Il teorema di Takes

Teorema di Takes Questo articolo include un elenco di riferimenti generali, ma manca di citazioni inline corrispondenti sufficienti. Aiutaci a migliorare questo articolo introducendo citazioni più precise. (settembre 2020) (Scopri come e quando rimuovere questo messaggio modello) Nello studio dei sistemi dinamici, un teorema di inclusione del ritardo fornisce le condizioni in cui un sistema dinamico caotico può essere ricostruito da una sequenza di osservazioni dello stato di un sistema dinamico. La ricostruzione preserva le proprietà del sistema dinamico che non cambiano in caso di modifiche graduali delle coordinate (cioè., diffeomorfismo), ma non preserva la forma geometrica delle strutture nello spazio delle fasi.

Il teorema di Takes è il 1981 teorema di embedding del ritardo di Floris Takes. Fornisce le condizioni in cui un attrattore liscio può essere ricostruito dalle osservazioni fatte con una funzione generica. I risultati successivi hanno sostituito l'attrattore liscio con un insieme di dimensioni arbitrarie di conteggio dei riquadri e la classe di funzioni generiche con altre classi di funzioni.

I teoremi di incorporamento del ritardo sono più semplici da stabilire per i sistemi dinamici a tempo discreto. Lo spazio degli stati del sistema dinamico è a {stile di visualizzazione n } -varietà dimensionale {stile di visualizzazione M} . La dinamica è data da una mappa liscia {stile di visualizzazione f:fiume M.} Supponiamo che la dinamica {stile di visualizzazione f} ha uno strano attrattore {displaystyle Asottoinsieme M} con dimensione conteggio scatole {stile di visualizzazione d_{UN}} . Utilizzando idee dal teorema di incorporamento di Whitney, {stile di visualizzazione A} può essere incorporato {stile di visualizzazione k} -spazio euclideo dimensionale con {displaystyle k>2d_{UN}.} Questo è, c'è un diffeomorfismo {stile di visualizzazione phi } che mappe {stile di visualizzazione A} in {displaystyle mathbb {R} ^{K}} tale che la derivata di {stile di visualizzazione phi } ha il rango pieno.

Un teorema di incorporamento del ritardo utilizza una funzione di osservazione per costruire la funzione di incorporamento. Una funzione di osservazione {displaystyle alfa :fiume matematicabb {R} } deve essere due volte differenziabile e associare un numero reale a qualsiasi punto dell'attrattore {stile di visualizzazione A} . Deve anche essere tipico, quindi la sua derivata è di rango pieno e non ha simmetrie speciali nei suoi componenti. Il teorema di incorporamento del ritardo afferma che la funzione {stile di visualizzazione phi _{T}(X)= sinistra(alfa (X),alfa sinistra(f(X)Giusto),punti ,alfa sinistra(f^{k-1}(X)Giusto)Giusto)} è un'inclusione dell'attrattore strano {stile di visualizzazione A} in {displaystyle mathbb {R} ^{K}} .

