Théorème de Takens

Théorème de Takens Cet article comprend une liste de références générales, mais il manque suffisamment de citations en ligne correspondantes. Merci d'aider à améliorer cet article en introduisant des citations plus précises. (Septembre 2020) (Découvrez comment et quand supprimer ce modèle de message) Dans l'étude des systèmes dynamiques, un théorème d'incorporation de retard donne les conditions dans lesquelles un système dynamique chaotique peut être reconstruit à partir d'une séquence d'observations de l'état d'un système dynamique. La reconstruction préserve les propriétés du système dynamique qui ne changent pas sous des changements de coordonnées lisses (c'est à dire., difféomorphismes), mais il ne préserve pas la forme géométrique des structures dans l'espace des phases.

Le théorème de Takens est le 1981 théorème d'intégration des retards de Floris Takens. Il fournit les conditions dans lesquelles un attracteur lisse peut être reconstruit à partir des observations faites avec une fonction générique. Les résultats ultérieurs ont remplacé l'attracteur lisse par un ensemble de dimensions de comptage de boîtes arbitraires et la classe de fonctions génériques par d'autres classes de fonctions.

Les théorèmes d'incorporation de retard sont plus simples à énoncer pour les systèmes dynamiques à temps discret. L'espace d'états du système dynamique est un {style d'affichage non } -collecteur dimensionnel {style d'affichage M} . La dynamique est donnée par une carte lisse {style d'affichage f:Rivière M} Supposons que la dynamique {style d'affichage f} a un attracteur étrange {style d'affichage Asubset M} avec dimension de comptage de boîtes {displaystyle d_{UN}} . Utilisation des idées du théorème d'intégration de Whitney, {style d'affichage A} peut être intégré dans {style d'affichage k} -espace euclidien dimensionnel avec {displaystyle k>2d_{UN}.} C'est-à-dire, il y a un difféomorphisme {style d'affichage phi } qui cartographie {style d'affichage A} dans {style d'affichage mathbb {R} ^{k}} telle que la dérivée de {style d'affichage phi } a plein rang.

Un théorème d'incorporation de retard utilise une fonction d'observation pour construire la fonction d'incorporation. Une fonction d'observation {style d'affichage alpha :Rivière mathbb {R} } doit être deux fois différentiable et associer un nombre réel à tout point de l'attracteur {style d'affichage A} . Il doit aussi être typique, donc sa dérivée est de plein rang et n'a pas de symétries particulières dans ses composants. Le théorème d'intégration du retard stipule que la fonction {style d'affichage phi _{J}(X)=gauche(alpha (X),alpha à gauche(F(X)droit),des points ,alpha à gauche(f ^{k-1}(X)droit)droit)} est un plongement de l'attracteur étrange {style d'affichage A} dans {style d'affichage mathbb {R} ^{k}} .

