Teorema de Takens

Teorema de Takens Este artigo inclui uma lista de referências gerais, mas faltam citações em linha correspondentes suficientes. Ajude a melhorar este artigo introduzindo citações mais precisas. (Setembro 2020) (Saiba como e quando remover esta mensagem de modelo) No estudo de sistemas dinâmicos, um teorema de incorporação de atraso fornece as condições sob as quais um sistema dinâmico caótico pode ser reconstruído a partir de uma sequência de observações do estado de um sistema dinâmico. A reconstrução preserva as propriedades do sistema dinâmico que não mudam sob mudanças suaves de coordenadas (ou seja, difeomorfismos), mas não preserva a forma geométrica das estruturas no espaço de fase.

O teorema de Takes é o 1981 teorema de incorporação de atraso de Floris Takens. Ele fornece as condições sob as quais um atrator suave pode ser reconstruído a partir das observações feitas com uma função genérica. Resultados posteriores substituíram o atrator suave por um conjunto de dimensões de contagem de caixas arbitrárias e a classe de funções genéricas por outras classes de funções.

Teoremas de incorporação de atraso são mais simples de declarar para sistemas dinâmicos de tempo discreto. O espaço de estados do sistema dinâmico é um {estilo de exibição não } -colector dimensional {estilo de exibição M} . A dinâmica é dada por um mapa suave {estilo de exibição f:Rio M.} Suponha que a dinâmica {estilo de exibição f} tem um atrator estranho {estilo de exibição Asubconjunto M} com dimensão de contagem de caixas {estilo de exibição d_{UMA}} . Usando ideias do teorema de incorporação de Whitney, {estilo de exibição A} pode ser embutido em {estilo de exibição k} -espaço euclidiano dimensional com {displaystyle k>2d_{UMA}.} Aquilo é, existe um difeomorfismo {estilo de exibição phi } que mapeia {estilo de exibição A} em {estilo de exibição mathbb {R} ^{k}} tal que a derivada de {estilo de exibição phi } tem classificação completa.

Um teorema de incorporação de atraso usa uma função de observação para construir a função de incorporação. Uma função de observação {alfa de estilo de exibição :Rio mathbb {R} } deve ser duas vezes diferenciável e associar um número real a qualquer ponto do atrator {estilo de exibição A} . Também deve ser típico, então sua derivada é de nível completo e não tem simetrias especiais em seus componentes. O teorema de incorporação de atraso afirma que a função {estilo de exibição phi _{T}(x)= esquerda(alfa (x),alfa esquerda(f(x)certo),pontos ,alfa esquerda(f^{k-1}(x)certo)certo)} é uma incorporação do atrator estranho {estilo de exibição A} dentro {estilo de exibição mathbb {R} ^{k}} .

