r,a+r)a matematicabb {R} \&T_{f}(X)=somma _{k=0}^{infty }{frac {f^{(K)}(un)}{K!}}sinistra(x-bene)^{K}fine{allineato}}} (Si ottiene anche la convergenza anche se Mk,r non è limitato al di sopra fintanto che cresce abbastanza lentamente.) La funzione limite Tf è per definizione sempre analitica, ma non è necessariamente uguale alla funzione originale f, anche se f è infinitamente differenziabile. In questo caso, diciamo che f è una funzione liscia non analitica, ad esempio una funzione flat: {stile di visualizzazione {inizio{allineato}&f:mathbb {R} a matematicabb {R} \&f(X)={inizio{casi}e^{-{frac {1}{x^{2}}}}&x>0\0&xleq 0.end{casi}}fine{allineato}}} Usando ripetutamente la regola della catena per induzione matematica, one shows that for any order k, {stile di visualizzazione f^{(K)}(X)={inizio{casi}{frac {p_{K}(X)}{x^{3K}}}cdot e^{-{frac {1}{x^{2}}}}&x>0\0&xleq 0end{casi}}} per qualche polinomio pk di grado 2(k - 1). La funzione {stile di visualizzazione e^{-{frac {1}{x^{2}}}}} tende a zero più velocemente di qualsiasi polinomio come x → 0, quindi f è infinitamente molte volte differenziabile e f(K)(0) = 0 per ogni intero positivo k. I risultati di cui sopra valgono tutti in questo caso: La serie di Taylor di f converge uniformemente alla funzione nulla Tf(X) = 0, che è analitica con tutti i coefficienti uguali a zero. La funzione f non è uguale a questa serie di Taylor, e quindi non analitica. For any order k ∈ N and radius r > 0 there exists Mk,r > 0 satisfying the remainder bound (⁎⁎) sopra.

Tuttavia, come k aumenta per r fissa, il valore di Mk,r cresce più rapidamente di rk, e l'errore non va a zero.

Taylor's theorem in complex analysis Taylor's theorem generalizes to functions f : C → C which are complex differentiable in an open subset U ⊂ C of the complex plane. Tuttavia, la sua utilità è sminuita da altri teoremi generali nell'analisi complessa. Vale a dire, stronger versions of related results can be deduced for complex differentiable functions f : U → C using Cauchy's integral formula as follows.

Let r > 0 such that the closed disk B(z, r) ∪ S(z, r) è contenuto in U. Quindi la formula integrale di Cauchy con parametrizzazione positiva γ(t) = z + reit del circolo S(z, r) con t ∈ [0, 2Pi] dà {stile di visualizzazione f(z)={frac {1}{2pi io}}int _{gamma }{frac {f(w)}{w-z}},dw,quad f'(z)={frac {1}{2pi io}}int _{gamma }{frac {f(w)}{(w-z)^{2}}},dw,quattro punti ,quad f^{(K)}(z)={frac {K!}{2pi io}}int _{gamma }{frac {f(w)}{(w-z)^{k+1}}},dw.} Qui tutti gli integrandi sono continui sul cerchio S(z, r), che giustifica la differenziazione sotto il segno integrale. In particolare, se f è una volta derivabile complesso sull'insieme aperto U, allora è in realtà infinitamente molte volte complesso differenziabile su U. Si ottengono anche le stime di Cauchy[12] {stile di visualizzazione |f^{(K)}(z)|leq {frac {K!}{2pi }}int _{gamma }{frac {M_{r}}{|w-z|^{k+1}}},dw={frac {K!M_{r}}{r^{K}}},quadruplo M_{r}=massimo _{|bagno|=r}|f(w)|} for any z ∈ U and r > 0 such that B(z, r) ∪ S(c, r) ⊂ U. Queste stime implicano che la serie complessa di Taylor {stile di visualizzazione T_{f}(z)=somma _{k=0}^{infty }{frac {f^{(K)}(c)}{K!