Théorème de Taylor

Taylor's theorem The exponential function y = ex (rouge) et le polynôme de Taylor correspondant de degré quatre (vert pointillé) autour de l'origine. Part of a series of articles about Calculus Fundamental theorem Leibniz integral rule Limits of functionsContinuity Mean value theoremRolle's theorem hide Differential Definitions Derivative (généralisations)Differential infinitesimalof a functiontotal Concepts Differentiation notationSecond derivativeImplicit differentiationLogarithmic differentiationRelated ratesTaylor's theorem Rules and identities SumProductChainPowerQuotientL'Hôpital's ruleInverseGeneral LeibnizFaà di Bruno's formulaReynolds show Integral show Series show Vector show Multivariable show Advanced show Specialized show Miscellaneous vte In calculus, Le théorème de Taylor donne une approximation d'une fonction différentiable k fois autour d'un point donné par un polynôme de degré k, appelé polynôme de Taylor d'ordre k. Pour un fonctionnement fluide, le polynôme de Taylor est la troncature à l'ordre k de la série de Taylor de la fonction. Le polynôme de Taylor du premier ordre est l'approximation linéaire de la fonction, et le polynôme de Taylor du second ordre est souvent appelé approximation quadratique.[1] Il existe plusieurs versions du théorème de Taylor, certains donnant des estimations explicites de l'erreur d'approximation de la fonction par son polynôme de Taylor.

Le théorème de Taylor porte le nom du mathématicien Brook Taylor, qui en a donné une version dans 1715,[2] bien qu'une version antérieure du résultat ait déjà été mentionnée dans 1671 par James Grégoire.[3] Le théorème de Taylor est enseigné dans les cours de calcul de niveau d'introduction et est l'un des outils élémentaires centraux de l'analyse mathématique. Il donne des formules arithmétiques simples pour calculer avec précision les valeurs de nombreuses fonctions transcendantales telles que la fonction exponentielle et les fonctions trigonométriques. C'est le point de départ de l'étude des fonctions analytiques, et est fondamentale dans divers domaines des mathématiques, ainsi qu'en analyse numérique et en physique mathématique. Le théorème de Taylor se généralise également aux fonctions multivariées et vectorielles.

Contenu 1 Motivation 2 Théorème de Taylor à une variable réelle 2.1 Énoncé du théorème 2.2 Formules explicites pour le reste 2.3 Estimations pour le reste 2.4 Exemple 3 Relation à l'analyticité 3.1 Développements de Taylor de fonctions analytiques réelles 3.2 Théorème de Taylor et convergence des séries de Taylor 3.3 Théorème de Taylor en analyse complexe 3.4 Exemple 4 Généralisations du théorème de Taylor 4.1 Dérivabilité d'ordre supérieur 4.2 Théorème de Taylor pour les fonctions multivariées 4.3 Exemple en deux dimensions 5 Preuves 5.1 Preuve du théorème de Taylor en une variable réelle 5.2 Preuve alternative du théorème de Taylor à une variable réelle 5.3 Dérivation pour les formes de valeur moyenne du reste 5.4 Dérivation pour la forme intégrale du reste 5.5 Dérivation pour le reste des polynômes de Taylor multivariés 6 Voir également 7 Notes de bas de page 8 Références 9 Liens externes Motivation Graphique de f(X) =ex (bleu) avec son approximation linéaire P1(X) = 1 + X (rouge) at a = 0.

Si une fonction à valeurs réelles f(X) est dérivable au point x = a, alors il a une approximation linéaire près de ce point. Cela signifie qu'il existe une fonction h1(X) tel que {style d'affichage f(X)=f(un)+F'(un)(x-a)+h_{1}(X)(x-a),quadlim _{xà un}h_{1}(X)=0.} Ici {style d'affichage P_{1}(X)=f(un)+F'(un)(x-a)} est l'approximation linéaire de f(X) pour x près du point a, dont le graphe y = P1(X) est la tangente au graphe y = f(X) à x = un. L'erreur d'approximation est: {style d'affichage R_{1}(X)=f(X)-P_{1}(X)=h_{1}(X)(x-a).} As x tends to a, cette erreur passe à zéro beaucoup plus rapidement que {style d'affichage f'(un)(X{-}un)} , fabrication {style d'affichage f(X)environ P_{1}(X)} une approximation utile.

Graphique de f(X) =ex (bleu) avec son approximation quadratique P2(X) = 1 + X + x2/2 (rouge) at a = 0. Notez l'amélioration de l'approximation.

Pour une meilleure approximation de f(X), nous pouvons ajuster un polynôme quadratique au lieu d'une fonction linéaire: {style d'affichage P_{2}(X)=f(un)+F'(un)(x-a)+{frac {F''(un)}{2}}(x-a)^{2}.} Au lieu de simplement correspondre à une dérivée de f(X) à x = un, ce polynôme a les mêmes dérivées premières et secondes, comme cela ressort de la différenciation.

Le théorème de Taylor garantit que l'approximation quadratique est, dans un voisinage suffisamment petit de x = a, plus précis que l'approximation linéaire. Spécifiquement, {style d'affichage f(X)=P_{2}(X)+h_{2}(X)(x-a)^{2},quadlim _{xà un}h_{2}(X)=0.} Ici, l'erreur dans l'approximation est {style d'affichage R_{2}(X)=f(X)-P_{2}(X)=h_{2}(X)(x-a)^{2},} qui, étant donné le comportement limitatif de {style d'affichage h_{2}} , va à zéro plus vite que {style d'affichage (x-a)^{2}} as x tends to a.