Contenuti 1 Semplificato, versione leggermente imprecisa 2 Guarda anche 3 Riferimenti 4 Ulteriori letture 5 Collegamenti esterni semplificati, slightly inaccurate version Suppose the {stile di visualizzazione d} -vettore di stato dimensionale {stile di visualizzazione x_{t}} evolve secondo un ignoto ma continuo e (in modo cruciale) dinamica deterministica. Supponiamo, anche, che l'osservabile unidimensionale {stile di visualizzazione y} è una funzione regolare di {stile di visualizzazione x} , e “accoppiato” a tutti i componenti di {stile di visualizzazione x} . Ora in qualsiasi momento non possiamo guardare solo alla misurazione attuale {stile di visualizzazione y(t)} , ma anche a osservazioni fatte a volte da noi rimosse da multipli di qualche ritardo {displaystyle tau :si_{t+anno },si_{t+2tau }} , eccetera. Se usiamo {stile di visualizzazione k} ritardi, noi abbiamo un {stile di visualizzazione k} -vettore dimensionale. Uno potrebbe aspettarselo, all'aumentare del numero di ritardi, il movimento nello spazio ritardato diventerà sempre più prevedibile, e forse al limite {displaystyle chi è infty } diventerebbe deterministico. Infatti, la dinamica dei vettori ritardati diventa deterministica a dimensione finita; non solo quello, ma le dinamiche deterministiche sono del tutto equivalenti a quelle dello spazio degli stati originario (Più precisamente, sono legati da un liscio, cambio di coordinate invertibile, o diffeomorfismo.) La dimensione magica dell'incorporamento {stile di visualizzazione k} è al massimo {stile di visualizzazione 2d+1} , e spesso meno.[1] Vedi anche Teorema di inclusione di Whitney Riduzione della dimensionalità non lineare Riferimenti ^ Shalizi, Cosma R. (2006). "Metodi e tecniche della scienza dei sistemi complessi: Una panoramica". A Deisboeck, Thomas S; Kresh, J. Yasha (eds.). Scienza dei sistemi complessi in biomedicina. Argomenti nella collana internazionale di libri di ingegneria biomedica. Springer USA. pp. 33–114. arXiv:nlin/0307015. doi:10.1007/978-0-387-33532-2_2. ISBN 978-0-387-30241-6. S2CID 11972113. Ulteriori letture N. Packard, J. Crutchfield, D. Contadino e R. Shaw (1980). "Geometria da una serie storica". Lettere di revisione fisica. 45 (9): 712–716. Bibcode:1980PhRvL..45..712P. doi:10.1103/PhysRevLett.45.712. F. Compiti (1981). "Rilevamento di attrattori strani in turbolenza". In d. UN. Rand e L.-S. Giovane (ed.). Sistemi dinamici e turbolenza, Appunti delle lezioni in matematica, vol. 898. Springer-Verlag. pp. 366–381. R. Domani (1981). "Sulla dimensione degli insiemi invarianti compatti di alcune mappe non lineari". In d. UN. Rand e L.-S. Giovane (ed.). Sistemi dinamici e turbolenza, Appunti delle lezioni in matematica, vol. 898. Springer-Verlag. pp. 230–242. G. Sugihara e R.M. Maggio (1990). "La previsione non lineare come metodo per distinguere il caos dall'errore di misura nelle serie temporali". Natura. 344 (6268): 734–741. Bibcode:1990Natura.344..734S. doi:10.1038/344734a0. PMID 2330029. S2CID 4370167. Tim Sauer, James A. Yorke, e Martin Casdagli (1991). "Embedologia". Giornale di fisica statistica. 65 (3–4): 579–616. Bibcode:1991JSP....65..579S. doi:10.1007/BF01053745. G. Sugihara (1994). "Previsione non lineare per la classificazione di serie temporali naturali". Fil. Trans. R. soc. Lond. UN. 348 (1688): 477–495. Bibcode:1994RSPTA.348..477S. doi:10.1098/rsta.1994.0106. S2CID 121604829. PAPÀ. Dixon, MJ. Milicich, e G. Sugihara (1999). "Fluttuazioni episodiche nell'offerta larvale". Scienza. 283 (5407): 1528–1530. Bibcode:1999Sci...283.1528D. doi:10.1126/scienza.283.5407.1528. PMID 10066174. G. Sugihara, M. Casdagli, e. Habjan, D. Hess, P. Dixon e G. Olanda (1999). "Le mappe del ritardo residuo svelano i modelli globali di non linearità atmosferica e producono migliori previsioni locali". PNAS. 96 (25): 210–215. Bibcode:1999PNA...9614210S. doi:10.1073/pnas.96.25.14210. PMC 24416. PMID 10588685. C. Hsieh; Glaser, SM; Luca, AJ; Sugihara, G (2005). "Distinguere le fluttuazioni ambientali casuali dalle catastrofi ecologiche per l'Oceano Pacifico settentrionale". Natura. 435 (7040): 336–340. Bibcode:2005Natura.435..336H. doi:10.1038/natura03553. PMID 15902256. S2CID 2446456. R. UN. Rios, l. pappagallo, H. Lange e R. F. de Mello (2015). "Stima dei tassi di determinismo per rilevare i modelli nei set di dati geospaziali". Telerilevamento dell'ambiente. 156: 11–20. Bibcode:2015RSEnv.156...11R. doi:10.1016/j.rse.2014.09.019. Collegamenti esterni Ricostruzione dell'attrattore (studioso) [1] Il prodotto ChaosKit di Scientio utilizza l'incorporamento per creare analisi e previsioni. L'accesso avviene online tramite un servizio web e un'interfaccia grafica. Categorie: Teoremi nei sistemi dinamici