}}(z-c)^{K}} di f converge uniformemente su qualsiasi disco aperto B(c, r) ⊂ U with S(c, r) ⊂ U into some function Tf. Inoltre, usando le formule integrali di contorno per le derivate f(K)(c), {stile di visualizzazione {inizio{allineato}T_{f}(z)&=sum _{k=0}^{infty }{frac {(z-c)^{K}}{2pi io}}int _{gamma }{frac {f(w)}{(bagno)^{k+1}}},dw\&={frac {1}{2pi io}}int _{gamma }{frac {f(w)}{bagno}}somma _{k=0}^{infty }sinistra({frac {z-c}{bagno}}Giusto)^{K},dw\&={frac {1}{2pi io}}int _{gamma }{frac {f(w)}{bagno}}sinistra({frac {1}{1-{frac {z-c}{bagno}}}}Giusto),dw\&={frac {1}{2pi io}}int _{gamma }{frac {f(w)}{w-z}},dw=f(z),fine{allineato}}} so any complex differentiable function f in an open set U ⊂ C is in fact complex analytic. All that is said for real analytic functions here holds also for complex analytic functions with the open interval I replaced by an open subset U ∈ C and a-centered intervals (un - r, un + r) sostituiti da dischi c-centrati B(c, r). In particolare, l'espansione di Taylor vale nella forma {stile di visualizzazione f(z)=P_{K}(z)+R_{K}(z),quad P_{K}(z)=somma _{j=0}^{K}{frac {f^{(j)}(c)}{j!}}(z-c)^{j},} dove il resto del termine Rk è analitico complesso. I metodi di analisi complessa forniscono alcuni potenti risultati per quanto riguarda le espansioni di Taylor. Per esempio, using Cauchy's integral formula for any positively oriented Jordan curve γ which parametrizes the boundary ∂W ⊂ U of a region W ⊂ U, si ottengono espressioni per le derivate f(j)(c) come sopra, e modificando leggermente il calcolo per Tf(z) = f(z), si arriva alla formula esatta {stile di visualizzazione R_{K}(z)=somma _{j=k+1}^{infty }{frac {(z-c)^{j}}{2pi io}}int _{gamma }{frac {f(w)}{(bagno)^{j+1}}},dw={frac {(z-c)^{k+1}}{2pi io}}int _{gamma }{frac {f(w),dw}{(bagno)^{k+1}(w-z)}},qquad zin W.} The important feature here is that the quality of the approximation by a Taylor polynomial on the region W ⊂ U is dominated by the values of the function f itself on the boundary ∂W ⊂ U. Allo stesso modo, applicando le stime di Cauchy all'espressione della serie per il resto, si ottengono le stime uniformi {stile di visualizzazione |R_{K}(z)|leq somma _{j=k+1}^{infty }{frac {M_{r}|z-c|^{j}}{r^{j}}}={frac {M_{r}}{r^{k+1}}}{frac {|z-c|^{k+1}}{1-{frac {|z-c|}{r}}}}leq {frac {M_{r}beta ^{k+1}}{1-beta }},qquad {frac {|z-c|}{r}}leq beta <1.} Example Complex plot of f(z) = 1/(1 + z2). Modulus is shown by elevation and argument by coloring: cyan=0, blue = π/3, violet = 2π/3, red = π, yellow=4π/3, green=5π/3. The function {displaystyle {begin{aligned}&f:mathbb {R} to mathbb {R} \&f(x)={frac {1}{1+x^{2}}}end{aligned}}} is real analytic, that is, locally determined by its Taylor series. This function was plotted above to illustrate the fact that some elementary functions cannot be approximated by Taylor polynomials in neighborhoods of the center of expansion which are too large. This kind of behavior is easily understood in the framework of complex analysis. Namely, the function f extends into a meromorphic function {displaystyle {begin{aligned}&f:mathbb {C} cup {infty }to mathbb {C} cup {infty }\&f(z)={frac {1}{1+z^{2}}}end{aligned}}} on the compactified complex plane. It has simple poles at z = i and z = −i, and it is analytic elsewhere. Now its Taylor series centered at z0 converges on any disc B(z0, r) with r < |z − z0|, where the same Taylor series converges at z ∈ C. Therefore, Taylor series of f centered at 0 converges on B(0, 1) and it does not converge for any z ∈ C with |z| > 1 due to the poles at i and −i. Per lo stesso motivo la serie di Taylor di f centrata in 1 converge su B(1, √2) and does not converge for any z ∈ C with |z − 1| > √2.