Approximation de f(X) = 1/(1 + x2) (bleu) by its Taylor polynomials Pk of order k = 1, …, 16 centered at x = 0 (rouge) and x = 1 (vert). Les approximations ne s'améliorent pas du tout en dehors (−1, 1) et (1 − √2, 1 + √2) respectivement.

De la même manière, nous pourrions obtenir des approximations encore meilleures de f si nous utilisons des polynômes de degré supérieur, depuis lors, nous pouvons faire correspondre encore plus de dérivées avec f au point de base sélectionné.

En général, l'erreur d'approximation d'une fonction par un polynôme de degré k passera à zéro beaucoup plus vite que {style d'affichage (x-a)^{k}} as x tends to a. Cependant, il y a des fonctions, même infiniment différentiables, pour lequel l'augmentation du degré du polynôme d'approximation n'augmente pas la précision de l'approximation: on dit qu'une telle fonction n'est pas analytique en x = a: ce n'est pas (localement) déterminé par ses dérivées en ce point.

Le théorème de Taylor est de nature asymptotique: it only tells us that the error Rk in an approximation by a k-th order Taylor polynomial Pk tends to zero faster than any nonzero k-th degree polynomial as x → a. Il ne nous dit pas quelle est la taille de l'erreur dans un voisinage concret du centre d'expansion, mais à cette fin, il existe des formules explicites pour le terme de reste (donnée ci-après) qui sont valides sous certaines hypothèses de régularité supplémentaires sur f. Ces versions améliorées du théorème de Taylor conduisent généralement à des estimations uniformes de l'erreur d'approximation dans un petit voisinage du centre d'expansion, mais les estimations ne tiennent pas nécessairement pour les quartiers trop grands, même si la fonction f est analytique. Dans cette situation, il peut être nécessaire de sélectionner plusieurs polynômes de Taylor avec différents centres d'expansion pour obtenir des approximations de Taylor fiables de la fonction d'origine. (voir l'animation à droite.) Il y a plusieurs façons d'utiliser le terme de reste: Estimer l'erreur pour un polynôme Pk(X) de degré k estimant f(X) sur un intervalle donné (un - r, un + r). (Étant donné l'intervalle et le degré, nous trouvons l'erreur.) Trouver le plus petit degré k pour lequel le polynôme Pk(X) se rapproche de f(X) à l'intérieur d'une tolérance d'erreur donnée sur un intervalle donné (un - r, un + r) . (Compte tenu de l'intervalle et de la tolérance d'erreur, nous trouvons le degré.) Trouver le plus grand intervalle (un - r, un + r) sur lequel Pk(X) se rapproche de f(X) à l'intérieur d'une tolérance d'erreur donnée. (Compte tenu du degré et de la tolérance aux erreurs, on trouve l'intervalle.) Taylor's theorem in one real variable Statement of the theorem The precise statement of the most basic version of Taylor's theorem is as follows: Théorème de Taylor[4][5][6] — Let k ≥ 1 be an integer and let the function f : R → R soit k fois différentiable au point a ∈ R. Then there exists a function hk : R → R tel que {style d'affichage f(X)=f(un)+F'(un)(x-a)+{frac {F''(un)}{2!}}(x-a)^{2}+cdots +{frac {f ^{(k)}(un)}{k!}}(x-a)^{k}+h_{k}(X)(x-a)^{k},} et {style d'affichage lim _{xà un}h_{k}(X)=0.} C'est ce qu'on appelle la forme Peano du reste.

Le polynôme apparaissant dans le théorème de Taylor est le polynôme de Taylor d'ordre k {style d'affichage P_{k}(X)=f(un)+F'(un)(x-a)+{frac {F''(un)}{2!}}(x-a)^{2}+cdots +{frac {f ^{(k)}(un)}{k!}}(x-a)^{k}} de la fonction f au point a. Le polynôme de Taylor est l'unique "meilleur ajustement asymptotique" polynomial in the sense that if there exists a function hk : R → R et un polynôme d'ordre k p tel que {style d'affichage f(X)=p(X)+h_{k}(X)(x-a)^{k},quadlim _{xà un}h_{k}(X)=0,} then p = Pk. Le théorème de Taylor décrit le comportement asymptotique du terme de reste {style d'affichage R_{k}(X)=f(X)-P_{k}(X),} qui est l'erreur d'approximation lors de l'approximation de f avec son polynôme de Taylor. Utilisation de la notation petit-o, la déclaration dans le théorème de Taylor se lit comme {style d'affichage R_{k}(X)=o(|x-a|^{k}),quad xto a.} Explicit formulas for the remainder Under stronger regularity assumptions on f there are several precise formulas for the remainder term Rk of the Taylor polynomial, les plus courantes étant les suivantes.

Mean-value forms of the remainder — Let f : R → R be k + 1 times differentiable on the open interval with f(k) continue sur l'intervalle fermé entre a et x.[7] Alors {style d'affichage R_{k}(X)={frac {f ^{(k+1)}(xi _{L})}{(k+1)!}}(x-a)^{k+1}} pour un nombre réel ξL compris entre a et x. C'est la forme de Lagrange[8] du reste.

De la même manière, {style d'affichage R_{k}(X)={frac {f ^{(k+1)}(xi _{C})}{k!}}(x-xi _{C})^{k}(x-a)} pour un certain nombre réel ξC entre a et x. C'est la forme de Cauchy[9] du reste.

Ces raffinements du théorème de Taylor sont généralement prouvés à l'aide du théorème de la valeur moyenne, d'où le nom. En outre, notez que c'est précisément le théorème de la valeur moyenne lorsque k = 0. D'autres expressions similaires peuvent également être trouvées. Par exemple, si G(t) est continue sur l'intervalle fermé et différentiable par une dérivée non nulle sur l'intervalle ouvert entre a et x, alors {style d'affichage R_{k}(X)={frac {f ^{(k+1)}(xii )}{k!}}(x-xi )^{k}{frac {g(X)-g(un)}{G'(xii )}}} pour un certain nombre ξ entre a et x. Cette version couvre les formes Lagrange et Cauchy du reste comme cas particuliers, et est prouvé ci-dessous en utilisant le théorème de la valeur moyenne de Cauchy.

