Teorema di Taylor-Proudman

Teorema di Taylor-Proudman In meccanica dei fluidi, il teorema di Taylor-Proudman (dopo Geoffrey Ingram Taylor e Joseph Proudman) afferma che quando un corpo solido[chiarimenti necessari] si muove lentamente all'interno di un fluido che viene costantemente ruotato con un'elevata velocità angolare {stile di visualizzazione Omega } , la velocità del fluido sarà uniforme lungo qualsiasi linea parallela all'asse di rotazione. {stile di visualizzazione Omega } deve essere grande rispetto al movimento del corpo solido per rendere la forza di Coriolis grande rispetto ai termini di accelerazione.

Contenuti 1 Derivazione 2 Colonna Taylor 3 Storia 4 References Derivation The Navier–Stokes equations for steady flow, con viscosità zero e una forza corporea corrispondente alla forza di Coriolis, sono {stile di visualizzazione rho ({mathbf {tu} }cdot nabla ){mathbf {tu} }={mathbf {F} }-nabla p,} dove {stile di visualizzazione {mathbf {tu} }} è la velocità del fluido, {stile di visualizzazione rho } è la densità del fluido, e {stile di visualizzazione p} la pressione. Se lo assumiamo {displaystyle F=nabla Phi =-2rho mathbf {Omega } volte {mathbf {tu} }} è un potenziale scalare e il termine advettivo a sinistra può essere trascurato (ragionevole se il numero di Rossby è molto inferiore all'unità) e che il flusso è incomprimibile (la densità è costante), le equazioni diventano: {displaystyle 2rho mathbf {Omega } volte {mathbf {tu} }=-nabla p,} dove {stile di visualizzazione Omega } è il vettore della velocità angolare. Se viene preso il ricciolo di questa equazione, il risultato è il teorema di Taylor-Proudman: {stile di visualizzazione ({mathbf {Omega } }cdot nabla ){mathbf {tu} }={mathbf {0} }.} Per ricavare questo, uno ha bisogno delle identità vettoriali {displaystyle nabla volte (A volte B)= A(nabla cdot B)-(Acdot Nabla )B+(Bcdot nabla )AB(nabla cdot A)} e {displaystyle nabla volte (nabla p)=0 } e {displaystyle nabla volte (nabla phi )=0 } (perché l'arricciatura del gradiente è sempre uguale a zero). Notare che {displaystyle nabla cdot {mathbf {Omega } }=0} è anche necessario (la velocità angolare è priva di divergenza).

La forma vettoriale del teorema di Taylor-Proudman è forse meglio compresa espandendo il prodotto scalare: {stile di visualizzazione Omega _{X}{frac {parziale {mathbf {tu} }}{parziale x}}+Omega _{y}{frac {parziale {mathbf {tu} }}{parziale y}}+Omega _{z}{frac {parziale {mathbf {tu} }}{parziale z}}=0.} In coordinate per cui {stile di visualizzazione Omega _{X}=Omega _{y}=0} , le equazioni si riducono a {stile di visualizzazione {frac {parziale {mathbf {tu} }}{parziale z}}=0,} Se {stile di visualizzazione Omega _{z}neq 0} . così, tutte e tre le componenti del vettore velocità sono uniformi lungo qualsiasi linea parallela all'asse z.

Colonna Taylor Articolo principale: Taylor column The Taylor column is an imaginary cylinder projected above and below a real cylinder that has been placed parallel to the rotation axis (ovunque nel flusso, non necessariamente al centro). Il flusso curverà attorno ai cilindri immaginari proprio come il reale a causa del teorema di Taylor-Proudman, che afferma che il flusso in una rotazione, omogeneo, i fluidi viscosi sono bidimensionali nel piano ortogonale all'asse di rotazione e quindi non vi è alcuna variazione nel flusso lungo il {stile di visualizzazione {vec {Omega }}} asse, spesso considerato il {stile di visualizzazione {cappello {z}}} asse.

La colonna di Taylor è una semplificata, effetto osservato sperimentalmente di ciò che traspare nelle atmosfere e negli oceani della Terra.

History The result known as the Taylor-Proudman theorem was first derived by Sydney Samuel Hough (1870-1923), un matematico all'Università di Cambridge, in 1897.[1]:506[2] Proudman ha pubblicato un'altra derivazione in 1916 e Taylor dentro 1917, quindi l'effetto è stato dimostrato sperimentalmente da Taylor in 1923.[3]:648[4]:245[5][6] Riferimenti ^ Gill, Adrian E. (2016). Atmosfera: Dinamiche oceaniche. Altro. ISBN 9781483281582. ^ Uh, SS. (Gennaio 1, 1897). "Sull'applicazione dell'analisi armonica alla teoria dinamica delle maree. Parte I. Da Laplace "oscillazioni della prima specie," e sulla dinamica delle correnti oceaniche". Fil. Trans. R. soc. Lond. UN. 189: 201–257. Bibcode:1897RSPTA.189..201H. doi:10.1098/prima 1897.0009. ^ Wu, J.-Z.; ma, H.-Y.; Zhou, M.-D. (2006). Vorticità e dinamica dei vortici. Berlino: Springer. ISBN 9783540290285. ^ Più a lungo, Malcom (2016). L'eredità duratura di Maxwell: Una storia scientifica del laboratorio Cavendish. Cambridge University Press. ISBN 9781316033418. ^ Uomo orgoglioso, J. (Luglio 1, 1916). "Sul moto dei solidi in un liquido dotato di vorticità". Proc. R. soc. Lond. UN. 92: 408–424. Bibcode:1916RSPSA..92..408P. doi:10.1098/rspa.1916.0026. ^ Taylor, GI. (Marzo 1, 1917). "Moto dei solidi nei fluidi quando il flusso non è irrotazionale". Proc. R. soc. Lond. UN. 93: 92–113. Bibcode:1917RSPSA..93...99T. doi:10.1098/rspa.1917.0007. Categorie: FluidodinamicaTeoremi di fisica