Generalizations of Taylor's theorem Higher-order differentiability A function f: Rn → R is differentiable at a ∈ Rn if and only if there exists a linear functional L : Rn → R and a function h : Rn → R such that {stile di visualizzazione f({simbolo audace {X}})=f({simbolo audace {un}})+l({simbolo audace {X}}-{simbolo audace {un}})+h({simbolo audace {X}})lVert {simbolo audace {X}}-{simbolo audace {un}}rVert ,qquad lim _{{simbolo audace {X}}a {simbolo audace {un}}}h({simbolo audace {X}})=0.} se questo è il caso, then L = df(un) è il (definito in modo univoco) differenziale di f nel punto a. Inoltre, allora le derivate parziali di f esistono in a e il differenziale di f in a è dato da {stile di visualizzazione df({simbolo audace {un}})({simbolo audace {v}})={frac {parziale f}{parziale x_{1}}}({simbolo audace {un}})v_{1}+cdot +{frac {parziale f}{parziale x_{n}}}({simbolo audace {un}})v_{n}.} Introduci la notazione multi-indice {stile di visualizzazione |alfa |=alfa _{1}+cdot +alfa _{n},quad alfa !=alfa _{1}!cdots alfa _{n}!,quad {simbolo audace {X}}^{alfa }=x_{1}^{alfa _{1}}cdot x_{n}^{alfa _{n}}} for α ∈ Nn and x ∈ Rn. If all the k-th order partial derivatives of f : Rn → R sono continui a ∈ Rn, quindi dal teorema di Clairaut, si può cambiare l'ordine delle derivate miste in a, quindi la notazione {stile di visualizzazione D^{alfa }f={frac {parziale ^{|alfa |}f}{parziale x_{1}^{alfa _{1}}cdots parziale x_{n}^{alfa _{n}}}},qquad |alfa |leq k} per le derivate parziali di ordine superiore è giustificata in questa situazione. Lo stesso vale se tutti i (k - 1)-derivate parziali dell'ordine di f esistono in qualche intorno di a e sono differenziabili in a.[13] Then we say that f is k times differentiable at the point a.

Taylor's theorem for multivariate functions Using notations of the preceding section, si ha il seguente teorema.

Versione multivariata del teorema di Taylor[14] — Let f : Rn → R essere una funzione differenziabile in continuo k-volte nel punto a ∈ Rn. Then there exist functions hα : Rn → R, dove {stile di visualizzazione |alfa |= k,} tale che {stile di visualizzazione {inizio{allineato}&f({simbolo audace {X}})=somma _{|alfa |leq k}{frac {D^{alfa }f({simbolo audace {un}})}{alfa !}}({simbolo audace {X}}-{simbolo audace {un}})^{alfa }+somma _{|alfa |=k+1}h_{alfa }({simbolo audace {X}})({simbolo audace {X}}-{simbolo audace {un}})^{alfa },\&{mbox{e}}quad lim _{{simbolo audace {X}}a {simbolo audace {un}}}h_{alfa }({simbolo audace {X}})=0.fine{allineato}}} If the function f : Rn → R is k + 1 times continuously differentiable in a closed ball {stile di visualizzazione B={mathbf {y} in matematica bb {R} ^{n}:sinistra|mathbf {un} -mathbf {y} Giusto|leq r}} per alcuni {displaystyle r>0} , quindi si può ricavare una formula esatta per il resto in termini di (k+1)-derivate parziali dell'ordine di f in questo intorno.[15] Vale a dire, {stile di visualizzazione {inizio{allineato}&f({simbolo audace {X}})=somma _{|alfa |leq k}{frac {D^{alfa }f({simbolo audace {un}})}{alfa !}}({simbolo audace {X}}-{simbolo audace {un}})^{alfa }+somma _{|beta |=k+1}R_{beta }({simbolo audace {X}})({simbolo audace {X}}-{simbolo audace {un}})^{beta },\&R_{beta }({simbolo audace {X}})={frac {|beta |}{beta !