Satz von Taylor

Taylor's theorem The exponential function y = ex (rot) und das entsprechende Taylor-Polynom vierten Grades (grün gestrichelt) um den Ursprung. Part of a series of articles about Calculus Fundamental theorem Leibniz integral rule Limits of functionsContinuity Mean value theoremRolle's theorem hide Differential Definitions Derivative (Verallgemeinerungen)Differential infinitesimalof a functiontotal Concepts Differentiation notationSecond derivativeImplicit differentiationLogarithmic differentiationRelated ratesTaylor's theorem Rules and identities SumProductChainPowerQuotientL'Hôpital's ruleInverseGeneral LeibnizFaà di Bruno's formulaReynolds show Integral show Series show Vector show Multivariable show Advanced show Specialized show Miscellaneous vte In calculus, Der Satz von Taylor gibt eine Näherung einer k-mal differenzierbaren Funktion um einen gegebenen Punkt durch ein Polynom vom Grad k, wird als Taylor-Polynom k-ter Ordnung bezeichnet. Für eine reibungslose Funktion, das Taylor-Polynom ist die Kürzung bei der Ordnung k der Taylor-Reihe der Funktion. Das Taylor-Polynom erster Ordnung ist die lineare Approximation der Funktion, und das Taylor-Polynom zweiter Ordnung wird oft als quadratische Näherung bezeichnet.[1] Es gibt mehrere Versionen des Satzes von Taylor, einige geben explizite Schätzungen des Approximationsfehlers der Funktion durch ihr Taylor-Polynom an.

Der Satz von Taylor ist nach dem Mathematiker Brook Taylor benannt, der eine Version davon in angegeben hat 1715,[2] obwohl eine frühere Version des Ergebnisses bereits in erwähnt wurde 1671 von James Gregory.[3] Der Satz von Taylor wird in Einführungskursen in Analysis gelehrt und ist eines der zentralen elementaren Werkzeuge in der mathematischen Analyse. Es gibt einfache arithmetische Formeln, um die Werte vieler transzendentaler Funktionen wie der Exponentialfunktion und der trigonometrischen Funktionen genau zu berechnen. Es ist der Ausgangspunkt für das Studium der analytischen Funktionen, und ist grundlegend in verschiedenen Bereichen der Mathematik, sowie in Numerik und mathematischer Physik. Der Satz von Taylor lässt sich auch auf multivariate und vektorwertige Funktionen verallgemeinern.

Inhalt 1 Motivation 2 Satz von Taylor in einer reellen Variablen 2.1 Aussage des Theorems 2.2 Explizite Formeln für den Rest 2.3 Schätzungen für den Rest 2.4 Beispiel 3 Beziehung zur Analytik 3.1 Taylorentwicklungen reeller analytischer Funktionen 3.2 Satz von Taylor und Konvergenz von Taylorreihen 3.3 Der Satz von Taylor in der komplexen Analysis 3.4 Beispiel 4 Verallgemeinerungen des Satzes von Taylor 4.1 Differenzierbarkeit höherer Ordnung 4.2 Satz von Taylor für multivariate Funktionen 4.3 Beispiel in zwei Dimensionen 5 Beweise 5.1 Beweis für den Satz von Taylor in einer reellen Variablen 5.2 Alternativer Beweis für den Satz von Taylor in einer reellen Variablen 5.3 Herleitung für die Mittelwertformen des Restes 5.4 Herleitung für die Integralform des Restes 5.5 Herleitung für den Rest multivariater Taylor-Polynome 6 Siehe auch 7 Fußnoten 8 Verweise 9 Externe Links Motivation Grafik von f(x) = Bsp (blau) mit seiner linearen Näherung P1(x) = 1 + x (rot) at a = 0.

Wenn eine reellwertige Funktion f(x) ist an der Stelle x = a differenzierbar, dann hat es in der Nähe dieses Punktes eine lineare Annäherung. Das bedeutet, dass es eine Funktion h1 gibt(x) so dass {Anzeigestil f(x)= f(a)+f'(a)(x-a)+h_{1}(x)(x-a),Quad-Lim _{x bis a}h_{1}(x)=0.} Hier {Anzeigestil P_{1}(x)= f(a)+f'(a)(x-a)} ist die lineare Näherung von f(x) für x in der Nähe des Punktes a, dessen Graph y = P1(x) ist die Tangente an den Graphen y = f(x) bei x = a. Der Näherungsfehler ist: {Anzeigestil R_{1}(x)= f(x)-P_{1}(x)=h_{1}(x)(x-a).} As x tends to a, Dieser Fehler geht viel schneller auf Null als {Anzeigestil f'(a)(x{-}a)} , Herstellung {Anzeigestil f(x)ca. P_{1}(x)} eine brauchbare Annäherung.

Grafik von f(x) = Bsp (blau) mit seiner quadratischen Näherung P2(x) = 1 + x + x2/2 (rot) at a = 0. Beachten Sie die Verbesserung in der Näherung.

Zur besseren Annäherung an f(x), Wir können anstelle einer linearen Funktion ein quadratisches Polynom anpassen: {Anzeigestil P_{2}(x)= f(a)+f'(a)(x-a)+{frac {f''(a)}{2}}(x-a)^{2}.} Anstatt nur eine Ableitung von f zuzuordnen(x) bei x = a, dieses Polynom hat die gleiche erste und zweite Ableitung, wie sich aus der Differenzierung ergibt.

Der Satz von Taylor stellt sicher, dass die quadratische Näherung gilt, in einer hinreichend kleinen Umgebung von x = a, genauer als die lineare Näherung. Speziell, {Anzeigestil f(x)=P_{2}(x)+h_{2}(x)(x-a)^{2},Quad-Lim _{x bis a}h_{2}(x)=0.} Hier liegt der Fehler in der Näherung {Anzeigestil R_{2}(x)= f(x)-P_{2}(x)=h_{2}(x)(x-a)^{2},} die, angesichts des Begrenzungsverhaltens von {Anzeigestil h_{2}} , geht schneller auf Null als {Anzeigestil (x-a)^{2}} as x tends to a.

