Zahmheitssatz

Zahmheitssatz (Umgeleitet von Tameness-Vermutung) Zur Navigation springen Zur Suche springen In der Mathematik, Der Zahmheitssatz besagt, dass jede vollständige hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit mit endlich erzeugter Fundamentalgruppe topologisch zahm ist, mit anderen Worten homöomorph zum Inneren einer kompakten 3er-Mannigfaltigkeit.

Der Zahmheitssatz wurde von Marden vermutet (1974). Es wurde von Agol bewiesen (2004) und, unabhängig, von Danny Calegari und David Gabai. Es ist eine der grundlegenden Eigenschaften von geometrisch unendlichen hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeiten, zusammen mit dem Dichtesatz für Kleinsche Gruppen und dem Endlaminierungssatz. Es impliziert auch die Ahlfors-Maßvermutung.

History Topological tameness may be viewed as a property of the ends of the manifold, nämlich, mit einer lokalen Produktstruktur. Eine analoge Aussage ist in zwei Dimensionen bekannt, das ist, für Oberflächen. Jedoch, wie das Beispiel Alexander Horned Sphäre zeigt, Es gibt wilde Einbettungen zwischen 3-Mannigfaltigkeiten, diese Eigenschaft ist also nicht automatisch.

Die Vermutung wurde in Form einer Frage von Albert Marden aufgeworfen, der bewies, dass jede geometrisch endliche hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit topologisch zahm ist. Die Vermutung wurde auch Marden-Vermutung oder Tame-Ends-Vermutung genannt.

Es gab stetige Fortschritte beim Verständnis der Zahmheit, bevor die Vermutung geklärt war. Teilergebnisse waren von Thurston erhalten worden, Brock, Bromberg, Kanarienvogel, Evans, Minsky, Ohschika.[Zitat benötigt] Eine wichtige hinreichende Bedingung für Zahmheit in Bezug auf Spaltungen der Fundamentalgruppe war von Bonahon erlangt worden.[Zitat benötigt] Die Vermutung wurde bewiesen in 2004 von Ian Agol, und unabhängig, von Danny Calegari und David Gabai. Agols Beweis beruht auf der Verwendung von Mannigfaltigkeiten mit eingeklemmter negativer Krümmung und auf Canarys Trick von "Diskbusting" das erlaubt, ein komprimierbares Ende durch ein inkompressibles Ende zu ersetzen, wofür die Vermutung bereits bewiesen ist. Der Calegari-Gabai-Beweis konzentriert sich auf die Existenz bestimmter Abschlüsse, kraftschlüssig gekrümmte Flächen, die sie nennen "eingeschweißt".

Siehe auch Tame mannigfaltige Referenzen Agol, Jan (2004), Zahmheit von hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeiten, arXiv:math.GT/0405568. Calegari, Danni; Doof, David (2006), "Schrumpfverpackung und die Zähmung hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten", Zeitschrift der American Mathematical Society, 19 (2): 385–446, arXiv:math/0407161, doi:10.1090/S0894-0347-05-00513-8, HERR 2188131. Doof, David (2009), "Hyperbolische Geometrie und 3-Mannigfaltigkeit-Topologie", in Mrowka, Tomász S.; Özsvath, Peter S. (Hrsg.), Niedrigdimensionale Topologie, IAS/Park City Math. Sein., vol. 15, Vorsehung, RI: Amerikanische Mathematische Gesellschaft, pp. 73–103, HERR 2503493 Mackenzie, Dana (2004), "Den hyperbolischen Dschungel zähmen, indem man seine widerspenstigen Kanten beschneidet", Wissenschaft, 306 (5705): 2182–2183, doi:10.1126/Wissenschaft.306.5705.2182, PMID 15618501. Marden, Albert (1974), "Die Geometrie endlich erzeugter kleinscher Gruppen", Annalen der Mathematik, Zweite Serie, 99: 383–462, doi:10.2307/1971059, ISSN 0003-486X, JSTOR 1971059, HERR 0349992, Zbl 0282.30014 Marden, Albert (2007), Äußere Kreise: Eine Einführung in hyperbolische 3-Mannigfaltigkeiten, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83974-7, HERR 2355387. vte Verteiler ausblenden (Glossar) Grundkonzepte Topologische Mannigfaltigkeit AtlasDifferentiable/Glatte Mannigfaltigkeit DifferentialstrukturGlatter AtlasUntermannigfaltigkeitRiemannsche MannigfaltigkeitGlatte KarteSubmersionPushforwardTangentenraumDifferentialformVektorfeld Hauptergebnisse (aufführen) Atiyah–Singer indexDarboux’sDe Rham’sFrobeniusGeneralized StokesHopf–RinowNoether’sSard’sWhitney embedding Maps CurveDiffeomorphism LocalGeodesicExponential map in Lie theoryFoliationImmersionIntegralkurveLie-AbleitungSectionSubmersion Types of manifolds Closed(Fast) Komplex(Fast) KontaktFiberedFinslerFlatG-StrukturHadamardHermitianHyperbolicKählerKenmotsuLie-Gruppe Lie-AlgebraManifold with borderOrientedParallelizablePoissonPrimeQuaternionicHypercomplex(Pseudo−, Unter−) RiemannianRizza(Fast) SymplecticTame Tensors Vectors DistributionLie BracketPushforwardTangential space bundleTorsionVector fieldVector flow Covectors Closed/ExactCovariant ableiteCotangent space bundleDe Rham cohomologyDifferential form Vector-valuedExterior derivativeInterior productPullbackRicci Curvature flowRiemann curvature tensorTensor field densityVolume formWedge product Bundles AdjointAffineAssociatedCotangentDualFiber(Co) FibrationJetLie-Algebra(Stabil) NormalPrincipalSpinorSubbundleTangensTensorVector Connections AffineCartanEhresmannFormGeneralizedKoszulLevi-CivitaPrincipalVectorParallel transport Related Klassifikation von MannigfaltigkeitenEichtheorieGeschichteMorsetheorieBewegender RahmenSingularitätstheorie Verallgemeinerungen Banach-MannigfaltigkeitDiffeologieDiffietyFréchet-MannigfaltigkeitK-TheoryOrbifoldSekundärrechnung über kommutative AlgebrenGarbeStratifoldSupermanifoldSupermanifoldSupermanifold: 3-MannigfaltigkeitenBewiesene VermutungenDifferentialgeometrieHyperbolische GeometrieKleinsche GruppenMannigfaltigkeitenTheoreme in der Geometrie