}}int _{0}^{1}(1-t)^{|beta |-1}D^{beta }f{grande (}{simbolo audace {un}}+t({simbolo audace {X}}-{simbolo audace {un}}){grande )},dt.end{allineato}}} In questo caso, per la continuità di (k+1)-derivate parziali dell'ordine nell'insieme compatto B, si ottengono immediatamente le stime uniformi {stile di visualizzazione a sinistra|R_{beta }({simbolo audace {X}})Giusto|leq {frac {1}{beta !}}massimo _{|alfa |=|beta |}massimo _{{simbolo audace {y}}in B}|D^{alfa }f({simbolo audace {y}})|,qquad {simbolo audace {X}}in B.} Example in two dimensions For example, il polinomio di Taylor del terzo ordine di una funzione liscia f: R2 → R is, indicando x − a = v, {stile di visualizzazione {inizio{allineato}P_{3}({simbolo audace {X}})=f({simbolo audace {un}})+{}&{frac {parziale f}{parziale x_{1}}}({simbolo audace {un}})v_{1}+{frac {parziale f}{parziale x_{2}}}({simbolo audace {un}})v_{2}+{frac {parziale ^{2}f}{parziale x_{1}^{2}}}({simbolo audace {un}}){frac {v_{1}^{2}}{2!}}+{frac {parziale ^{2}f}{parziale x_{1}parziale x_{2}}}({simbolo audace {un}})v_{1}v_{2}+{frac {parziale ^{2}f}{parziale x_{2}^{2}}}({simbolo audace {un}}){frac {v_{2}^{2}}{2!}}\&+{frac {parziale ^{3}f}{parziale x_{1}^{3}}}({simbolo audace {un}}){frac {v_{1}^{3}}{3!}}+{frac {parziale ^{3}f}{parziale x_{1}^{2}parziale x_{2}}}({simbolo audace {un}}){frac {v_{1}^{2}v_{2}}{2!}}+{frac {parziale ^{3}f}{parziale x_{1}parziale x_{2}^{2}}}({simbolo audace {un}}){frac {v_{1}v_{2}^{2}}{2!}}+{frac {parziale ^{3}f}{parziale x_{2}^{3}}}({simbolo audace {un}}){frac {v_{2}^{3}}{3!}}fine{allineato}}} Proofs Proof for Taylor's theorem in one real variable Let[16] {stile di visualizzazione h_{K}(X)={inizio{casi}{frac {f(X)-P(X)}{(x-a)^{K}}}&xnot =a\0&x=aend{casi}}} dove, come nell'enunciato del teorema di Taylor, {stile di visualizzazione P(X)=f(un)+f'(un)(x-a)+{frac {f''(un)}{2!}}(x-a)^{2}+cdot +{frac {f^{(K)}(un)}{K!}}(x-a)^{K}.} È sufficiente dimostrarlo {displaystyle lim _{xto a}h_{K}(X)=0.} La dimostrazione qui si basa sull'applicazione ripetuta della regola di L'Hôpital. Notare che, per ogni j = 0,1,…,k-1, {stile di visualizzazione f^{(j)}(un)=P^{(j)}(un)} . Quindi ciascuna delle prime k−1 derivate del numeratore in {stile di visualizzazione h_{K}(X)} svanisce a {stile di visualizzazione x=a} , e lo stesso vale per il denominatore. Anche, poiché la condizione che la funzione f sia k volte differenziabile in un punto richiede differenziabilità fino all'ordine k−1 in un intorno di detto punto (questo è vero, perché la differenziabilità richiede che una funzione sia definita in un intero intorno di un punto), the numerator and its k − 2 derivatives are differentiable in a neighborhood of a. Chiaramente, anche il denominatore soddisfa detta condizione, e inoltre, non svanisce a meno che x=a, pertanto sono soddisfatte tutte le condizioni necessarie per il governo di L'Hopital, e il suo uso è giustificato. Così {stile di visualizzazione {inizio{allineato}lim _{xto a}{frac {f(X)-P(X)}{(x-a)^{K}}}&=lim _{xto a}{frac {{frac {d}{dx}}(f(X)-P(X))}{{frac {d}{dx}}(x-a)^{K}}}=cdots =lim _{xto a}{frac {{frac {d^{k-1}}{dx^{k-1}}}(f(X)-P(X))}{{frac {d^{k-1}}{dx^{k-1}}}(x-a)^{K}}}\&={frac {1}{K!}}lim _{xto a}{frac {f^{(k-1)}(X)-P^{(k-1)}(X)}{x-a}}\&={frac {1}{K!}}(f^{(K)}(un)-f^{(K)}(un))=0fine{allineato}}} where the last equality follows by the definition of the derivative at x = a.

Alternate proof for Taylor's theorem in one real variable Let {stile di visualizzazione f(X)} essere qualsiasi valore reale, continuo, funzione da approssimare con il polinomio di Taylor.