Näherung von f(x) = 1/(1 + x2) (blau) by its Taylor polynomials Pk of order k = 1, …, 16 centered at x = 0 (rot) and x = 1 (grün). Die Annäherungen verbessern sich überhaupt nicht außerhalb (−1, 1) und (1 − √2, 1 + √2) beziehungsweise.

Ähnlich, wir könnten noch bessere Annäherungen an f erhalten, wenn wir Polynome höheren Grades verwenden, seitdem können wir noch mehr Ableitungen mit f am gewählten Basispunkt abgleichen.

Im Algemeinen, Der Fehler bei der Annäherung einer Funktion durch ein Polynom vom Grad k geht viel schneller auf Null als {Anzeigestil (x-a)^{k}} as x tends to a. Jedoch, es gibt funktionen, sogar unendlich differenzierbare, für die das Erhöhen des Grades des approximierenden Polynoms die Genauigkeit der Approximation nicht erhöht: wir sagen, eine solche Funktion ist bei x = a nicht analytisch: es ist nicht (örtlich) an dieser Stelle durch seine Ableitungen bestimmt.

Der Satz von Taylor ist asymptotischer Natur: it only tells us that the error Rk in an approximation by a k-th order Taylor polynomial Pk tends to zero faster than any nonzero k-th degree polynomial as x → a. Sie sagt uns nicht, wie groß der Fehler in irgendeiner konkreten Umgebung des Expansionszentrums ist, dafür gibt es aber explizite Formeln für den Restterm (unten angegeben) die unter einigen zusätzlichen Regularitätsannahmen auf f gelten. Diese verbesserten Versionen des Satzes von Taylor führen typischerweise zu einheitlichen Schätzungen für den Approximationsfehler in einer kleinen Nachbarschaft des Expansionszentrums, aber die Schätzungen gelten nicht unbedingt für zu große Nachbarschaften, auch wenn die Funktion f analytisch ist. In dieser Situation müssen möglicherweise mehrere Taylor-Polynome mit unterschiedlichen Entwicklungszentren ausgewählt werden, um zuverlässige Taylor-Approximationen der ursprünglichen Funktion zu erhalten (siehe Animation rechts.) Es gibt mehrere Möglichkeiten, wie wir den Restbegriff verwenden können: Schätzen Sie den Fehler für ein Polynom Pk ab(x) vom Grad k, der f schätzt(x) in einem bestimmten Intervall (ein – r, a + r). (Gegeben das Intervall und Grad, wir finden den Fehler.) Finden Sie den kleinsten Grad k, für den das Polynom Pk gilt(x) ungefähr f(x) innerhalb einer gegebenen Fehlertoleranz in einem gegebenen Intervall (ein - r, a + r) . (Angesichts der Intervall- und Fehlertoleranz, Wir finden den Abschluss.) Finden Sie das größte Intervall (ein - r, a + r) auf welcher Pk(x) ungefähr f(x) innerhalb einer vorgegebenen Fehlertoleranz. (Angesichts des Grades und der Fehlertoleranz, wir finden das Intervall.) Taylor's theorem in one real variable Statement of the theorem The precise statement of the most basic version of Taylor's theorem is as follows: Satz von Taylor[4][5][6] — Let k ≥ 1 be an integer and let the function f : R → R sei k mal differenzierbar an der Stelle a ∈ R. Then there exists a function hk : R → R so dass {Anzeigestil f(x)= f(a)+f'(a)(x-a)+{frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+cdots +{frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+h_{k}(x)(x-a)^{k},} und {Anzeigestil lim _{x bis a}h_{k}(x)=0.} Dies wird die Peano-Form des Restes genannt.

Das im Satz von Taylor auftretende Polynom ist das Taylor-Polynom k-ter Ordnung {Anzeigestil P_{k}(x)= f(a)+f'(a)(x-a)+{frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+cdots +{frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}} der Funktion f im Punkt a. Das Taylor-Polynom ist eindeutig "asymptotische beste Anpassung" polynomial in the sense that if there exists a function hk : R → R und ein Polynom k-ter Ordnung p so dass {Anzeigestil f(x)=p(x)+h_{k}(x)(x-a)^{k},Quad-Lim _{x bis a}h_{k}(x)=0,} then p = Pk. Der Satz von Taylor beschreibt das asymptotische Verhalten des Restterms {Anzeigestil R_{k}(x)= f(x)-P_{k}(x),} Dies ist der Approximationsfehler bei der Approximation von f mit seinem Taylor-Polynom. Verwenden der Little-O-Notation, die Aussage in Taylors Theorem lautet wie folgt {Anzeigestil R_{k}(x)=o(|x-a|^{k}),quad xto a.} Explicit formulas for the remainder Under stronger regularity assumptions on f there are several precise formulas for the remainder term Rk of the Taylor polynomial, Die häufigsten sind die folgenden.

Mean-value forms of the remainder — Let f : R → R be k + 1 times differentiable on the open interval with f(k) stetig auf dem geschlossenen Intervall zwischen a und x.[7] Dann {Anzeigestil R_{k}(x)={frac {f^{(k+1)}(xi _{L})}{(k+1)!}}(x-a)^{k+1}} für eine reelle Zahl ξL zwischen a und x. Das ist die Lagrange-Form[8] des Restes.

Ähnlich, {Anzeigestil R_{k}(x)={frac {f^{(k+1)}(xi _{C})}{k!}}(x-xi _{C})^{k}(x-a)} für eine reelle Zahl ξC zwischen a und x. Dies ist die Cauchy-Form[9] des Restes.

Diese Verfeinerungen des Satzes von Taylor werden normalerweise mit dem Mittelwertsatz bewiesen, woher der Name. Zusätzlich, Beachten Sie, dass dies genau der Mittelwertsatz ist, wenn k = 0. Auch andere ähnliche Ausdrücke können gefunden werden. Zum Beispiel, wenn g(t) ist auf dem geschlossenen Intervall stetig und mit einer nicht verschwindenden Ableitung auf dem offenen Intervall zwischen a und x differenzierbar, dann {Anzeigestil R_{k}(x)={frac {f^{(k+1)}(xi )}{k!}}(x-xi )^{k}{frac {G(x)-G(a)}{G'(xi )}}} für eine Zahl ξ zwischen a und x. Diese Version deckt die Lagrange- und Cauchy-Formen des Rests als Spezialfälle ab, und wird unten mit dem Mittelwertsatz von Cauchy bewiesen.

