Teorema de Taylor-Proudman

Teorema de Taylor-Proudman Em mecânica dos fluidos, o teorema de Taylor-Proudman (depois de Geoffrey Ingram Taylor e Joseph Proudman) afirma que quando um corpo sólido[esclarecimento necessário] é movido lentamente dentro de um fluido que é constantemente girado com uma alta velocidade angular {estilo de exibição Omega } , a velocidade do fluido será uniforme ao longo de qualquer linha paralela ao eixo de rotação. {estilo de exibição Omega } deve ser grande em comparação com o movimento do corpo sólido para tornar a força de Coriolis grande em comparação com os termos de aceleração.

Conteúdo 1 Derivação 2 coluna de Taylor 3 História 4 References Derivation The Navier–Stokes equations for steady flow, com viscosidade zero e uma força de corpo correspondente à força de Coriolis, são {estilo de exibição rho ({mathbf {você} }cdot nabla ){mathbf {você} }={mathbf {F} }-nabla p,} Onde {estilo de exibição {mathbf {você} }} é a velocidade do fluido, {estilo de exibição rho } é a densidade do fluido, e {estilo de exibição p} a pressão. Se assumirmos que {estilo de exibição F=nabla Phi =-2rho mathbf {Ómega } vezes {mathbf {você} }} é um potencial escalar e o termo advectivo à esquerda pode ser desprezado (razoável se o número de Rossby for muito menor que a unidade) e que o escoamento é incompressível (densidade é constante), as equações se tornam: {displaystyle 2rho mathbf {Ómega } vezes {mathbf {você} }=-nabla p,} Onde {estilo de exibição Omega } é o vetor velocidade angular. Se o curl desta equação for tomado, o resultado é o teorema de Taylor-Proudman: {estilo de exibição ({mathbf {Ómega } }cdot nabla ){mathbf {você} }={mathbf {0} }.} Para derivar isso, é preciso as identidades vetoriais {tempos nabla do estilo de exibição (Às vezes B)=A(nabla cdot B)-(Acdot nabla )B+(Bcdot nabla )A-B(nabla cdot A)} e {tempos nabla do estilo de exibição (nabla p)=0 } e {tempos nabla do estilo de exibição (nabla phi )=0 } (porque o curl do gradiente é sempre igual a zero). Observe que {displaystyle nabla cdot {mathbf {Ómega } }=0} também é necessário (a velocidade angular é livre de divergência).

A forma vetorial do teorema de Taylor-Proudman talvez seja melhor compreendida expandindo o produto escalar: {displaystyle Omega _{x}{fratura {parcial {mathbf {você} }}{x parcial}}+Ômega _{y}{fratura {parcial {mathbf {você} }}{y parcial}}+Ômega _{z}{fratura {parcial {mathbf {você} }}{z parcial}}=0.} Em coordenadas para as quais {displaystyle Omega _{x}=Ômega_{y}=0} , as equações se reduzem a {estilo de exibição {fratura {parcial {mathbf {você} }}{z parcial}}=0,} E se {displaystyle Omega _{z}neq 0} . Desta forma, todas as três componentes do vetor velocidade são uniformes ao longo de qualquer linha paralela ao eixo z.

Coluna Taylor Ver artigo principal: Taylor column The Taylor column is an imaginary cylinder projected above and below a real cylinder that has been placed parallel to the rotation axis (em qualquer lugar do fluxo, não necessariamente no centro). O fluxo se curvará em torno dos cilindros imaginários exatamente como o real devido ao teorema de Taylor-Proudman, que afirma que o escoamento em rotação, homogêneo, fluidos invíscidos são bidimensionais no plano ortogonal ao eixo de rotação e, portanto, não há variação no fluxo ao longo do {estilo de exibição {vec {Ómega }}} eixo, muitas vezes considerado como o {estilo de exibição {chapéu {z}}} eixo.

A coluna de Taylor é uma simplificada, efeito observado experimentalmente do que acontece nas atmosferas e oceanos da Terra.

History The result known as the Taylor-Proudman theorem was first derived by Sydney Samuel Hough (1870-1923), um matemático da Universidade de Cambridge, dentro 1897.[1]:506[2] Proudman publicou outra derivação em 1916 e Taylor em 1917, então o efeito foi demonstrado experimentalmente por Taylor em 1923.[3]:648[4]:245[5][6] Referências ^ Gill, Adrian E. (2016). Atmosfera - Dinâmica Oceânica. Elsevier. ISBN 9781483281582. ^ Hough, SS. (Janeiro 1, 1897). "Sobre a aplicação da análise harmônica à teoria dinâmica das marés. Parte I. Em Laplace "oscilações da primeira espécie," e sobre a dinâmica das correntes oceânicas". Phil. Trans. R. Soc. Londres. UMA. 189: 201-257. Bibcode:1897RSPTA.189..201H. doi:10.1098/rsta. 1897.0009. ^ Wu, J.-Z.; Mãe, H.-Y.; Zhou, M.-D. (2006). Vorticidade e dinâmica de vórtices. Berlim: Springer. ISBN 9783540290285. ^ Mais longo, Malcolm (2016). O legado duradouro de Maxwell: Uma história científica do Laboratório Cavendish. Cambridge University Press. ISBN 9781316033418. ^ Proudman, J. (Julho 1, 1916). "Sobre o movimento de sólidos em um líquido que possui vorticidade". Proc. R. Soc. Londres. UMA. 92: 408-424. Bibcode:1916RSPSA..92..408P. doi:10.1098/rspa.1916.0026. ^ Taylor, G.I. (Marchar 1, 1917). "Movimento de sólidos em fluidos quando o fluxo não é irrotacional". Proc. R. Soc. Londres. UMA. 93: 92-113. Bibcode:1917RSPSA..93...99T. doi:10.1098/rspa.1917.0007. Categorias: Dinâmica dos fluidosTeoremas da física