Satz von Takens

Theorem von Takens Dieser Artikel enthält eine Liste allgemeiner Referenzen, aber es fehlen genügend entsprechende Inline-Zitate. Bitte helfen Sie mit, diesen Artikel zu verbessern, indem Sie genauere Zitate einfügen. (September 2020) (Erfahren Sie, wie und wann Sie diese Vorlagennachricht entfernen können) In der Untersuchung dynamischer Systeme, Ein Delay-Embedding-Theorem gibt die Bedingungen an, unter denen ein chaotisches dynamisches System aus einer Folge von Beobachtungen des Zustands eines dynamischen Systems rekonstruiert werden kann. Die Rekonstruktion bewahrt die Eigenschaften des dynamischen Systems, die sich unter glatten Koordinatenänderungen nicht ändern (d.h., Diffeomorphismen), aber es bewahrt nicht die geometrische Form von Strukturen im Phasenraum.

Der Satz von Takens ist der 1981 Delay-Embedding-Theorem von Floris Takens. Es liefert die Bedingungen, unter denen ein glatter Attraktor aus den Beobachtungen rekonstruiert werden kann, die mit einer generischen Funktion gemacht wurden. Spätere Ergebnisse ersetzten den glatten Attraktor durch einen Satz beliebiger Box-Zähldimensionen und die Klasse generischer Funktionen durch andere Klassen von Funktionen.

Verzögerungseinbettungstheoreme sind für zeitdiskrete dynamische Systeme einfacher zu formulieren. Der Zustandsraum des dynamischen Systems ist a {Anzeigestil Nr } -dimensionale Mannigfaltigkeit {Anzeigestil M} . Die Dynamik ist durch eine glatte Karte gegeben {Anzeigestil f:Fluss M.} Gehen Sie davon aus, dass die Dynamik {Anzeigestil f} hat einen seltsamen Attraktor {displaystyle Asubset M} mit Kistenzählmaß {Anzeigestil d_{EIN}} . Verwendung von Ideen aus Whitneys Einbettungstheorem, {Anzeigestil A} einbetten kann {Anzeigestil k} -dimensionaler euklidischer Raum mit {displaystyle k>2d_{EIN}.} Das ist, Es gibt einen Diffeomorphismus {Anzeigestil phi } das Karten {Anzeigestil A} hinein {Anzeigestil mathbb {R} ^{k}} so dass die Ableitung von {Anzeigestil phi } hat vollen Rang.

Ein Verzögerungseinbettungstheorem verwendet eine Beobachtungsfunktion, um die Einbettungsfunktion zu konstruieren. Eine Beobachtungsfunktion {Anzeigestil alpha :Fluss mathbb {R} } muss zweimal differenzierbar sein und jedem Punkt des Attraktors eine reelle Zahl zuordnen {Anzeigestil A} . Es muss auch typisch sein, seine Ableitung ist also vollrangig und hat keine besonderen Symmetrien in seinen Komponenten. Das Delay-Embedding-Theorem besagt, dass die Funktion {Anzeigestil Phi _{T}(x)=links(Alpha (x),Alpha links(f(x)Rechts),Punkte ,Alpha links(f^{k-1}(x)Rechts)Rechts)} ist eine Einbettung des seltsamen Attraktors {Anzeigestil A} in {Anzeigestil mathbb {R} ^{k}} .