Contenu 1 Simplifié, version un peu inexacte 2 Voir également 3 Références 4 Lectures complémentaires 5 Liens externes Simplifié, slightly inaccurate version Suppose the {displaystyle d} -vecteur d'état dimensionnel {style d'affichage x_{t}} évolue selon une inconnue mais continue et (de manière cruciale) dynamique déterministe. Supposer, aussi, que l'observable unidimensionnel {style d'affichage y} est une fonction lisse de {style d'affichage x} , et « couplé » à tous les composants de {style d'affichage x} . Maintenant, à tout moment, nous pouvons regarder non seulement la mesure actuelle {style d'affichage y(t)} , mais aussi à des observations faites à des moments éloignés de nous par des multiples d'un certain décalage {style d'affichage tau :y_{t+année },y_{t+2tau }} , etc. Si nous utilisons {style d'affichage k} décalages, nous avons un {style d'affichage k} -vecteur dimensionnel. On pourrait s'attendre à ce que, à mesure que le nombre de décalages augmente, le mouvement dans l'espace décalé deviendra de plus en plus prévisible, et peut-être à la limite {style d'affichage qui est infty } deviendrait déterministe. En réalité, la dynamique des vecteurs retardés devient déterministe en dimension finie; non seulement que, mais la dynamique déterministe est complètement équivalente à celle de l'espace d'état d'origine (Plus exactement, ils sont liés par une lisse, changement de coordonnées inversible, ou le difféomorphisme.) La dimension magique de l'encastrement {style d'affichage k} est au plus {style d'affichage 2d+1} , et souvent moins.[1] Voir aussi Théorème d'incorporation de Whitney Réduction de dimensionnalité non linéaire Références ^ Shalizi, Cosma R. (2006). "Méthodes et techniques de la science des systèmes complexes: Un aperçu". À Deisboeck, ThomasS; Kresh, J. Yasha (éd.). Science des systèmes complexes en biomédecine. Sujets de la série internationale de livres sur le génie biomédical. Springer États-Unis. pp. 33–114. arXiv:nlin/0307015. est ce que je:10.1007/978-0-387-33532-2_2. ISBN 978-0-387-30241-6. S2CID 11972113. Lectures complémentaires N. Packard, J. Crutchfield, ré. Fermier et R. Shaw (1980). "Géométrie d'une série temporelle". Lettres d'examen physique. 45 (9): 712–716. Code bib:1980PhRvL..45..712P. est ce que je:10.1103/PhysRevLett.45.712. F. Tâches (1981). "Détecter des attracteurs étranges en turbulence". En D. UN. Rand et L.-S. Jeune (éd.). Systèmes dynamiques et turbulence, Notes de cours en mathématiques, volume. 898. Springer Verlag. pp. 366–381. R. demain (1981). "Sur la dimension des ensembles invariants compacts de certaines applications non linéaires". En D. UN. Rand et L.-S. Jeune (éd.). Systèmes dynamiques et turbulence, Notes de cours en mathématiques, volume. 898. Springer Verlag. pp. 230–242. g. Sugihara et RM. Peut (1990). "La prévision non linéaire comme moyen de distinguer le chaos de l'erreur de mesure dans les séries chronologiques". La nature. 344 (6268): 734–741. Code bib:1990Natur.344..734S. est ce que je:10.1038/344734a0. PMID 2330029. S2CID 4370167. Tim Sauer, Jacques A. Yorke, et Martin Casdagli (1991). "Embedologie". Journal de physique statistique. 65 (3–4): 579–616. Code bib:1991JSP....65..579S. est ce que je:10.1007/BF01053745. g. Sugihara (1994). "Prévision non linéaire pour la classification des séries temporelles naturelles". Phil. Trans. R. Soc. Londres. UN. 348 (1688): 477–495. Code bib:1994RSPTA.348..477S. est ce que je:10.1098/rsta.1994.0106. S2CID 121604829. PENNSYLVANIE. Dixon, MJ. Milicich, et G. Sugihara (1999). "Fluctuations épisodiques de l'approvisionnement en larves". La science. 283 (5407): 1528–1530. Code bib:1999Sci...283.1528D. est ce que je:10.1126/science.283.5407.1528. PMID 10066174. g. Sugihara, M. Casdagli, E. Habjan, ré. Hesse, P. Dixon et G. Hollande (1999). "Les cartes de retard résiduel dévoilent les schémas globaux de non-linéarité atmosphérique et produisent des prévisions locales améliorées". PNAS. 96 (25): 210–215. Code bib:1999PNAS...9614210S. est ce que je:10.1073/pnas.96.25.14210. PMC 24416. PMID 10588685. C. Hsieh; Glaser, SM; Lucas, UN J; Sugihara, g (2005). "Distinguer les fluctuations environnementales aléatoires des catastrophes écologiques pour l'océan Pacifique Nord". La nature. 435 (7040): 336–340. Code bib:2005Nature.435..336H. est ce que je:10.1038/nature03553. PMID 15902256. S2CID 2446456. R. UN. Ríos, L. Perroquet, H. Lange et R. F. de Mello (2015). "Estimation des taux de déterminisme pour détecter des modèles dans des ensembles de données géospatiales". Télédétection de l'environnement. 156: 11–20. Code bib:2015RSEnv.156...11R. est ce que je:10.1016/j.rse.2014.09.019. Liens externes Reconstruction d'attracteurs (savantepedia) [1] Le produit ChaosKit de Scientio utilise l'intégration pour créer des analyses et des prédictions. L'accès se fait en ligne via un service web et une interface graphique. Catégories: Théorèmes dans les systèmes dynamiques