Conteúdo 1 Simplificado, versão um pouco imprecisa 2 Veja também 3 Referências 4 Leitura adicional 5 Links externos simplificados, slightly inaccurate version Suppose the {estilo de exibição d} -vetor de estado dimensional {estilo de exibição x_{t}} evolui de acordo com um desconhecido, mas contínuo e (crucialmente) dinâmica determinista. Suponha, também, que o observável unidimensional {estilo de exibição y} é uma função suave de {estilo de exibição x} , e “acoplado” a todos os componentes de {estilo de exibição x} . Agora, a qualquer momento, podemos olhar não apenas para a medição atual {estilo de exibição y(t)} , mas também em observações feitas às vezes afastadas de nós por múltiplos de algum atraso {estilo de exibição tau :s_{t+ano },s_{t+2tau }} , etc. Se usarmos {estilo de exibição k} atrasos, nós temos uma {estilo de exibição k} -vetor dimensional. Alguém poderia esperar que, à medida que o número de atrasos aumenta, o movimento no espaço defasado se tornará cada vez mais previsível, e talvez no limite {displaystyle quem é infty } se tornaria determinista. Na verdade, a dinâmica dos vetores defasados ​​se torna determinística em uma dimensão finita; não apenas isso, mas as dinâmicas determinísticas são completamente equivalentes às do espaço de estados original (Mais exatamente, eles estão relacionados por uma suave, mudança inversível de coordenadas, ou difeomorfismo.) A dimensão mágica de incorporação {estilo de exibição k} é no máximo {estilo de exibição 2d+1} , e muitas vezes menos.[1] Veja também o teorema de incorporação de Whitney Redução de dimensionalidade não linear Referências ^ Shalizi, Cosma R. (2006). "Métodos e Técnicas da Ciência de Sistemas Complexos: Uma visão geral". Em Deisboeck, Thomas S; Kresh, J. Yasha (ed.). Ciência de Sistemas Complexos em Biomedicina. Topics in Biomedical Engineering International Book Series. Springer EUA. pp. 33-114. arXiv:nlin/0307015. doi:10.1007/978-0-387-33532-2_2. ISBN 978-0-387-30241-6. S2CID 11972113. Leitura adicional N. Packard, J. Crutchfield, D. Fazendeiro e R. Shaw (1980). "Geometria de uma série temporal". Cartas de Revisão Física. 45 (9): 712-716. Bibcode:1980PhRvL..45..712P. doi:10.1103/PhysRevLett.45.712. F. Tarefas (1981). "Detectando atratores estranhos em turbulência". Em D. UMA. Rand e L.-S. Jovem (ed.). Sistemas Dinâmicos e Turbulência, Notas de aula em matemática, volume. 898. Springer-Verlag. pp. 366–381. R. amanhã (1981). "Sobre a dimensão dos conjuntos invariantes compactos de certos mapas não lineares". Em D. UMA. Rand e L.-S. Jovem (ed.). Sistemas Dinâmicos e Turbulência, Notas de aula em matemática, volume. 898. Springer-Verlag. pp. 230–242. G. Sugihara e R. M.. Poderia (1990). "Previsão não linear como forma de distinguir o caos do erro de medição em séries temporais". Natureza. 344 (6268): 734–741. Bibcode:1990Natur.344..734S. doi:10.1038/344734a0. PMID 2330029. S2CID 4370167. Tim Sauer, James A. Yorke, e Martin Casdagli (1991). "Incorporação". Revista de Física Estatística. 65 (3-4): 579-616. Bibcode:1991JSP....65..579S. doi:10.1007/BF01053745. G. Sugihara (1994). "Previsão não linear para a classificação de séries temporais naturais". Phil. Trans. R. Soc. Londres. UMA. 348 (1688): 477-495. Bibcode:1994RSPTA.348..477S. doi:10.1098/rsta.1994.0106. S2CID 121604829. P.A.. Dixon, M.J.. Milicich, e G. Sugihara (1999). "Flutuações episódicas no suprimento larval". Ciência. 283 (5407): 1528-1530. Bibcode:1999Sci...283.1528D. doi:10.1126/ciência.283.5407.1528. PMID 10066174. G. Sugihara, M. Casdagli, E. Habjan, D. Hess, P. Dixon e G. Holanda (1999). "Os mapas de atraso residual revelam padrões globais de não linearidade atmosférica e produzem previsões locais aprimoradas". PNAS. 96 (25): 210-215. Bibcode:1999PNAS...9614210S. doi:10.1073/pnas.96.25.14210. PMC 24416. PMID 10588685. C. Hsieh; Glaser, SM; Lucas, AJ; Sugihara, G (2005). "Distinguindo flutuações ambientais aleatórias de catástrofes ecológicas para o Oceano Pacífico Norte". Natureza. 435 (7040): 336-340. Bibcode:2005Natureza.435..336H. doi:10.1038/natureza03553. PMID 15902256. S2CID 2446456. R. UMA. Rios, eu. Papagaio, H. Lange e R. F. de Mello (2015). "Estimando taxas de determinismo para detectar padrões em conjuntos de dados geoespaciais". Sensoriamento Remoto do Ambiente. 156: 11-20. Bibcode:2015RSEnv.156...11R. doi:10.1016/j.rse.2014.09.019. Links externos Reconstrução de Atratores (erudição) [1] O produto ChaosKit da Scientio usa incorporação para criar análises e previsões. O acesso é feito online através de um serviço web e interface gráfica. Categorias: Teoremas em sistemas dinâmicos