Die Aussage für die Integralform des Restes ist fortgeschrittener als die vorherigen, und erfordert das Verständnis der Lebesgue-Integrationstheorie für die volle Allgemeingültigkeit. Jedoch, es gilt auch im Sinne des Riemann-Integrals sofern die (k + 1)te Ableitung von f ist auf dem abgeschlossenen Intervall stetig [a,x].

Integralform des Restes[10] — Let f(k) auf dem abgeschlossenen Intervall zwischen a und x absolut stetig sein. Dann {Anzeigestil R_{k}(x)=int _{a}^{x}{frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k},dt.} Wegen absoluter Stetigkeit von f(k) auf dem geschlossenen Intervall zwischen a und x, seine Ableitung f(k+1) existiert als L1-Funktion, und das Ergebnis kann durch eine formale Berechnung unter Verwendung des Fundamentaltheorems der Infinitesimalrechnung und partieller Integration bewiesen werden.

Estimates for the remainder It is often useful in practice to be able to estimate the remainder term appearing in the Taylor approximation, anstatt eine genaue Formel dafür zu haben. Angenommen, f ist (k + 1)-Zeiten stetig differenzierbar in einem Intervall I, das a enthält. Angenommen, es gibt reelle Konstanten q und Q, so dass {displaystyle qleq f^{(k+1)}(x)leq Q} durchgehend I. Dann erfüllt der Restterm die Ungleichung[11] {Anzeigestil q{frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}}leq R_{k}(x)leq Q{frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}},} if x > a, und eine ähnliche Schätzung, wenn x < a. This is a simple consequence of the Lagrange form of the remainder. In particular, if {displaystyle |f^{(k+1)}(x)|leq M} on an interval I = (a − r,a + r) with some {displaystyle r>0} , dann {Anzeigestil |R_{k}(x)|leq M{frac {|x-a|^{k+1}}{(k+1)!}}leq M{frac {r^{k+1}}{(k+1)!}}} für alle x∈(ein - r,a + r). Die zweite Ungleichung wird als einheitliche Schätzung bezeichnet, denn es gilt einheitlich für alle x auf dem Intervall (ein - r,a + r).

Beispiel Approximation von Bsp (blau) by its Taylor polynomials Pk of order k = 1,…,7 centered at x = 0 (rot).

Angenommen, wir möchten den ungefähren Wert der Funktion f finden(x) = ex auf dem Intervall [−1,1] wobei sichergestellt wird, dass der Fehler in der Annäherung nicht mehr als 10−5 beträgt. In diesem Beispiel tun wir so, als ob wir nur die folgenden Eigenschaften der Exponentialfunktion kennen: {Anzeigestil e^{0}=1,qquad {frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x},wann ^{x}>0,qquad xin mathbb {R} .} (⁎) Aus diesen Eigenschaften folgt f(k)(x) = ex für alle k, und besonders, f(k)(0) = 1. Daher das Taylor-Polynom k-ter Ordnung von f at 0 und sein Restterm in der Lagrange-Form sind gegeben durch {Anzeigestil P_{k}(x)=1+x+{frac {x^{2}}{2!}}+cdots +{frac {x^{k}}{k!}},qquad R_{k}(x)={frac {e^{xi }}{(k+1)!}}x^{k+1},} wobei ξ eine Zahl dazwischen ist 0 und x. Da ex steigt um (⁎), we can simply use ex ≤ 1 for x ∈ [−1, 0] um den Rest auf dem Teilintervall zu schätzen [−1, 0]. Um eine Obergrenze für den Rest an zu erhalten [0,1], wir benutzen die Eigenschaft eξ < ex for 0<ξ 0 and a sequence of coefficients ck ∈ R such that (ein - r, a + r) ⊂ Ich und {Anzeigestil f(x)= Summe _{k=0}^{unendlich }c_{k}(x-a)^{k}=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+cdots ,Quad |x-a| 0 there exists a constant Mk,r > 0 so dass {Anzeigestil |R_{k}(x)|leq M_{k,r}{frac {|x-a|^{k+1}}{(k+1)!}}} (⁎⁎) for every x ∈ (ein - r,a + r). Manchmal sind die Konstanten Mk,r kann so gewählt werden, dass Mk,r ist nach oben beschränkt, für festes r und alle k. Dann konvergiert die Taylor-Reihe von f gleichmäßig gegen eine analytische Funktion {Anzeigestil {Start{ausgerichtet}&T_{f}:(a-r,a+r)zu mathbb {R} \&T_{f}(x)= Summe _{k=0}^{unendlich }{frac {f^{(k)}(a)}{k!}}links(x-richtig)^{k}Ende{ausgerichtet}}} (Man bekommt auch Konvergenz, selbst wenn Mk,r ist nicht nach oben begrenzt, solange es langsam genug wächst.) Die Grenzfunktion Tf ist per Definition immer analytisch, aber sie ist nicht unbedingt gleich der ursprünglichen Funktion f, auch wenn f unendlich differenzierbar ist. In diesem Fall, wir sagen, f ist eine nicht-analytische glatte Funktion, zum Beispiel eine flache Funktion: {Anzeigestil {Start{ausgerichtet}&f:mathbb {R} zu mathbb {R} \&f(x)={Start{Fälle}e^{-{frac {1}{x^{2}}}}&x>0\0&xleq 0.end{Fälle}}Ende{ausgerichtet}}} Wiederholte Verwendung der Kettenregel durch mathematische Induktion, one shows that for any order k, {Anzeigestil f^{(k)}(x)={Start{Fälle}{frac {p_{k}(x)}{x^{3k}}}cdot e^{-{frac {1}{x^{2}}}}&x>0\0&xleq 0end{Fälle}}} für ein Polynom pk Grad 2(k- 1). Die Funktion {Anzeigestil e^{-{frac {1}{x^{2}}}}} tendiert schneller zu Null als jedes Polynom, da x → 0, also ist f unendlich oft differenzierbar und f(k)(0) = 0 für jede positive ganze Zahl k. Die obigen Ergebnisse gelten alle in diesem Fall: Die Taylor-Reihe von f konvergiert gleichmäßig gegen die Nullfunktion Tf(x) = 0, was analytisch ist, wenn alle Koeffizienten gleich Null sind. Die Funktion f ist dieser Taylorreihe ungleich, und damit nichtanalytisch. For any order k ∈ N and radius r > 0 there exists Mk,r > 0 satisfying the remainder bound (⁎⁎) Oben.