Fare un passo 1: Siano F e G funzioni. Imposta F e G per essere {stile di visualizzazione {inizio{allineato}F(X)=f(X)-somma _{k=0}^{n-1}{frac {f^{(K)}(un)}{K!}}(x-a)^{K}fine{allineato}}} {stile di visualizzazione {inizio{allineato}G(X)=(x-a)^{n}fine{allineato}}} Fare un passo 2: Proprietà di F e G: {stile di visualizzazione {inizio{allineato}F(un)=f(un)-f(un)-f'(un)(aa)-...-{frac {f^{(n-1)}(un)(aa)^{n-1}}{(n-1)!}}fine{allineato}}} Allo stesso modo, {stile di visualizzazione {inizio{allineato}F'(un)=f'(un)-f'(un)-{frac {2f''(un)(aa)}{1!}}-...-{frac {f^{(n-2)}(un)(n-1)(aa)^{n-2}}{(n-1)!}}=0fine{allineato}}} {stile di visualizzazione {inizio{allineato}G'(un)=n(aa)^{n-1}=0fine{allineato}}} . . .

{stile di visualizzazione {inizio{allineato}G^{(n-1)}(un)=F^{(n-1)}(un)=0fine{allineato}}} Fare un passo 3: Use Cauchy Mean Value Theorem Let {stile di visualizzazione f_{1}} e {stile di visualizzazione g_{1}} essere funzioni continue su {stile di visualizzazione [un,b]} . Da {stile di visualizzazione aDerivation for the mean value forms of the remainder Let G be any real-valued function, continua sull'intervallo chiuso tra a e x e differenziabile con una derivata non nullo sull'intervallo aperto tra a e x, e definire {stile di visualizzazione F(t)=f(t)+f'(t)(x-t)+{frac {f''(t)}{2!}}(x-t)^{2}+cdot +{frac {f^{(K)}(t)}{K!}}(x-t)^{K}.} Per {latta di visualizzazione [un,X]} . Quindi, dal teorema del valore medio di Cauchy, {stile di visualizzazione {frac {F'(xi )}{G'(xi )}}={frac {F(X)-F(un)}{G(X)-G(un)}}} (⁎⁎⁎) per qualche ξ sull'intervallo aperto tra a e x. Si noti che qui il numeratore F(X) -F(un) = Rk(X) è esattamente il resto del polinomio di Taylor per f(X). Calcolare {stile di visualizzazione {inizio{allineato}F'(t)={}&f'(t)+{grande (}f''(t)(x-t)-f'(t){grande )}+sinistra({frac {f^{(3)}(t)}{2!}}(x-t)^{2}-{frac {f^{(2)}(t)}{1!}}(x-t)Giusto)+cdots \&cdots +left({frac {f^{(k+1)}(t)}{K!}}(x-t)^{K}-{frac {f^{(K)}(t)}{(k-1)!}}(x-t)^{k-1}Giusto)={frac {f^{(k+1)}(t)}{K!}}(x-t)^{K},fine{allineato}}} collegalo (⁎⁎⁎) e riorganizzare i termini per trovarlo {stile di visualizzazione R_{K}(X)={frac {f^{(k+1)}(xi )}{K!}}(x-xi )^{K}{frac {G(X)-G(un)}{G'(xi )}}.} Questa è la forma del termine resto menzionato dopo l'effettiva affermazione del teorema di Taylor con resto nella forma del valore medio. La forma Lagrange del resto si trova scegliendo {stile di visualizzazione G(t)=(x-t)^{k+1}} e la forma Cauchy scegliendo {stile di visualizzazione G(t)=t-a} . Nota. Usando questo metodo si può anche recuperare la forma integrale del resto scegliendo {stile di visualizzazione G(t)=int _{un}^{t}{frac {f^{(k+1)}(S)}{K!}}(x-s)^{K},ds,} ma i requisiti per f necessari per l'uso del teorema del valore medio sono troppo forti, se si mira a provare l'affermazione nel caso che f(K) è solo assolutamente continua. Tuttavia, se si usa l'integrale di Riemann invece dell'integrale di Lebesgue, le ipotesi non possono essere indebolite. Derivation for the integral form of the remainder Due to absolute continuity of f(K) sull'intervallo chiuso tra a e x la sua derivata f(k+1) esiste come una funzione L1, e possiamo usare il teorema fondamentale del calcolo e dell'integrazione per parti. Questa stessa dimostrazione vale per l'integrale di Riemann assumendo che f(K) è continua sull'intervallo chiuso e differenziabile sull'intervallo aperto tra a e x, e questo porta allo stesso risultato dell'utilizzo del teorema del valore medio. Il teorema fondamentale del calcolo afferma che {stile di visualizzazione f(X)=f(un)+int _{un}^{X},f'(t),dt.