L'énoncé de la forme intégrale du reste est plus avancé que les précédents, et nécessite une compréhension de la théorie de l'intégration de Lebesgue pour la pleine généralité. Cependant, elle vaut aussi au sens de l'intégrale de Riemann à condition que (k + 1)la dérivée ième de f est continue sur l'intervalle fermé [un,X].

Forme intégrale du reste[10] — Let f(k) être absolument continue sur l'intervalle fermé entre a et x. Alors {style d'affichage R_{k}(X)=int _{un}^{X}{frac {f ^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k},dt.} En raison de la continuité absolue de f(k) sur l'intervalle fermé entre a et x, sa dérivée f(k+1) existe en tant que fonction L1, et le résultat peut être prouvé par un calcul formel utilisant le théorème fondamental du calcul et l'intégration par parties.

Estimates for the remainder It is often useful in practice to be able to estimate the remainder term appearing in the Taylor approximation, plutôt que d'avoir une formule exacte pour cela. Supposons que f est (k + 1)-fois continûment dérivable dans un intervalle I contenant un. Supposons qu'il existe des constantes réelles q et Q telles que {style d'affichage qleq f^{(k+1)}(X)leq Q} tout au long de moi. Alors le terme de reste satisfait l'inégalité[11] {style d'affichage q{frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}}leq R_{k}(X)leq Q{frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}},} if x > a, et une estimation similaire si x < a. This is a simple consequence of the Lagrange form of the remainder. In particular, if {displaystyle |f^{(k+1)}(x)|leq M} on an interval I = (a − r,a + r) with some {displaystyle r>0} , alors {style d'affichage |R_{k}(X)|leq M{frac {|x-a|^{k+1}}{(k+1)!}}leq M{frac {r ^{k+1}}{(k+1)!}}} pour tout x∈(un - r,un + r). La deuxième inégalité est appelée une estimation uniforme, car il vaut uniformément pour tout x sur l'intervalle (un - r,un + r).

Exemple Approximation de ex (bleu) by its Taylor polynomials Pk of order k = 1,…,7 centered at x = 0 (rouge).

Supposons que nous souhaitions trouver la valeur approchée de la fonction f(X) = ex sur l'intervalle [−1,1] tout en s'assurant que l'erreur dans l'approximation n'est pas supérieure à 10−5. Dans cet exemple, nous prétendons que nous ne connaissons que les propriétés suivantes de la fonction exponentielle: {style d'affichage e^{0}=1,qquad {frac {ré}{dx}}e ^{X}=e^{X},quand ^{X}>0,qquad xin mathbb {R} .} (⁎) De ces propriétés, il s'ensuit que f(k)(X) = ex pour tout k, et en particulier, F(k)(0) = 1. D'où le polynôme de Taylor d'ordre k de f à 0 et son terme restant sous la forme de Lagrange sont donnés par {style d'affichage P_{k}(X)=1+x+{frac {x^{2}}{2!}}+cdots +{frac {x^{k}}{k!}},qquad R_{k}(X)={frac {e ^{xii }}{(k+1)!}}x^{k+1},} où ξ est un nombre compris entre 0 et x. Puisque ex augmente de (⁎), we can simply use ex ≤ 1 for x ∈ [−1, 0] pour estimer le reste sur le sous-intervalle [−1, 0]. Pour obtenir une borne supérieure pour le reste sur [0,1], on utilise la propriété eξ < ex for 0<ξ 0 and a sequence of coefficients ck ∈ R such that (un - r, un + r) ⊂ je et {style d'affichage f(X)=somme _{k=0}^{infime }c_{k}(x-a)^{k}=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+cdots ,qquad |x-a| 0 there exists a constant Mk,r > 0 tel que {style d'affichage |R_{k}(X)|leq M_{k,r}{frac {|x-a|^{k+1}}{(k+1)!}}} (⁎⁎) for every x ∈ (un - r,un + r). Parfois les constantes Mk,r peut être choisi de telle manière que Mk,r est borné au-dessus, pour r fixe et tout k. Alors la série de Taylor de f converge uniformément vers une fonction analytique {style d'affichage {commencer{aligné}&T_{F}:(a-r,un+r)à mathbb {R} \&T_{F}(X)=somme _{k=0}^{infime }{frac {f ^{(k)}(un)}{k!}}la gauche(x-correct)^{k}fin{aligné}}} (On obtient aussi la convergence même si Mk,r n'est pas borné au-dessus tant qu'il croît assez lentement.) La fonction limite Tf est par définition toujours analytique, mais elle n'est pas nécessairement égale à la fonction d'origine f, même si f est infiniment différentiable. Dans ce cas, on dit que f est une fonction lisse non analytique, par exemple une fonction plate: {style d'affichage {commencer{aligné}&f:mathbb {R} à mathbb {R} \&f(X)={commencer{cas}e ^{-{frac {1}{x^{2}}}}&x>0\0&xleq 0.end{cas}}fin{aligné}}} Utilisation répétée de la règle de la chaîne par induction mathématique, one shows that for any order k, {style d'affichage f^{(k)}(X)={commencer{cas}{frac {p_{k}(X)}{x^{3k}}}cdot e ^{-{frac {1}{x^{2}}}}&x>0\0&xleq 0end{cas}}} pour un polynôme pk de degré 2(k- 1). La fonction {style d'affichage e^{-{frac {1}{x^{2}}}}} tend vers zéro plus rapidement que n'importe quel polynôme lorsque x → 0, donc f est infiniment plusieurs fois différentiable et f(k)(0) = 0 pour tout entier positif k. Les résultats ci-dessus sont tous valables dans ce cas: La série de Taylor de f converge uniformément vers la fonction nulle Tf(X) = 0, qui est analytique avec tous les coefficients égaux à zéro. La fonction f est inégale à cette série de Taylor, et donc non analytique. For any order k ∈ N and radius r > 0 there exists Mk,r > 0 satisfying the remainder bound (⁎⁎) au dessus.