Jedoch, wenn k für festes r zunimmt, der Wert von Mk,r wächst schneller als rk, und der Fehler geht nicht auf Null.

Taylor's theorem in complex analysis Taylor's theorem generalizes to functions f : C → C which are complex differentiable in an open subset U ⊂ C of the complex plane. Jedoch, seine Nützlichkeit wird von anderen allgemeinen Theoremen in der komplexen Analysis in den Schatten gestellt. Nämlich, stronger versions of related results can be deduced for complex differentiable functions f : U → C using Cauchy's integral formula as follows.

Let r > 0 such that the closed disk B(z, r) ∪ S(z, r) ist in U enthalten. Dann Cauchys Integralformel mit positiver Parametrisierung γ(t) = z + reit des Kreises S(z, r) mit t ∈ [0, 2Pi] gibt {Anzeigestil f(z)={frac {1}{2pi ich}}int _{Gamma }{frac {f(w)}{w-z}},dw,Quad f'(z)={frac {1}{2pi ich}}int _{Gamma }{frac {f(w)}{(w-z)^{2}}},dw,Quad-Ldots ,Quad f^{(k)}(z)={frac {k!}{2pi ich}}int _{Gamma }{frac {f(w)}{(w-z)^{k+1}}},dw.} Hier sind alle Integranden auf dem Kreis S stetig(z, r), was eine Differenzierung unter dem Integralzeichen rechtfertigt. Im Speziellen, wenn f auf der offenen Menge U einmal komplex differenzierbar ist, dann ist sie tatsächlich unendlich oft komplex auf U differenzierbar. Man erhält auch die Schätzungen von Cauchy[12] {Anzeigestil |f^{(k)}(z)|leq {frac {k!}{2Pi }}int _{Gamma }{frac {M_{r}}{|w-z|^{k+1}}},dw={frac {k!M_{r}}{r^{k}}},Quad M_{r}= max _{|Toilette|=r}|f(w)|} for any z ∈ U and r > 0 such that B(z, r) ∪ S(c, r) ⊂ U. Diese Schätzungen implizieren, dass die komplexe Taylor-Reihe {Anzeigestil T_{f}(z)= Summe _{k=0}^{unendlich }{frac {f^{(k)}(c)}{k!}}(zc)^{k}} von f konvergiert gleichmäßig auf jeder offenen Scheibe B(c, r) ⊂ U with S(c, r) ⊂ U into some function Tf. Außerdem, Verwenden der Konturintegralformeln für die Ableitungen f(k)(c), {Anzeigestil {Start{ausgerichtet}T_{f}(z)&=sum _{k=0}^{unendlich }{frac {(zc)^{k}}{2pi ich}}int _{Gamma }{frac {f(w)}{(Toilette)^{k+1}}},dw\&={frac {1}{2pi ich}}int _{Gamma }{frac {f(w)}{Toilette}}Summe _{k=0}^{unendlich }links({frac {zc}{Toilette}}Rechts)^{k},dw\&={frac {1}{2pi ich}}int _{Gamma }{frac {f(w)}{Toilette}}links({frac {1}{1-{frac {zc}{Toilette}}}}Rechts),dw\&={frac {1}{2pi ich}}int _{Gamma }{frac {f(w)}{w-z}},dw=f(z),Ende{ausgerichtet}}} so any complex differentiable function f in an open set U ⊂ C is in fact complex analytic. All that is said for real analytic functions here holds also for complex analytic functions with the open interval I replaced by an open subset U ∈ C and a-centered intervals (ein - r, a + r) ersetzt durch c-zentrierte Scheiben B(c, r). Im Speziellen, die Taylorentwicklung gilt in der Form {Anzeigestil f(z)=P_{k}(z)+R_{k}(z),Quad P_{k}(z)= Summe _{j=0}^{k}{frac {f^{(j)}(c)}{j!}}(zc)^{j},} wobei der Restterm Rk komplex analytisch ist. Methoden der komplexen Analyse liefern einige aussagekräftige Ergebnisse in Bezug auf Taylor-Entwicklungen. Zum Beispiel, using Cauchy's integral formula for any positively oriented Jordan curve γ which parametrizes the boundary ∂W ⊂ U of a region W ⊂ U, erhält man Ausdrücke für die Ableitungen f(j)(c) wie oben, und leichtes Modifizieren der Berechnung für Tf(z) = f(z), man kommt auf die exakte Formel {Anzeigestil R_{k}(z)= Summe _{j=k+1}^{unendlich }{frac {(zc)^{j}}{2pi ich}}int _{Gamma }{frac {f(w)}{(Toilette)^{j+1}}},dw={frac {(zc)^{k+1}}{2pi ich}}int _{Gamma }{frac {f(w),dw}{(Toilette)^{k+1}(w-z)}},qquadzin W.} The important feature here is that the quality of the approximation by a Taylor polynomial on the region W ⊂ U is dominated by the values of the function f itself on the boundary ∂W ⊂ U. Ähnlich, Anwenden von Cauchys Schätzungen auf den Reihenausdruck für den Rest, erhält man die einheitlichen Schätzungen {Anzeigestil |R_{k}(z)|Leq-Summe _{j=k+1}^{unendlich }{frac {M_{r}|zc|^{j}}{r^{j}}}={frac {M_{r}}{r^{k+1}}}{frac {|zc|^{k+1}}{1-{frac {|zc|}{r}}}}leq {frac {M_{r}Beta ^{k+1}}{1-Beta }},Quad {frac {|zc|}{r}}Leq Beta <1.} Example Complex plot of f(z) = 1/(1 + z2). Modulus is shown by elevation and argument by coloring: cyan=0, blue = π/3, violet = 2π/3, red = π, yellow=4π/3, green=5π/3. The function {displaystyle {begin{aligned}&f:mathbb {R} to mathbb {R} \&f(x)={frac {1}{1+x^{2}}}end{aligned}}} is real analytic, that is, locally determined by its Taylor series. This function was plotted above to illustrate the fact that some elementary functions cannot be approximated by Taylor polynomials in neighborhoods of the center of expansion which are too large. This kind of behavior is easily understood in the framework of complex analysis. Namely, the function f extends into a meromorphic function {displaystyle {begin{aligned}&f:mathbb {C} cup {infty }to mathbb {C} cup {infty }\&f(z)={frac {1}{1+z^{2}}}end{aligned}}} on the compactified complex plane. It has simple poles at z = i and z = −i, and it is analytic elsewhere. Now its Taylor series centered at z0 converges on any disc B(z0, r) with r < |z − z0|, where the same Taylor series converges at z ∈ C. Therefore, Taylor series of f centered at 0 converges on B(0, 1) and it does not converge for any z ∈ C with |z| > 1 due to the poles at i and −i. Aus dem gleichen Grund ist die Taylor-Reihe von f auf zentriert 1 konvergiert auf B(1, √2) and does not converge for any z ∈ C with |z − 1| > √2.