} Ora possiamo integrare per parti e usare di nuovo il teorema fondamentale del calcolo per vederlo {stile di visualizzazione {inizio{allineato}f(X)&=f(un)+{Grande (}xf'(X)-di'(un){Grande )}-int _{un}^{X}tf''(t),dt\&=f(un)+xsinistra(f'(un)+int _{un}^{X}f''(t),giusto)-di'(un)-int _{un}^{X}tf''(t),dt\&=f(un)+(x-a)f'(un)+int _{un}^{X},(x-t)f''(t),dt,fine{allineato}}} che è esattamente il teorema di Taylor con resto nella forma integrale nel caso k=1. L'affermazione generale si dimostra usando l'induzione. Supporre che {stile di visualizzazione f(X)=f(un)+{frac {f'(un)}{1!}}(x-a)+cdot +{frac {f^{(K)}(un)}{K!}}(x-a)^{K}+int _{un}^{X}{frac {f^{(k+1)}(t)}{K!}}(x-t)^{K},dt.} (⁎⁎⁎⁎) Integrando il termine rimanente per parti arriviamo {stile di visualizzazione {inizio{allineato}int _{un}^{X}{frac {f^{(k+1)}(t)}{K!}}(x-t)^{K},dt=&-left[{frac {f^{(k+1)}(t)}{(k+1)K!}}(x-t)^{k+1}Giusto]_{un}^{X}+int _{un}^{X}{frac {f^{(k+2)}(t)}{(k+1)K!}}(x-t)^{k+1},dt\=& {frac {f^{(k+1)}(un)}{(k+1)!}}(x-a)^{k+1}+int _{un}^{X}{frac {f^{(k+2)}(t)}{(k+1)!}}(x-t)^{k+1},dt.end{allineato}}} Sostituendo questo nella formula in (⁎⁎⁎⁎) mostra che se vale per il valore k, it must also hold for the value k + 1. Perciò, since it holds for k = 1, it must hold for every positive integer k. Derivation for the remainder of multivariate Taylor polynomials We prove the special case, where f : Rn → R ha derivate parziali continue fino all'ordine k+1 in qualche palla chiusa B di centro a. La strategia della dimostrazione consiste nell'applicare il caso a una variabile del teorema di Taylor alla restrizione di f al segmento di retta adiacente a x e a.[17] Parametrizza il segmento di linea tra a e x di u(t) = a + t(x-a). Applichiamo la versione a una variabile del teorema di Taylor alla funzione g(t) = f(tu(t)): {stile di visualizzazione f(mathbf {X} )=g(1)=g(0)+somma _{j=1}^{K}{frac {1}{j!}}g^{(j)}(0) + int _{0}^{1}{frac {(1-t)^{K}}{K!}}g^{(k+1)}(t),dt.} L'applicazione della regola della catena per più variabili dà {stile di visualizzazione {inizio{allineato}g^{(j)}(t)&={frac {d^{j}}{dt^{j}}}f(tu(t))={frac {d^{j}}{dt^{j}}}f(mathbf {un} +t(mathbf {X} -mathbf {un} ))\&=sum _{|alfa |=j}sinistra({inizio{matrice}j\alpha end{matrice}}Giusto)(D^{alfa }f)(mathbf {un} +t(mathbf {X} -mathbf {un} ))(mathbf {X} -mathbf {un} )^{alfa }fine{allineato}}} dove {stile di visualizzazione {binomio {j}{alfa }}} è il coefficiente multinomiale. Da {stile di visualizzazione {tfrac {1}{j!}}{binomio {j}{alfa }}={tfrac {1}{alfa !}}} , noi abbiamo: {stile di visualizzazione f(mathbf {X} )=f(mathbf {un} )+somma _{1leq |alfa |leq k}{frac {1}{alfa !}}(D^{alfa }f)(mathbf {un} )(mathbf {X} -mathbf {un} )^{alfa }+somma _{|alfa |=k+1}{frac {k+1}{alfa !}}(mathbf {X} -mathbf {un} )^{alfa }int _{0}^{1}(1-t)^{K}(D^{alfa }f)(mathbf {un} +t(mathbf {X} -mathbf {un} )),dt.