Cependant, quand k augmente pour r fixe, la valeur de Mk,r croît plus vite que rk, et l'erreur ne va pas à zéro.

Taylor's theorem in complex analysis Taylor's theorem generalizes to functions f : C → C which are complex differentiable in an open subset U ⊂ C of the complex plane. Cependant, son utilité est éclipsée par d'autres théorèmes généraux en analyse complexe. À savoir, stronger versions of related results can be deduced for complex differentiable functions f : U → C using Cauchy's integral formula as follows.

Let r > 0 such that the closed disk B(z, r) ∪ S(z, r) est contenu dans U. Alors la formule intégrale de Cauchy avec une paramétrisation positive γ(t) = z + reit du cercle S(z, r) avec t ∈ [0, 2Pi] donne {style d'affichage f(z)={frac {1}{2pi je}}entier _{gamma }{frac {F(w)}{w-z}},dw,quadruple f'(z)={frac {1}{2pi je}}entier _{gamma }{frac {F(w)}{(w-z)^{2}}},dw,points quadruples ,quadruple f ^{(k)}(z)={frac {k!}{2pi je}}entier _{gamma }{frac {F(w)}{(w-z)^{k+1}}},dw.} Ici tous les intégrands sont continus sur le cercle S(z, r), qui justifie la différenciation sous le signe intégral. En particulier, si f est une fois différentiable complexe sur l'ensemble ouvert U, alors il est en fait infiniment plusieurs fois complexe différentiable sur U. On obtient aussi les estimations de Cauchy[12] {style d'affichage |f ^{(k)}(z)|leq {frac {k!}{2pi }}entier _{gamma }{frac {M_{r}}{|w-z|^{k+1}}},dw={frac {k!M_{r}}{r ^{k}}},quad M_{r}=max _{|toilettes|=r}|F(w)|} for any z ∈ U and r > 0 such that B(z, r) ∪ S(c, r) ⊂ U. Ces estimations impliquent que la série complexe de Taylor {style d'affichage T_{F}(z)=somme _{k=0}^{infime }{frac {f ^{(k)}(c)}{k!}}(z-c)^{k}} de f converge uniformément sur tout disque ouvert B(c, r) ⊂ U with S(c, r) ⊂ U into some function Tf. Par ailleurs, en utilisant les formules intégrales de contour pour les dérivées f(k)(c), {style d'affichage {commencer{aligné}T_{F}(z)&=sum _{k=0}^{infime }{frac {(z-c)^{k}}{2pi je}}entier _{gamma }{frac {F(w)}{(toilettes)^{k+1}}},dw\&={frac {1}{2pi je}}entier _{gamma }{frac {F(w)}{toilettes}}somme _{k=0}^{infime }la gauche({frac {z-c}{toilettes}}droit)^{k},dw\&={frac {1}{2pi je}}entier _{gamma }{frac {F(w)}{toilettes}}la gauche({frac {1}{1-{frac {z-c}{toilettes}}}}droit),dw\&={frac {1}{2pi je}}entier _{gamma }{frac {F(w)}{w-z}},dw=f(z),fin{aligné}}} so any complex differentiable function f in an open set U ⊂ C is in fact complex analytic. All that is said for real analytic functions here holds also for complex analytic functions with the open interval I replaced by an open subset U ∈ C and a-centered intervals (un - r, un + r) remplacés par des disques c-centrés B(c, r). En particulier, le développement de Taylor tient sous la forme {style d'affichage f(z)=P_{k}(z)+R_{k}(z),quadruple P_{k}(z)=somme _{j=0}^{k}{frac {f ^{(j)}(c)}{j!}}(z-c)^{j},} où le terme de reste Rk est analytique complexe. Les méthodes d'analyse complexe fournissent des résultats puissants concernant les expansions de Taylor. Par exemple, using Cauchy's integral formula for any positively oriented Jordan curve γ which parametrizes the boundary ∂W ⊂ U of a region W ⊂ U, on obtient des expressions pour les dérivées f(j)(c) comme ci-dessus, et en modifiant légèrement le calcul de Tf(z) = f(z), on arrive à la formule exacte {style d'affichage R_{k}(z)=somme _{j=k+1}^{infime }{frac {(z-c)^{j}}{2pi je}}entier _{gamma }{frac {F(w)}{(toilettes)^{j+1}}},dw={frac {(z-c)^{k+1}}{2pi je}}entier _{gamma }{frac {F(w),dw}{(toilettes)^{k+1}(w-z)}},qquadzin W.} The important feature here is that the quality of the approximation by a Taylor polynomial on the region W ⊂ U is dominated by the values of the function f itself on the boundary ∂W ⊂ U. De la même manière, appliquer les estimations de Cauchy à l'expression de la série pour le reste, on obtient les estimations uniformes {style d'affichage |R_{k}(z)|leq somme _{j=k+1}^{infime }{frac {M_{r}|z-c|^{j}}{r ^{j}}}={frac {M_{r}}{r ^{k+1}}}{frac {|z-c|^{k+1}}{1-{frac {|z-c|}{r}}}}leq {frac {M_{r}bêta ^{k+1}}{1-bêta }},qquad {frac {|z-c|}{r}}leq bêta <1.} Example Complex plot of f(z) = 1/(1 + z2). Modulus is shown by elevation and argument by coloring: cyan=0, blue = π/3, violet = 2π/3, red = π, yellow=4π/3, green=5π/3. The function {displaystyle {begin{aligned}&f:mathbb {R} to mathbb {R} \&f(x)={frac {1}{1+x^{2}}}end{aligned}}} is real analytic, that is, locally determined by its Taylor series. This function was plotted above to illustrate the fact that some elementary functions cannot be approximated by Taylor polynomials in neighborhoods of the center of expansion which are too large. This kind of behavior is easily understood in the framework of complex analysis. Namely, the function f extends into a meromorphic function {displaystyle {begin{aligned}&f:mathbb {C} cup {infty }to mathbb {C} cup {infty }\&f(z)={frac {1}{1+z^{2}}}end{aligned}}} on the compactified complex plane. It has simple poles at z = i and z = −i, and it is analytic elsewhere. Now its Taylor series centered at z0 converges on any disc B(z0, r) with r < |z − z0|, where the same Taylor series converges at z ∈ C. Therefore, Taylor series of f centered at 0 converges on B(0, 1) and it does not converge for any z ∈ C with |z| > 1 due to the poles at i and −i. Pour la même raison, la série de Taylor de f centrée sur 1 converge vers B(1, √2) and does not converge for any z ∈ C with |z − 1| > √2.