Generalizations of Taylor's theorem Higher-order differentiability A function f: Rn → R is differentiable at a ∈ Rn if and only if there exists a linear functional L : Rn → R and a function h : Rn → R such that {Anzeigestil f({Fettsymbol {x}})= f({Fettsymbol {a}})+L({Fettsymbol {x}}-{Fettsymbol {a}})+h({Fettsymbol {x}})lVert {Fettsymbol {x}}-{Fettsymbol {a}}rVert ,qquad lim _{{Fettsymbol {x}}zu {Fettsymbol {a}}}h({Fettsymbol {x}})=0.} Wenn dies der Fall ist, then L = df(a) ist der (eindeutig definiert) Differential von f im Punkt a. Außerdem, dann existieren die partiellen Ableitungen von f bei a und das Differential von f bei a ist gegeben durch {Anzeigestil df({Fettsymbol {a}})({Fettsymbol {v}})={frac {teilweise f}{teilweise x_{1}}}({Fettsymbol {a}})v_{1}+cdots +{frac {teilweise f}{teilweise x_{n}}}({Fettsymbol {a}})v_{n}.} Führen Sie die Multi-Index-Notation ein {Anzeigestil |Alpha |=Alpha _{1}+cdots +alpha _{n},Quad-Alpha !=Alpha _{1}!cdots Alpha _{n}!,Quad {Fettsymbol {x}}^{Alpha }=x_{1}^{Alpha _{1}}cdots x_{n}^{Alpha _{n}}} for α ∈ Nn and x ∈ Rn. If all the k-th order partial derivatives of f : Rn → R sind stetig bei a ∈ Rn, dann nach dem Satz von Clairaut, man kann die Reihenfolge der gemischten Ableitungen bei a ändern, also die Notation {Anzeigestil D^{Alpha }f={frac {teilweise ^{|Alpha |}f}{teilweise x_{1}^{Alpha _{1}}cdots teilweise x_{n}^{Alpha _{n}}}},Quad |Alpha |leq k} für die partiellen Ableitungen höherer Ordnung ist in dieser Situation gerechtfertigt. Dasselbe gilt, wenn alle (k- 1)-partielle Ableitungen ter Ordnung von f existieren in irgendeiner Umgebung von a und sind bei a differenzierbar.[13] Then we say that f is k times differentiable at the point a.

Taylor's theorem for multivariate functions Using notations of the preceding section, man hat den folgenden Satz.