Inhalt 1 Vereinfacht, leicht ungenaue Version 2 Siehe auch 3 Verweise 4 Weiterlesen 5 Externe Links Vereinfacht, slightly inaccurate version Suppose the {Anzeigestil d} -dimensionaler Zustandsvektor {Anzeigestil x_{t}} entwickelt sich nach einem unbekannten, aber kontinuierlichen und (entscheidend) deterministische Dynamik. Vermuten, zu, dass das eindimensionale Observable {Anzeigestil y} ist eine glatte Funktion von {Anzeigestil x} , und "gekoppelt" an alle Komponenten von {Anzeigestil x} . Jetzt können wir jederzeit nicht nur auf die aktuelle Messung schauen {Anzeigestil y(t)} , aber auch bei Beobachtungen, die zuweilen um ein Vielfaches einer gewissen Verzögerung von uns entfernt waren {Anzeigestil tau :y_{t+Jahr },y_{t+2tau }} , etc. Wenn wir verwenden {Anzeigestil k} hinkt, wir haben ein {Anzeigestil k} -dimensionaler Vektor. Das könnte man erwarten, wenn die Anzahl der Lags erhöht wird, die Bewegung im verzögerten Raum wird immer vorhersehbarer, und vielleicht in der Grenze {displaystyle wer ist infty } würde deterministisch werden. In der Tat, die Dynamik der verzögerten Vektoren wird bei einer endlichen Dimension deterministisch; nicht nur das, aber die deterministische Dynamik ist völlig äquivalent zu der des ursprünglichen Zustandsraums (Exakter, sie sind durch eine glatte verwandt, invertierbare Änderung der Koordinaten, oder Diffeomorphismus.) Die magische Einbettungsdimension {Anzeigestil k} ist höchstens {Darstellungsstil 2d+1} , und oft weniger.[1] Siehe auch Whitney-Einbettungstheorem Nichtlineare Dimensionsreduktion Referenzen ^ Shalizi, Kosma R. (2006). "Methoden und Techniken der Wissenschaft komplexer Systeme: Ein Überblick". In Deisböck, ThomasS; Kresh, J. Jascha (Hrsg.). Komplexe Systemwissenschaften in der Biomedizin. Topics in Biomedical Engineering Internationale Buchreihe. Springer USA. pp. 33–114. arXiv:nlin/0307015. doi:10.1007/978-0-387-33532-2_2. ISBN 978-0-387-30241-6. S2CID 11972113. Weiterführende Literatur N. Packard, J. Crutchfield, D. Bauer und R. Schau (1980). "Geometrie aus einer Zeitreihe". Briefe zur körperlichen Überprüfung. 45 (9): 712–716. Bibcode:1980PhRvL..45..712P. doi:10.1103/PhysRevLett.45.712. F. Aufgaben (1981). "Fremde Attraktoren in Turbulenzen entdecken". In D. EIN. Rand und L.-S. Jung (ed.). Dynamische Systeme und Turbulenz, Vorlesungsunterlagen in Mathematik, vol. 898. Springer-Verlag. pp. 366–381. R. Morgen (1981). "Über die Dimension der kompakten invarianten Mengen gewisser nichtlinearer Abbildungen". In D. EIN. Rand und L.-S. Jung (ed.). Dynamische Systeme und Turbulenz, Vorlesungsunterlagen in Mathematik, vol. 898. Springer-Verlag. pp. 230–242. G. Sugihara und R.M. Kann (1990). "Nichtlineare Prognosen als Mittel zur Unterscheidung von Chaos und Messfehlern in Zeitreihen". Natur. 344 (6268): 734–741. Bibcode:1990Natur.344..734S. doi:10.1038/344734a0. PMID 2330029. S2CID 4370167. Timo Sauer, Jakob A. Yorke, und Martin Casdagli (1991). "Embedologie". Zeitschrift für statistische Physik. 65 (3–4): 579–616. Bibcode:1991JSP....65..579S. doi:10.1007/BF01053745. G. Sugihara (1994). "Nichtlineare Prognosen zur Klassifizierung natürlicher Zeitreihen". Phil. Trans. R. Soc. Lang. EIN. 348 (1688): 477–495. Bibcode:1994RSPTA.348..477S. doi:10.1098/rsta.1994.0106. S2CID 121604829. PA. Dixon, M.J. Milicich, und G. Sugihara (1999). "Episodische Schwankungen im Larvenangebot". Wissenschaft. 283 (5407): 1528–1530. Bibcode:1999Wissenschaft...283.1528D. doi:10.1126/Wissenschaft.283.5407.1528. PMID 10066174. G. Sugihara, M. Casdagli, E. Habjan, D. Hess, P. Dixon und G. Holland (1999). "Restverzögerungskarten enthüllen globale Muster der atmosphärischen Nichtlinearität und liefern verbesserte lokale Vorhersagen". PNAS. 96 (25): 210–215. Bibcode:1999PNAS...9614210S. doi:10.1073/pnas.96.25.14210. PMC 24416. PMID 10588685. C. Hsieh; Glaser, SM; Lukas, AJ; Sugihara, G (2005). "Unterscheidung zufälliger Umweltschwankungen von ökologischen Katastrophen für den Nordpazifik". Natur. 435 (7040): 336–340. Bibcode:2005Natur.435..336H. doi:10.1038/natur03553. PMID 15902256. S2CID 2446456. R. EIN. Rios, L. Papagei, H. Lange und R. F. von Mello (2015). "Schätzung von Determinismusraten zur Erkennung von Mustern in Geodatensätzen". Fernerkundung der Umwelt. 156: 11–20. Bibcode:2015RSEnv.156...11R. doi:10.1016/j.rse.2014.09.019. Externe Links Rekonstruktion von Attraktoren (Scholarpedia) [1] Das ChaosKit-Produkt von Scientio verwendet Embedding, um Analysen und Vorhersagen zu erstellen. Der Zugriff erfolgt online über einen Webservice und eine grafische Oberfläche. Kategorien: Theoreme in dynamischen Systemen