Generalizations of Taylor's theorem Higher-order differentiability A function f: Rn → R is differentiable at a ∈ Rn if and only if there exists a linear functional L : Rn → R and a function h : Rn → R such that {style d'affichage f({symbole gras {X}})=f({symbole gras {un}})+L({symbole gras {X}}-{symbole gras {un}})+h({symbole gras {X}})Vert {symbole gras {X}}-{symbole gras {un}}rVert ,qquad lim _{{symbole gras {X}}à {symbole gras {un}}}h({symbole gras {X}})=0.} Si c'est le cas, then L = df(un) est le (défini de manière unique) différentiel de f au point a. Par ailleurs, alors les dérivées partielles de f existent en a et la différentielle de f en a est donnée par {style d'affichage df({symbole gras {un}})({symbole gras {v}})={frac {f partiel}{partiel x_{1}}}({symbole gras {un}})v_{1}+cdots +{frac {f partiel}{partiel x_{n}}}({symbole gras {un}})v_{n}.} Introduire la notation multi-index {style d'affichage |alpha |=alpha _{1}+cdots + alpha _{n},quadruple alpha !=alpha _{1}!cdots alpha _{n}!,quad {symbole gras {X}}^{alpha }=x_{1}^{Alpha _{1}}cdots x_{n}^{Alpha _{n}}} for α ∈ Nn and x ∈ Rn. If all the k-th order partial derivatives of f : Rn → R sont continues en a ∈ Rn, puis par le théorème de Clairaut, on peut changer l'ordre des dérivées mixtes à un, donc la notation {displaystyle D^{alpha }f={frac {partiel ^{|alpha |}F}{partiel x_{1}^{Alpha _{1}}cdots partiel x_{n}^{Alpha _{n}}}},qquad |alpha |leq k} pour les dérivées partielles d'ordre supérieur est justifiée dans cette situation. Il en est de même si tous les (k- 1)-les dérivées partielles du ème ordre de f existent dans un certain voisinage de a et sont différentiables en a.[13] Then we say that f is k times differentiable at the point a.

Taylor's theorem for multivariate functions Using notations of the preceding section, on a le théorème suivant.