Multivariate Version des Satzes von Taylor[14] — Let f : Rn → R eine k-mal stetig differenzierbare Funktion im Punkt a ∈ Rn. Then there exist functions hα : Rn → R, wo {Anzeigestil |Alpha |=k,} so dass {Anzeigestil {Start{ausgerichtet}&f({Fettsymbol {x}})= Summe _{|Alpha |leq k}{frac {D^{Alpha }f({Fettsymbol {a}})}{Alpha !}}({Fettsymbol {x}}-{Fettsymbol {a}})^{Alpha }+Summe _{|Alpha |=k+1}h_{Alpha }({Fettsymbol {x}})({Fettsymbol {x}}-{Fettsymbol {a}})^{Alpha },\&{mbox{und}}Quad-Lim _{{Fettsymbol {x}}zu {Fettsymbol {a}}}h_{Alpha }({Fettsymbol {x}})=0.ende{ausgerichtet}}} If the function f : Rn → R is k + 1 times continuously differentiable in a closed ball {Anzeigestil B={mathbf {j} in mathbb {R} ^{n}:links|mathbf {a} -mathbf {j} Rechts|leq r}} für einige {displaystyle r>0} , dann kann man eine exakte Formel für den Rest in Bezug auf ableiten (k+1)-partielle Ableitungen ter Ordnung von f in dieser Umgebung.[15] Nämlich, {Anzeigestil {Start{ausgerichtet}&f({Fettsymbol {x}})= Summe _{|Alpha |leq k}{frac {D^{Alpha }f({Fettsymbol {a}})}{Alpha !}}({Fettsymbol {x}}-{Fettsymbol {a}})^{Alpha }+Summe _{|Beta |=k+1}R_{Beta }({Fettsymbol {x}})({Fettsymbol {x}}-{Fettsymbol {a}})^{Beta },\&R_{Beta }({Fettsymbol {x}})={frac {|Beta |}{Beta !}}int _{0}^{1}(1-t)^{|Beta |-1}D^{Beta }f{groß (}{Fettsymbol {a}}+t({Fettsymbol {x}}-{Fettsymbol {a}}){groß )},dt.Ende{ausgerichtet}}} In diesem Fall, aufgrund der Kontinuität von (k+1)-partielle Ableitungen ter Ordnung in der kompakten Menge B, man erhält sofort die einheitlichen Schätzungen {Anzeigestil links|R_{Beta }({Fettsymbol {x}})Rechts|leq {frac {1}{Beta !}}maximal _{|Alpha |=|Beta |}maximal _{{Fettsymbol {j}}in b}|D^{Alpha }f({Fettsymbol {j}})|,Quad {Fettsymbol {x}}in b.} Example in two dimensions For example, das Taylor-Polynom dritter Ordnung einer glatten Funktion f: R2 → R is, bezeichnet x − a = v, {Anzeigestil {Start{ausgerichtet}P_{3}({Fettsymbol {x}})= f({Fettsymbol {a}})+{}&{frac {teilweise f}{teilweise x_{1}}}({Fettsymbol {a}})v_{1}+{frac {teilweise f}{teilweise x_{2}}}({Fettsymbol {a}})v_{2}+{frac {teilweise ^{2}f}{teilweise x_{1}^{2}}}({Fettsymbol {a}}){frac {v_{1}^{2}}{2!}}+{frac {teilweise ^{2}f}{teilweise x_{1}teilweise x_{2}}}({Fettsymbol {a}})v_{1}v_{2}+{frac {teilweise ^{2}f}{teilweise x_{2}^{2}}}({Fettsymbol {a}}){frac {v_{2}^{2}}{2!}}\&+{frac {teilweise ^{3}f}{teilweise x_{1}^{3}}}({Fettsymbol {a}}){frac {v_{1}^{3}}{3!}}+{frac {teilweise ^{3}f}{teilweise x_{1}^{2}teilweise x_{2}}}({Fettsymbol {a}}){frac {v_{1}^{2}v_{2}}{2!}}+{frac {teilweise ^{3}f}{teilweise x_{1}teilweise x_{2}^{2}}}({Fettsymbol {a}}){frac {v_{1}v_{2}^{2}}{2!}}+{frac {teilweise ^{3}f}{teilweise x_{2}^{3}}}({Fettsymbol {a}}){frac {v_{2}^{3}}{3!}}Ende{ausgerichtet}}} Proofs Proof for Taylor's theorem in one real variable Let[16] {Anzeigestil h_{k}(x)={Start{Fälle}{frac {f(x)-P(x)}{(x-a)^{k}}}&xnot =a\0&x=aend{Fälle}}} wo, wie in der Aussage des Satzes von Taylor, {Anzeigestil P(x)= f(a)+f'(a)(x-a)+{frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+cdots +{frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}.} Es reicht aus, das zu zeigen {Anzeigestil lim _{x bis a}h_{k}(x)=0.} Der Beweis basiert hier auf wiederholter Anwendung der Regel von L'Hôpital. Beachten Sie, dass, für jedes j = 0,1,…,k-1, {Anzeigestil f^{(j)}(a)=P^{(j)}(a)} . Also jede der ersten k−1 Ableitungen des Zählers in {Anzeigestil h_{k}(x)} verschwindet bei {Anzeigestil x=a} , und das gleiche gilt für den Nenner. Ebenfalls, da die Bedingung, dass die Funktion f an einem Punkt k-mal differenzierbar ist, eine Differenzierbarkeit bis zur Ordnung k−1 in einer Umgebung dieses Punktes erfordert (Das ist wahr, weil die Differenzierbarkeit erfordert, dass eine Funktion in einer ganzen Umgebung eines Punktes definiert wird), the numerator and its k − 2 derivatives are differentiable in a neighborhood of a. Deutlich, der Nenner erfüllt auch diese Bedingung, und zusätzlich, verschwindet nicht, es sei denn x=a, daher sind alle für die Regel von L'Hopital notwendigen Bedingungen erfüllt, und sein Einsatz gerechtfertigt ist. So {Anzeigestil {Start{ausgerichtet}lim _{x bis a}{frac {f(x)-P(x)}{(x-a)^{k}}}&=lim _{x bis a}{frac {{frac {d}{dx}}(f(x)-P(x))}{{frac {d}{dx}}(x-a)^{k}}}=cdots =lim _{x bis a}{frac {{frac {d^{k-1}}{dx^{k-1}}}(f(x)-P(x))}{{frac {d^{k-1}}{dx^{k-1}}}(x-a)^{k}}}\&={frac {1}{k!}}lim _{x bis a}{frac {f^{(k-1)}(x)-P^{(k-1)}(x)}{x-a}}\&={frac {1}{k!}}(f^{(k)}(a)-f^{(k)}(a))=0ende{ausgerichtet}}} where the last equality follows by the definition of the derivative at x = a.

Alternate proof for Taylor's theorem in one real variable Let {Anzeigestil f(x)} irgendeinen realen Wert haben, kontinuierlich, Funktion, die durch das Taylor-Polynom angenähert werden soll.

Schritt 1: Seien F und G Funktionen. Setzen Sie F und G auf {Anzeigestil {Start{ausgerichtet}F(x)= f(x)-Summe _{k=0}^{n-1}{frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}Ende{ausgerichtet}}} {Anzeigestil {Start{ausgerichtet}G(x)=(x-a)^{n}Ende{ausgerichtet}}} Schritt 2: Eigenschaften von F und G: {Anzeigestil {Start{ausgerichtet}F(a)= f(a)-f(a)-f'(a)(a-a)-...-{frac {f^{(n-1)}(a)(a-a)^{n-1}}{(n-1)!}}Ende{ausgerichtet}}} Ähnlich, {Anzeigestil {Start{ausgerichtet}F'(a)=f'(a)-f'(a)-{frac {2f''(a)(a-a)}{1!}}-...-{frac {f^{(n-2)}(a)(n-1)(a-a)^{n-2}}{(n-1)!}}=0ende{ausgerichtet}}} {Anzeigestil {Start{ausgerichtet}G'(a)=n(a-a)^{n-1}=0ende{ausgerichtet}}} . . .

