Erweiterungssatz von Szpilrajn

Erweiterungssatz von Szpilrajn In der Ordnungstheorie, der Erweiterungssatz von Szpilrajn (auch Order-Extension-Prinzip genannt), bewiesen von Edward Szpilrajn in 1930,[1] besagt, dass jede strikte Teilordnung in einer Gesamtordnung enthalten ist. Intuitiv, Der Satz besagt, dass jede Methode zum Vergleichen von Elementen, die einige Paare unvergleichbar lässt, so erweitert werden kann, dass jedes Paar vergleichbar wird. Der Satz ist eines von vielen Beispielen für die Verwendung des Auswahlaxioms in Form von Zorns Lemma, um eine maximale Menge mit bestimmten Eigenschaften zu finden.

Inhalt 1 Definitionen und Erklärung 2 Nachweisen 3 Andere Erweiterungssätze 4 Siehe auch 5 References Definitions and statement A binary relation {Anzeigestil R} auf einem Satz {Anzeigestil X} ist formal als eine Menge geordneter Paare definiert {Anzeigestil (x,j)} von Elementen von {Anzeigestil X,} und {Anzeigestil (x,j)in R} wird oft abgekürzt als {Anzeigestil xRy.} Eine Relation ist reflexiv, wenn {Anzeigestil xRx} gilt für jedes Element {Anzeigestil xin X;} es ist transitiv, wenn {Anzeigestil xRy{Text{ und }}y Rz} implizieren {Anzeigestil xRz} für alle {Anzeigestil x,j,zin X;} es ist antisymmetrisch, wenn {Anzeigestil xRy{Text{ und }}yRx} implizieren {Anzeigestil x=y} für alle {Anzeigestil x,Yin X;} und es ist eine Konnex-Relation if {Anzeigestil xRy{Text{ oder }}yRx} gilt für alle {Anzeigestil x,Yin X.} Eine Teilbestellung ist, per Definition, ein Reflex, transitive und antisymmetrische Beziehung. Eine Gesamtordnung ist eine Teilordnung, die connex ist.

Eine Relation {Anzeigestil R} ist in einer anderen Relation enthalten {Anzeigestil S} wenn alle bestellten Paare eingetroffen sind {Anzeigestil R} erscheinen auch darin {Anzeigestil S;} das ist, {Anzeigestil xRy} impliziert {Anzeigestil xSy} für alle {Anzeigestil x,Yin X.} Der Erweiterungssatz besagt, dass jede Relation {Anzeigestil R} das ist reflexiv, transitiv und antisymmetrisch (das ist, eine Teilbestellung) ist in einer anderen Relation enthalten {Anzeigestil S} was reflexiv ist, transitiv, antisymmetrisch und connex (das ist, eine Gesamtbestellung).

Proof The theorem is proved in two steps. Zuerst, wenn eine Teilbestellung nicht vergleichbar ist {Anzeigestil x} und {Anzeigestil y,} es kann erweitert werden, indem zuerst das Paar hinzugefügt wird {Anzeigestil (x,j)} und dann Durchführen des transitiven Abschlusses, und zweitens, da diese Operation eine Ordnung erzeugt, die strikt die ursprüngliche enthält und auf alle Paare von unvergleichbaren Elementen angewendet werden kann, es existiert eine Relation, in der alle Elementpaare vergleichbar gemacht wurden.

Der erste Schritt wird als vorläufiges Lemma bewiesen, in der eine Teilreihenfolge ein Paar von Elementen ist {Anzeigestil x} und {Anzeigestil y} sind unvergleichbar wird geändert, um sie vergleichbar zu machen. Dies geschieht, indem zuerst das Paar hinzugefügt wird {Anzeigestil xRy} zum Verhältnis, was zu einer nicht-transitiven Beziehung führen kann, und dann Wiederherstellen der Transitivität durch Addieren aller Paare {displaystyle qRp} so dass {Anzeigestil qRx{Text{ und }}yRp.} Dies geschieht an einem einzigen Paar unvergleichlicher Elemente {Anzeigestil x} und {Anzeigestil y,} und stellt eine noch reflexive Relation her, antisymmetrisch und transitiv ist und das Original strikt enthält.