Version multivariée du théorème de Taylor[14] — Let f : Rn → R une fonction k-fois continûment dérivable au point a ∈ Rn. Then there exist functions hα : Rn → R, où {style d'affichage |alpha |=k,} tel que {style d'affichage {commencer{aligné}&f({symbole gras {X}})=somme _{|alpha |leq k}{frac {D^{alpha }F({symbole gras {un}})}{alpha !}}({symbole gras {X}}-{symbole gras {un}})^{alpha }+somme _{|alpha |=k+1}h_{alpha }({symbole gras {X}})({symbole gras {X}}-{symbole gras {un}})^{alpha },\&{mbox{et}}quadlim _{{symbole gras {X}}à {symbole gras {un}}}h_{alpha }({symbole gras {X}})=0.fin{aligné}}} If the function f : Rn → R is k + 1 times continuously differentiable in a closed ball {style d'affichage B={mathbf {y} en mathbb {R} ^{n}:la gauche|mathbf {un} -mathbf {y} droit|leq r}} pour certains {displaystyle r>0} , alors on peut dériver une formule exacte pour le reste en termes de (k+1)-dérivées partielles d'ordre 1 de f dans ce voisinage.[15] À savoir, {style d'affichage {commencer{aligné}&f({symbole gras {X}})=somme _{|alpha |leq k}{frac {D^{alpha }F({symbole gras {un}})}{alpha !}}({symbole gras {X}}-{symbole gras {un}})^{alpha }+somme _{|bêta |=k+1}R_{bêta }({symbole gras {X}})({symbole gras {X}}-{symbole gras {un}})^{bêta },\&R_{bêta }({symbole gras {X}})={frac {|bêta |}{bêta !}}entier _{0}^{1}(1-t)^{|bêta |-1}D^{bêta }F{gros (}{symbole gras {un}}+t({symbole gras {X}}-{symbole gras {un}}){gros )},dt.fin{aligné}}} Dans ce cas, en raison de la continuité de (k+1)-dérivées partielles d'ordre 1 dans l'ensemble compact B, on obtient immédiatement les estimations uniformes {style d'affichage à gauche|R_{bêta }({symbole gras {X}})droit|leq {frac {1}{bêta !}}maximum _{|alpha |=|bêta |}maximum _{{symbole gras {y}}en B}|D^{alpha }F({symbole gras {y}})|,qquad {symbole gras {X}}en B} Example in two dimensions For example, le polynôme de Taylor du troisième ordre d'une fonction lisse f: R2 → R is, notant x − a = v, {style d'affichage {commencer{aligné}P_{3}({symbole gras {X}})=f({symbole gras {un}})+{}&{frac {f partiel}{partiel x_{1}}}({symbole gras {un}})v_{1}+{frac {f partiel}{partiel x_{2}}}({symbole gras {un}})v_{2}+{frac {partiel ^{2}F}{partiel x_{1}^{2}}}({symbole gras {un}}){frac {v_{1}^{2}}{2!}}+{frac {partiel ^{2}F}{partiel x_{1}partiel x_{2}}}({symbole gras {un}})v_{1}v_{2}+{frac {partiel ^{2}F}{partiel x_{2}^{2}}}({symbole gras {un}}){frac {v_{2}^{2}}{2!}}\&+{frac {partiel ^{3}F}{partiel x_{1}^{3}}}({symbole gras {un}}){frac {v_{1}^{3}}{3!}}+{frac {partiel ^{3}F}{partiel x_{1}^{2}partiel x_{2}}}({symbole gras {un}}){frac {v_{1}^{2}v_{2}}{2!}}+{frac {partiel ^{3}F}{partiel x_{1}partiel x_{2}^{2}}}({symbole gras {un}}){frac {v_{1}v_{2}^{2}}{2!}}+{frac {partiel ^{3}F}{partiel x_{2}^{3}}}({symbole gras {un}}){frac {v_{2}^{3}}{3!}}fin{aligné}}} Proofs Proof for Taylor's theorem in one real variable Let[16] {style d'affichage h_{k}(X)={commencer{cas}{frac {F(X)-P(X)}{(x-a)^{k}}}&xnot =a\0&x=aend{cas}}} où, comme dans l'énoncé du théorème de Taylor, {style d'affichage P(X)=f(un)+F'(un)(x-a)+{frac {F''(un)}{2!}}(x-a)^{2}+cdots +{frac {f ^{(k)}(un)}{k!}}(x-a)^{k}.} Il suffit de montrer que {style d'affichage lim _{xà un}h_{k}(X)=0.} La preuve ici est basée sur l'application répétée de la règle de L'Hôpital. Notez que, pour chaque j = 0,1,…,k−1, {style d'affichage f^{(j)}(un)=P^{(j)}(un)} . Ainsi chacune des k−1 premières dérivées du numérateur dans {style d'affichage h_{k}(X)} disparaît à {style d'affichage x=a} , et il en est de même du dénominateur. Aussi, puisque la condition que la fonction f soit k fois dérivable en un point nécessite une dérivabilité jusqu'à l'ordre k−1 au voisinage dudit point (c'est vrai, car la dérivabilité nécessite qu'une fonction soit définie dans tout le voisinage d'un point), the numerator and its k − 2 derivatives are differentiable in a neighborhood of a. Clairement, le dénominateur satisfait également ladite condition, et en plus, ne disparaît que si x=a, donc toutes les conditions nécessaires à la règle de L'Hopital sont remplies, et son utilisation est justifiée. Alors {style d'affichage {commencer{aligné}lim _{xà un}{frac {F(X)-P(X)}{(x-a)^{k}}}&=lim _{xà un}{frac {{frac {ré}{dx}}(F(X)-P(X))}{{frac {ré}{dx}}(x-a)^{k}}}=cdots =lim _{xà un}{frac {{frac {d^{k-1}}{dx ^{k-1}}}(F(X)-P(X))}{{frac {d^{k-1}}{dx ^{k-1}}}(x-a)^{k}}}\&={frac {1}{k!}}lim _{xà un}{frac {f ^{(k-1)}(X)-P^{(k-1)}(X)}{x-a}}\&={frac {1}{k!}}(f ^{(k)}(un)-f ^{(k)}(un))=0fin{aligné}}} where the last equality follows by the definition of the derivative at x = a.

Alternate proof for Taylor's theorem in one real variable Let {style d'affichage f(X)} avoir une valeur réelle, continu, fonction à approximer par le polynôme de Taylor.

Marcher 1: Soient F et G des fonctions. Définissez F et G sur {style d'affichage {commencer{aligné}F(X)=f(X)-somme _{k=0}^{n-1}{frac {f ^{(k)}(un)}{k!}}(x-a)^{k}fin{aligné}}} {style d'affichage {commencer{aligné}g(X)=(x-a)^{n}fin{aligné}}} Marcher 2: Propriétés de F et G: {style d'affichage {commencer{aligné}F(un)=f(un)-F(un)-F'(un)(a-a)-...-{frac {f ^{(n-1)}(un)(a-a)^{n-1}}{(n-1)!}}fin{aligné}}} De la même manière, {style d'affichage {commencer{aligné}F'(un)=f'(un)-F'(un)-{frac {2F''(un)(a-a)}{1!}}-...-{frac {f ^{(n-2)}(un)(n-1)(a-a)^{n-2}}{(n-1)!}}=0fin{aligné}}} {style d'affichage {commencer{aligné}G'(un)=n(a-a)^{n-1}=0fin{aligné}}} . . .