{Anzeigestil {Start{ausgerichtet}G^{(n-1)}(a)=F^{(n-1)}(a)=0ende{ausgerichtet}}} Schritt 3: Use Cauchy Mean Value Theorem Let {Anzeigestil f_{1}} und {Anzeigestil g_{1}} stetige Funktionen sein {Anzeigestil [a,b]} . Seit {Anzeigestil aDerivation for the mean value forms of the remainder Let G be any real-valued function, stetig auf dem geschlossenen Intervall zwischen a und x und differenzierbar mit einer nicht verschwindenden Ableitung auf dem offenen Intervall zwischen a und x, und definieren {Anzeigestil F(t)= f(t)+f'(t)(x-t)+{frac {f''(t)}{2!}}(x-t)^{2}+cdots +{frac {f^{(k)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}.} Zum {Dose im Display-Stil [a,x]} . Dann, nach dem Mittelwertsatz von Cauchy, {Anzeigestil {frac {F'(xi )}{G'(xi )}}={frac {F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)}}} (⁎⁎⁎) für ein ξ auf dem offenen Intervall zwischen a und x. Beachten Sie, dass hier der Zähler F(x) −F(a) = Rk(x) ist genau der Rest des Taylor-Polynoms für f(x). Berechnen {Anzeigestil {Start{ausgerichtet}F'(t)={}&f'(t)+{groß (}f''(t)(x-t)-f'(t){groß )}+links({frac {f^{(3)}(t)}{2!}}(x-t)^{2}-{frac {f^{(2)}(t)}{1!}}(x-t)Rechts)+cdots \&cdots +left({frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}-{frac {f^{(k)}(t)}{(k-1)!}}(x-t)^{k-1}Rechts)={frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k},Ende{ausgerichtet}}} stecken Sie es ein (⁎⁎⁎) und ordnen Sie die Terme neu an, um das zu finden {Anzeigestil R_{k}(x)={frac {f^{(k+1)}(xi )}{k!}}(x-xi )^{k}{frac {G(x)-G(a)}{G'(xi )}}.} Dies ist die Form des nach der eigentlichen Aussage des Taylorschen Theorems erwähnten Restterms mit Rest in Mittelwertform. Die Lagrange-Form des Restes findet man durch Auswählen {Anzeigestil G(t)=(x-t)^{k+1}} und die Cauchy-Form durch Auswahl {Anzeigestil G(t)=t-a} . Anmerkung. Mit dieser Methode kann man auch die integrale Form des Restes durch Auswahl wiedererlangen {Anzeigestil G(t)=int _{a}^{t}{frac {f^{(k+1)}(s)}{k!}}(x-s)^{k},DS,} aber die Anforderungen an f, die für die Verwendung des Mittelwertsatzes benötigt werden, sind zu stark, wenn man die Behauptung beweisen will, falls f(k) ist nur absolut stetig. Jedoch, wenn man anstelle des Lebesgue-Integrals das Riemann-Integral verwendet, die Annahmen können nicht abgeschwächt werden. Derivation for the integral form of the remainder Due to absolute continuity of f(k) auf dem geschlossenen Intervall zwischen a und x seine Ableitung f(k+1) existiert als L1-Funktion, und wir können den Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung und partielle Integration verwenden. Derselbe Beweis gilt für das Riemann-Integral unter der Annahme, dass f(k) ist auf dem geschlossenen Intervall stetig und auf dem offenen Intervall zwischen a und x differenzierbar, und dies führt zum gleichen Ergebnis wie die Anwendung des Mittelwertsatzes. Das sagt der Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung {Anzeigestil f(x)= f(a)+int _{a}^{x},f'(t),dt.} Jetzt können wir partiell integrieren und den Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung erneut anwenden, um das zu sehen {Anzeigestil {Start{ausgerichtet}f(x)&=f(a)+{Groß (}xf'(x)-von'(a){Groß )}-int _{a}^{x}tf''(t),dt\&=f(a)+xlinks(f'(a)+int _{a}^{x}f''(t),Richtig)-von'(a)-int _{a}^{x}tf''(t),dt\&=f(a)+(x-a)f'(a)+int _{a}^{x},(x-t)f''(t),dt,Ende{ausgerichtet}}} das ist genau der Satz von Taylor mit Rest in der Integralform im Fall k=1. Die allgemeine Aussage wird mit Induktion bewiesen. Nehme an, dass {Anzeigestil f(x)= f(a)+{frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+cdots +{frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+int _{a}^{x}{frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k},dt.} (⁎⁎⁎⁎) Durch partielle Integration des Restterms gelangen wir zu {Anzeigestil {Start{ausgerichtet}int _{a}^{x}{frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k},dt=&-left[{frac {f^{(k+1)}(t)}{(k+1)k!}}(x-t)^{k+1}Rechts]_{a}^{x}+int _{a}^{x}{frac {f^{(k+2)}(t)}{(k+1)k!}}(x-t)^{k+1},dt\=& {frac {f^{(k+1)}(a)}{(k+1)!}}(x-a)^{k+1}+int _{a}^{x}{frac {f^{(k+2)}(t)}{(k+1)!}}(x-t)^{k+1},dt.Ende{ausgerichtet}}} Setzen Sie dies in die Formel in ein (⁎⁎⁎⁎) zeigt, dass, wenn es für den Wert k gilt, it must also hold for the value k + 1. Deswegen, since it holds for k = 1, it must hold for every positive integer k. Derivation for the remainder of multivariate Taylor polynomials We prove the special case, where f : Rn → R hat stetige partielle Ableitungen bis zur Ordnung k+1 in einer geschlossenen Kugel B mit Mittelpunkt a. Die Strategie des Beweises besteht darin, den Ein-Variablen-Fall des Satzes von Taylor auf die Beschränkung von f auf das Liniensegment anzuwenden, das an x ​​und a angrenzt.