Als nächstes wird gezeigt, dass das Poset Teilordnungen enthält {Anzeigestil R,} nach Inklusion geordnet, hat ein maximales Element. Die Existenz eines solchen maximalen Elements wird bewiesen, indem man das Lemma von Zorn auf dieses Poset anwendet. Eine Kette in diesem Poset ist eine Menge von Beziehungen, die enthalten {Anzeigestil R} so dass zwei dieser Beziehungen gegeben sind, das eine ist im anderen enthalten.

Zorns Lemma anwenden, es muss gezeigt werden, dass jede Kette eine obere Schranke im Poset hat. Lassen {Anzeigestil {mathematisch {C}}} sei so eine Kette, und es bleibt zu zeigen, dass die Vereinigung ihrer Elemente, {Bigcup im Display-Stil {mathematisch {C}},} ist eine obere Schranke für {Anzeigestil {mathematisch {C}}} was im Poset steht: {Anzeigestil {mathematisch {C}}} enthält die ursprüngliche Relation {Anzeigestil R} da jedes Element von {Anzeigestil {mathematisch {C}}} ist eine Teilbestellung enthaltend {Anzeigestil R.} Nächste, das wird gezeigt {Bigcup im Display-Stil {mathematisch {C}}} ist eine transitive Relation. Nehme an, dass {Anzeigestil (x,j)} und {Anzeigestil (j,z)} sind in {Bigcup im Display-Stil {mathematisch {C}},} damit es existiert {Anzeigestil S,Zinn {mathematisch {C}}} so dass {Anzeigestil (x,j)in s{Text{ und }}(j,z)in T.} Seit {Anzeigestil {mathematisch {C}}} ist eine Kette, entweder {displaystyle Ssubseteq T{Text{ oder }}Tsubseteq S.} Vermuten {displaystyle Ssubseteq T;} das Argument für wann {displaystyle Tsubseteq S} ist ähnlich. Dann {Anzeigestil (x,j)in T.} Da alle durch unseren Prozess erzeugten Relationen transitiv sind, {Anzeigestil (x,z)} ist in {Anzeigestil T} und damit auch drin {Bigcup im Display-Stil {mathematisch {C}}.} Ähnlich, das kann man zeigen {Bigcup im Display-Stil {mathematisch {C}}} ist antisymmetrisch.

Also nach dem Lemma von Zorn die Menge der Teilordnungen enthaltend {Anzeigestil R} hat ein maximales Element {Anzeigestil Q,} und es bleibt nur, das zu zeigen {Anzeigestil Q} ist total. In der Tat, wenn {Anzeigestil Q} ein Paar unvergleichlicher Elemente hatte, dann ist es möglich, den Prozess des ersten Schritts darauf anzuwenden, was zu einer weiteren strengen Teilordnung führt, die enthält {Anzeigestil R} und streng enthält {Anzeigestil Q,} dem widersprechen {Anzeigestil Q} ist maximal. {Anzeigestil Q} ist also eine Gesamtbestellung enthaltend {Anzeigestil R,} Vervollständigung des Beweises.

Other extension theorems Arrow stated that every preorder (reflexive und transitive Beziehung) kann auf eine vollständige Vorbestellung erweitert werden (transitive und konnexe Relation), und diese Behauptung wurde später von Hansson bewiesen.

Suzumura hat bewiesen, dass eine binäre Relation genau dann zu einer vollständigen Vorbestellung erweitert werden kann, wenn sie Suzumura-konsistent ist, was bedeutet, dass es keinen solchen Zyklus von Elementen gibt {Anzeigestil xRy} für jedes Paar aufeinanderfolgender Elemente {Anzeigestil (x,j),} und es gibt ein paar aufeinanderfolgende Elemente {Anzeigestil (x,j)} im Zyklus für die {Anzeigestil yRx} hält nicht.

See also Linear extension – Mathematical ordering of a partial order References ^ Szpilrajn, Eduard (1930), "Zur Verlängerung der Teilbestellung" (Pdf), Grundlagen der Mathematik (auf Französisch), 16: 386–389, doi:10.4064/fm-16-1-386-389. Kategorien: Axiom der WahlTheoreme in den Grundlagen der MathematikOrdnungstheorie