{style d'affichage {commencer{aligné}G^{(n-1)}(un)=F^{(n-1)}(un)=0fin{aligné}}} Marcher 3: Use Cauchy Mean Value Theorem Let {style d'affichage f_{1}} et {style d'affichage g_{1}} être des fonctions continues sur {style d'affichage [un,b]} . Depuis {style d'affichage aDerivation for the mean value forms of the remainder Let G be any real-valued function, continue sur l'intervalle fermé entre a et x et différentiable par une dérivée non nulle sur l'intervalle ouvert entre a et x, et définir {style d'affichage F(t)=f(t)+F'(t)(x-t)+{frac {F''(t)}{2!}}(x-t)^{2}+cdots +{frac {f ^{(k)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}.} Pour {étain de style d'affichage [un,X]} . Alors, par le théorème de la valeur moyenne de Cauchy, {style d'affichage {frac {F'(xii )}{G'(xii )}}={frac {F(X)-F(un)}{g(X)-g(un)}}} (⁎⁎⁎) pour certains ξ sur l'intervalle ouvert entre a et x. Notez qu'ici le numérateur F(X) − F(un) = Rc(X) est exactement le reste du polynôme de Taylor pour f(X). Calculer {style d'affichage {commencer{aligné}F'(t)={}&f'(t)+{gros (}F''(t)(x-t)-F'(t){gros )}+la gauche({frac {f ^{(3)}(t)}{2!}}(x-t)^{2}-{frac {f ^{(2)}(t)}{1!}}(x-t)droit)+cdots \&cdots +left({frac {f ^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}-{frac {f ^{(k)}(t)}{(k-1)!}}(x-t)^{k-1}droit)={frac {f ^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k},fin{aligné}}} branchez-le sur (⁎⁎⁎) et réorganiser les termes pour trouver que {style d'affichage R_{k}(X)={frac {f ^{(k+1)}(xii )}{k!}}(x-xi )^{k}{frac {g(X)-g(un)}{G'(xii )}}.} C'est la forme du terme de reste mentionné après l'énoncé réel du théorème de Taylor avec le reste sous la forme de la valeur moyenne. La forme de Lagrange du reste se trouve en choisissant {style d'affichage G(t)=(x-t)^{k+1}} et la forme de Cauchy en choisissant {style d'affichage G(t)=t-a} . Remarque. En utilisant cette méthode, on peut également récupérer la forme intégrale du reste en choisissant {style d'affichage G(t)=int _{un}^{t}{frac {f ^{(k+1)}(s)}{k!}}(x-s)^{k},dès,} mais les exigences pour f nécessaires à l'utilisation du théorème de la valeur moyenne sont trop fortes, si l'on vise à prouver l'affirmation dans le cas où f(k) n'est absolument continue. Cependant, si on utilise l'intégrale de Riemann au lieu de l'intégrale de Lebesgue, les hypothèses ne peuvent pas être affaiblies. Derivation for the integral form of the remainder Due to absolute continuity of f(k) sur l'intervalle fermé entre a et x sa dérivée f(k+1) existe en tant que fonction L1, et nous pouvons utiliser le théorème fondamental du calcul et de l'intégration par parties. Cette même preuve s'applique à l'intégrale de Riemann en supposant que f(k) est continue sur l'intervalle fermé et dérivable sur l'intervalle ouvert entre a et x, et cela conduit au même résultat qu'en utilisant le théorème de la valeur moyenne. Le théorème fondamental du calcul énonce que {style d'affichage f(X)=f(un)+entier _{un}^{X},F'(t),dt.} Maintenant, nous pouvons intégrer par parties et utiliser à nouveau le théorème fondamental du calcul pour voir que {style d'affichage {commencer{aligné}F(X)&=f(un)+{Gros (}xf'(X)-de'(un){Gros )}-entier _{un}^{X}tf''(t),dt\&=f(un)+xgauche(F'(un)+entier _{un}^{X}F''(t),c'est vrai)-de'(un)-entier _{un}^{X}tf''(t),dt\&=f(un)+(x-a)F'(un)+entier _{un}^{X},(x-t)F''(t),dt,fin{aligné}}} qui est exactement le théorème de Taylor avec reste sous forme intégrale dans le cas k=1. L'énoncé général se prouve par induction. Supposer que {style d'affichage f(X)=f(un)+{frac {F'(un)}{1!}}(x-a)+cdots +{frac {f ^{(k)}(un)}{k!}}(x-a)^{k}+entier _{un}^{X}{frac {f ^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k},dt.} (⁎⁎⁎⁎) En intégrant le terme du reste par parties on arrive à {style d'affichage {commencer{aligné}entier _{un}^{X}{frac {f ^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k},dt=&-left[{frac {f ^{(k+1)}(t)}{(k+1)k!}}(x-t)^{k+1}droit]_{un}^{X}+entier _{un}^{X}{frac {f ^{(k+2)}(t)}{(k+1)k!}}(x-t)^{k+1},dt\=& {frac {f ^{(k+1)}(un)}{(k+1)!}}(x-a)^{k+1}+entier _{un}^{X}{frac {f ^{(k+2)}(t)}{(k+1)!}}(x-t)^{k+1},dt.fin{aligné}}} En remplaçant cela dans la formule de (⁎⁎⁎⁎) montre que si elle est vraie pour la valeur k, it must also hold for the value k + 1. Par conséquent, since it holds for k = 1, it must hold for every positive integer k. Derivation for the remainder of multivariate Taylor polynomials We prove the special case, where f : Rn → R a des dérivées partielles continues jusqu'à l'ordre k+1 dans une boule fermée B de centre a. La stratégie de la preuve est d'appliquer le cas à une variable du théorème de Taylor à la restriction de f au segment de droite contigu à x et a.