[17] Parametrieren Sie die Strecke zwischen a und x mit u(t) = ein + t(x - ein). Wir wenden die Ein-Variablen-Version des Satzes von Taylor auf die Funktion g an(t) = f(u(t)): {Anzeigestil f(mathbf {x} )=g(1)=g(0)+Summe _{j=1}^{k}{frac {1}{j!}}g^{(j)}(0) + int _{0}^{1}{frac {(1-t)^{k}}{k!}}g^{(k+1)}(t),dt.} Die Anwendung der Kettenregel für mehrere Variablen ergibt {Anzeigestil {Start{ausgerichtet}g^{(j)}(t)&={frac {d^{j}}{dt^{j}}}f(u(t))={frac {d^{j}}{dt^{j}}}f(mathbf {a} +t(mathbf {x} -mathbf {a} ))\&=sum _{|Alpha |=j}links({Start{Matrix}jalpha Ende{Matrix}}Rechts)(D^{Alpha }f)(mathbf {a} +t(mathbf {x} -mathbf {a} ))(mathbf {x} -mathbf {a} )^{Alpha }Ende{ausgerichtet}}} wo {Anzeigestil {tbinom {j}{Alpha }}} ist der Multinomialkoeffizient. Seit {Anzeigestil {tfrac {1}{j!}}{tbinom {j}{Alpha }}={tfrac {1}{Alpha !}}} , wir bekommen: {Anzeigestil f(mathbf {x} )= f(mathbf {a} )+Summe _{1leq |Alpha |leq k}{frac {1}{Alpha !}}(D^{Alpha }f)(mathbf {a} )(mathbf {x} -mathbf {a} )^{Alpha }+Summe _{|Alpha |=k+1}{frac {k+1}{Alpha !}}(mathbf {x} -mathbf {a} )^{Alpha }int _{0}^{1}(1-t)^{k}(D^{Alpha }f)(mathbf {a} +t(mathbf {x} -mathbf {a} )),dt.} See also Hadamard's lemma Laurent series – Power series with negative powers Padé approximant – 'Best' approximation of a function by a rational function of given order Newton series Footnotes ^ (2013). "Lineare und quadratische Näherung" Dezember abgerufen 6, 2018 ^ Taylor, Bach (1715). Direkte und inverse Methode der Inkremente [Direkte und umgekehrte Inkrementierungsmethoden] (in Latein). London. p. 21–23 (Stütze. VII, Thm. 3, Kor. 2). Übersetzt ins Englische in Struik, D. J. (1969). Ein Quellenbuch in Mathematik 1200–1800. Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press. pp. 329–332. ^ Kline 1972, pp. 442, 464. ^ Genocchi, Engel; Peano, Giuseppe (1884), Differentialrechnung und Prinzipien der Integralrechnung, (N. 67, pp. XVII–XIX): Fratelli Bocca Hrsg. ^ Spivak, Michael (1994), Infinitesimalrechnung (3Dr. Ed.), Houston, Senden: Veröffentliche oder untergehe, p. 383, ISBN 978-0-914098-89-8 ^ "Taylor-Formel", Enzyklopädie der Mathematik, EMS-Presse, 2001 [1994] ^ Die Hypothese von f(k) auf dem geschlossenen Intervall zwischen a und x stetig zu sein, ist nicht redundant. Although f being k + 1 times differentiable on the open interval between a and x does imply that f(k) auf dem offenen Intervall zwischen a und x stetig ist, es bedeutet nicht, dass f(k) auf dem abgeschlossenen Intervall zwischen a und x stetig ist, d.h. es bedeutet nicht, dass f(k) an den Endpunkten dieses Intervalls stetig ist. In Betracht ziehen, zum Beispiel, die Funktion f : [0,1] → R gleich definiert {Displaystyle-Sünde(1/x)} an {Anzeigestil (0,1]} und mit {Anzeigestil f(0)=0} . Dies ist nicht durchgehend an 0, ist aber dauernd an {Anzeigestil (0,1)} . Darüber hinaus, man kann zeigen, dass diese Funktion eine Stammfunktion hat. Daher ist diese Stammfunktion weiter differenzierbar {Anzeigestil (0,1)} , seine Ableitung (die Funktion f) ist im offenen Intervall stetig {Anzeigestil (0,1)} , aber seine Ableitung f ist auf dem abgeschlossenen Intervall nicht stetig {Anzeigestil [0,1]} . Der Satz würde also in diesem Fall nicht gelten. ^ Kline 1998, §20.3; Apostel 1967, §7.7. ^ Apostel 1967, §7.7. ^ Apostel 1967, §7.5. ^ Apostel 1967, §7.6 ^ Rudin 1987, §10.26 ^ Dies folgt aus der wiederholten Anwendung des Satzes, dass, wenn die partiellen Ableitungen einer Funktion f in einer Umgebung von a existieren und bei a stetig sind, dann ist die Funktion in a differenzierbar. Sehen, zum Beispiel, Apostel 1974, Satz 12.11. ^ Königsberger Analysis 2, p. 64 ff. ^https://sites.math.washington.edu/~folland/Math425/taylor2.pdf[bloße URL-PDF] ^ Stromberg 1981 ^ Hörmander 1976, pp. 12–13 References Apostol, Tom (1967), Infinitesimalrechnung, Wiley, ISBN 0-471-00005-1. Apostel, Tom (1974), Mathematische Analyse, Addison-Wesley. Bartl, Robert g.; Scherbert, Donald R.. (2011), Einführung in die reelle Analysis (4Das D.), Wiley, ISBN 978-0-471-43331-6. Hörmander, L. (1976), Lineare partielle Differentialoperatoren, Volumen 1, Springer, ISBN 978-3-540-00662-6. Kline, Morris (1972), Mathematisches Denken von der Antike bis zur Neuzeit, Volumen 2, Oxford University Press. Kline, Morris (1998), Infinitesimalrechnung: Ein intuitiver und physischer Ansatz, Dover, ISBN 0-486-40453-6. Pedrick, George (1994), Ein erster Kurs in Analysis, Springer, ISBN 0-387-94108-8. Stromberg, Karl (1981), Einführung in die klassische reelle Analysis, Wadsworth, ISBN 978-0-534-98012-2. 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