} See also Hadamard's lemma Laurent series – Power series with negative powers Padé approximant – 'Best' approximation of a function by a rational function of given order Newton series Footnotes ^ (2013). "Approssimazione lineare e quadratica" Recuperato a dicembre 6, 2018 ^ Taylor, Ruscello (1715). Metodo diretto e inverso degli incrementi [Metodi diretti e inversi di incremento] (in latino). Londra. p. 21–23 (Puntello. VII, Thm. 3, Cor. 2). Tradotto in inglese in Struik, D. J. (1969). Un libro di origine in matematica 1200–1800. Cambridge, Massachusetts: Stampa dell'Università di Harvard. pp. 329–332. ^ Kline 1972, pp. 442, 464. ^ Genocchi, Angelo; Peano, Giuseppe (1884), Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale, (N. 67, pp. XVII–XIX): Fratelli Bocca ed. ^ Spivak, Michael (1994), Calcolo (33a ed.), Houston, TX: Pubblica o muori, p. 383, ISBN 978-0-914098-89-8 ^ "Formula di Taylor", Enciclopedia della matematica, EMS Press, 2001 [1994] ^ L'ipotesi di f(K) essere continui sull'intervallo chiuso tra a e x non è ridondante. Although f being k + 1 times differentiable on the open interval between a and x does imply that f(K) è continua sull'intervallo aperto tra a e x, non implica che f(K) è continua sull'intervallo chiuso tra a e x, cioè. non implica che f(K) è continua agli estremi di tale intervallo. Ritenere, Per esempio, la funzione f : [0,1] → R definito uguale {displaystyle peccato(1/X)} Su {stile di visualizzazione (0,1]} e con {stile di visualizzazione f(0)=0} . Questo non è continuo a 0, ma è continuo {stile di visualizzazione (0,1)} . Inoltre, si può dimostrare che questa funzione ha un'antiderivata. Pertanto tale antiderivata è differenziabile su {stile di visualizzazione (0,1)} , il suo derivato (la funzione f) è continua sull'intervallo aperto {stile di visualizzazione (0,1)} , ma la sua derivata f non è continua sull'intervallo chiuso {stile di visualizzazione [0,1]} . Quindi il teorema non si applicherebbe in questo caso. ^ Kline 1998, §20.3; Apostolo 1967, §7.7. ^ Apostolo 1967, §7.7. ^ Apostolo 1967, §7.5. ^ Apostolo 1967, §7.6 ^ Rudin 1987, §10.26 ^ Ciò consegue dall'applicazione iterata del teorema che se le derivate parziali di una funzione f esistono in un intorno di a e sono continue in a, allora la funzione è derivabile in a. Vedere, per esempio, Apostolo 1974, Teorema 12.11. ^ Analisi di Konigsberger 2, p. 64 ff. ^ https://sites.math.washington.edu/~folland/Math425/taylor2.pdf[URL nudo PDF] ^ Stromberg 1981 ^ Hörmander 1976, pp. 12–13 References Apostol, Tom (1967), Calcolo, Wiley, ISBN 0-471-00005-1. Apostolo, Tom (1974), Analisi matematica, Addison-Wesley. Bartolo, Roberto G.; Sherberto, Donald R. (2011), Introduzione all'analisi reale (4th ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-43331-6. Hörmander, l. (1976), Operatori differenziali parziali lineari, Volume 1, Springer, ISBN 978-3-540-00662-6. Kline, Morris (1972), Il pensiero matematico dall'antichità ai tempi moderni, Volume 2, la stampa dell'università di Oxford. Kline, Morris (1998), Calcolo: Un approccio intuitivo e fisico, Dover, ISBN 0-486-40453-6. Pedrik, Giorgio (1994), Un primo corso di analisi, Springer, ISBN 0-387-94108-8. Stromberg, Carlo (1981), Introduzione all'analisi reale classica, Wadsworth, ISBN 978-0-534-98012-2. 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