[17] Paramétrer le segment de droite entre a et x par u(t) = un + t(x - une). Nous appliquons la version à une variable du théorème de Taylor à la fonction g(t) = f(tu(t)): {style d'affichage f(mathbf {X} )= g(1)= g(0)+somme _{j=1}^{k}{frac {1}{j!}}g^{(j)}(0) + entier _{0}^{1}{frac {(1-t)^{k}}{k!}}g^{(k+1)}(t),dt.} L'application de la règle de la chaîne pour plusieurs variables donne {style d'affichage {commencer{aligné}g^{(j)}(t)&={frac {d^{j}}{dt ^{j}}}F(tu(t))={frac {d^{j}}{dt ^{j}}}F(mathbf {un} +t(mathbf {X} -mathbf {un} ))\&=sum _{|alpha |=j}la gauche({commencer{matrice}fin jalpha{matrice}}droit)(D^{alpha }F)(mathbf {un} +t(mathbf {X} -mathbf {un} ))(mathbf {X} -mathbf {un} )^{alpha }fin{aligné}}} où {style d'affichage {tbinom {j}{alpha }}} est le coefficient multinomial. Depuis {style d'affichage {tfrac {1}{j!}}{tbinom {j}{alpha }}={tfrac {1}{alpha !}}} , on a: {style d'affichage f(mathbf {X} )=f(mathbf {un} )+somme _{1leq |alpha |leq k}{frac {1}{alpha !}}(D^{alpha }F)(mathbf {un} )(mathbf {X} -mathbf {un} )^{alpha }+somme _{|alpha |=k+1}{frac {k+1}{alpha !}}(mathbf {X} -mathbf {un} )^{alpha }entier _{0}^{1}(1-t)^{k}(D^{alpha }F)(mathbf {un} +t(mathbf {X} -mathbf {un} )),dt.} See also Hadamard's lemma Laurent series – Power series with negative powers Padé approximant – 'Best' approximation of a function by a rational function of given order Newton series Footnotes ^ (2013). "Approximation linéaire et quadratique" Récupéré en décembre 6, 2018 ^ Taylor, Ruisseau (1715). Méthode directe et inverse des incréments [Méthodes d'incrémentation directe et inverse] (en latin). Londres. p. 21–23 (Soutenir. VII, Thm. 3, Cor. 2). Traduit en anglais à Struik, ré. J. (1969). Un livre source en mathématiques 1200–1800. Cambridge, Massachusetts: Presse universitaire de Harvard. pp. 329–332. ^ Kline 1972, pp. 442, 464. ^ Genocchi, Ange; Péano, Giuseppe (1884), Calcul différentiel et principes du calcul intégral, (N. 67, pp. XVII–XIX): Fratelli Bocca éd.. ^ Spivak, Michael (1994), Calcul (3e éd.), Houston, TX: Publier ou périr, p. 383, ISBN 978-0-914098-89-8 ^ "Formule de Taylor", Encyclopédie des mathématiques, Presse EMS, 2001 [1994] ^ L'hypothèse de f(k) être continu sur l'intervalle fermé entre a et x n'est pas redondant. Although f being k + 1 times differentiable on the open interval between a and x does imply that f(k) est continue sur l'intervalle ouvert entre a et x, cela ne signifie pas que f(k) est continue sur l'intervalle fermé entre a et x, c'est à dire. cela ne signifie pas que f(k) est continue aux extrémités de cet intervalle. Envisager, par exemple, la fonction f : [0,1] → R défini égal à {péché de style d'affichage(1/X)} sur {style d'affichage (0,1]} et avec {style d'affichage f(0)=0} . Ce n'est pas continu à 0, mais est continu sur {style d'affichage (0,1)} . En outre, on peut montrer que cette fonction admet une primitive. Donc cette primitive est différentiable sur {style d'affichage (0,1)} , sa dérivée (la fonction f) est continue sur l'intervalle ouvert {style d'affichage (0,1)} , mais sa dérivée f n'est pas continue sur l'intervalle fermé {style d'affichage [0,1]} . Donc le théorème ne s'appliquerait pas dans ce cas. ^ Kline 1998, §20.3; Apôtre 1967, §7.7. ^ Apôtre 1967, §7.7. ^ Apôtre 1967, §7.5. ^ Apôtre 1967, §7.6 ^ Roudin 1987, §10.26 ^ Cela découle de l'application itérative du théorème que si les dérivées partielles d'une fonction f existent dans un voisinage de a et sont continues à a, alors la fonction est dérivable en un. Voir, par exemple, Apôtre 1974, Théorème 12.11. ^ Analyse de Königsberger 2, p. 64 ff. ^ https://sites.math.washington.edu/~folland/Math425/taylor2.pdf[URL nue PDF] ^ Stromberg 1981 ^ Hormander 1976, pp. 12–13 References Apostol, À M (1967), Calcul, Wiley, ISBN 0-471-00005-1. Apôtre, À M (1974), Analyse mathematique, Addison-Wesley. Bartle, Robert G; Sherbert, Donald R.. (2011), Introduction à l'analyse réelle (4e éd.), Wiley, ISBN 978-0-471-43331-6. Hormandre, L. (1976), Opérateurs différentiels partiels linéaires, Le volume 1, Springer, ISBN 978-3-540-00662-6. Kline, Morris (1972), La pensée mathématique de l'Antiquité à l'époque moderne, Le volume 2, Presse universitaire d'Oxford. Kline, Morris (1998), Calcul: Une approche intuitive et physique, Douvres, ISBN 0-486-40453-6. Pédrick, George (1994), Un premier cours d'analyse, Springer, ISBN 0-387-94108-8. Stromberg, Charles (1981), Introduction à l'analyse réelle classique, Wadsworth, ISBN 978-0-534-98012-2. 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