Taylor-Proudman-Theorem

Taylor-Proudman-Theorem In der Strömungsmechanik, das Taylor-Proudman-Theorem (nach Geoffrey Ingram Taylor und Joseph Proudman) besagt, dass, wenn ein fester Körper[Klärung nötig] wird langsam in einer Flüssigkeit bewegt, die stetig mit hoher Winkelgeschwindigkeit gedreht wird {Anzeigestil Omega } , Die Flüssigkeitsgeschwindigkeit ist entlang jeder Linie parallel zur Rotationsachse gleichmäßig. {Anzeigestil Omega } muss groß sein im Vergleich zur Bewegung des Festkörpers, um die Corioliskraft groß im Vergleich zu den Beschleunigungstermen zu machen.

Inhalt 1 Ableitung 2 Taylor-Säule 3 Geschichte 4 References Derivation The Navier–Stokes equations for steady flow, mit Nullviskosität und einer der Coriolis-Kraft entsprechenden Körperkraft, sind {Anzeigestil rho ({mathbf {u} }cdot nabla ){mathbf {u} }={mathbf {F} }-nabla p,} wo {Anzeigestil {mathbf {u} }} ist die Flüssigkeitsgeschwindigkeit, {Anzeigestil rho } ist die Flüssigkeitsdichte, und {Anzeigestil p} der Druck. Wenn wir davon ausgehen {Anzeigestil F=nabla Phi =-2rho mathbf {Omega } mal {mathbf {u} }} ein skalares Potential ist und der advektive Term auf der linken Seite vernachlässigt werden kann (sinnvoll, wenn die Rossby-Zahl viel kleiner als Eins ist) und dass die Strömung inkompressibel ist (Dichte ist konstant), die Gleichungen werden: {Anzeigestil 2rho mathbf {Omega } mal {mathbf {u} }=-nabla p,} wo {Anzeigestil Omega } ist der Winkelgeschwindigkeitsvektor. Wenn die Locke dieser Gleichung genommen wird, das Ergebnis ist das Taylor-Proudman-Theorem: {Anzeigestil ({mathbf {Omega } }cdot nabla ){mathbf {u} }={mathbf {0} }.} Um dies abzuleiten, man braucht die Vektoridentitäten {displaystyle nabla mal (Zeit B)=A(Nabla Cdot B)-(Akdot nabla )B+(BCdot nabla )AB(Nabla Cdot A)} und {displaystyle nabla mal (nabla p)=0 } und {displaystyle nabla mal (nabla phi )=0 } (weil die Kräuselung des Gradienten immer gleich Null ist). Beachten Sie, dass {displaystyle nabla cdot {mathbf {Omega } }=0} wird auch benötigt (Winkelgeschwindigkeit ist divergenzfrei).

Die Vektorform des Taylor-Proudman-Theorems wird vielleicht besser verstanden, indem man das Skalarprodukt erweitert: {Anzeigestil Omega _{x}{frac {teilweise {mathbf {u} }}{teilweise x}}+Omega _{j}{frac {teilweise {mathbf {u} }}{teilweise y}}+Omega _{z}{frac {teilweise {mathbf {u} }}{teilweise z}}=0.} In Koordinaten für die {Anzeigestil Omega _{x}=Omega_{j}=0} , die Gleichungen reduzieren sich auf {Anzeigestil {frac {teilweise {mathbf {u} }}{teilweise z}}=0,} wenn {Anzeigestil Omega _{z}neq 0} . Daher, Alle drei Komponenten des Geschwindigkeitsvektors sind entlang jeder Linie parallel zur z-Achse gleich.

Taylor-Säule Hauptartikel: Taylor column The Taylor column is an imaginary cylinder projected above and below a real cylinder that has been placed parallel to the rotation axis (irgendwo im Fluss, nicht unbedingt in der Mitte). Die Strömung krümmt sich aufgrund des Taylor-Proudman-Theorems genau wie die reale um die imaginären Zylinder, was besagt, dass die Strömung in einem rotierenden, homogen, nichtviskose Flüssigkeiten sind in der Ebene orthogonal zur Rotationsachse zweidimensional, und daher gibt es keine Variation in der Strömung entlang der {Anzeigestil {vec {Omega }}} Achse, oft für die gehalten {Anzeigestil {Hut {z}}} Achse.

Die Taylor-Säule ist vereinfacht, experimentell beobachtete Wirkung dessen, was in den Atmosphären und Ozeanen der Erde vor sich geht.

History The result known as the Taylor-Proudman theorem was first derived by Sydney Samuel Hough (1870-1923), ein Mathematiker an der Cambridge University, in 1897.[1]:506[2] Proudman veröffentlichte eine andere Herleitung in 1916 und Taylor rein 1917, dann wurde der Effekt experimentell von Taylor demonstriert in 1923.[3]:648[4]:245[5][6] Referenzen ^ Gill, Adrian E. (2016). Atmosphäre – Meeresdynamik. Elsevier. ISBN 9781483281582. ^ Huch, SS. (Januar 1, 1897). "Zur Anwendung der harmonischen Analysis auf die dynamische Theorie der Gezeiten. Teil I. Bei Laplace "Schwingungen der ersten Art," und über die Dynamik von Meeresströmungen". Phil. Trans. R. Soc. Lang. EIN. 189: 201–257. Bibcode:1897RSPTA.189..201H. doi:10.1098/1897.0009. ^ Wu, J.-Z.; Ma, H.-Y.; Zhou, M.-D. (2006). Vorticity und Wirbeldynamik. Berlin: Springer. ISBN 9783540290285. ^ Länger, Malcolm (2016). Maxwells bleibendes Vermächtnis: Eine wissenschaftliche Geschichte des Cavendish Laboratory. Cambridge University Press. ISBN 9781316033418. ^ Stolzer Mann, J. (Juli 1, 1916). "Über die Bewegung fester Körper in einer wirbelnden Flüssigkeit". Proz. R. Soc. Lang. EIN. 92: 408–424. Bibcode:1916RSPSA..92..408P. doi:10.1098/rspa.1916.0026. ^ Taylor, GI. (Marsch 1, 1917). "Bewegung von Festkörpern in Flüssigkeiten, wenn die Strömung nicht rotationsfrei ist". Proz. R. Soc. Lang. EIN. 93: 92–113. Bibcode:1917RSPSA..93...99T. doi:10.1098/rspa.1917.0007. Kategorien: FluiddynamikPhysikalische Theoreme

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