Teorema da dilatação de Sz.-Nagy

Teorema da dilatação de Sz.-Nagy O teorema da dilatação de Sz.-Nagy (provado por Béla Szőkefalvi-Nagy) afirma que toda contração T em um espaço de Hilbert H tem uma dilatação unitária U para um espaço de Hilbert K, contendo H, com {estilo de exibição T^{n}=P_{H}U^{n}vert _{H},quad ngeq 0.} Além disso, tal dilatação é única (até equivalência unitária) quando se assume que K é mínimo, no sentido de que a extensão linear de ∪nUnH é densa em K. Quando esta condição de minimalidade se mantém, U é chamado de dilatação unitária mínima de T.

Conteúdo 1 Prova 2 Formulário Schaffer 3 Observações 4 References Proof For a contraction T (ou seja, ( {estilo de exibição |T|leq 1} ), seu operador de defeito DT é definido como o (único) raiz quadrada positiva DT = (EU - T*T)½. No caso especial que S é uma isometria, DS* é um projetor e DS=0, portanto, o seguinte é um Sz. Dilatação unitária de Nagy de S com a propriedade de cálculo funcional polinomial necessária: {estilo de exibição U={começar{bmatriz}S&D_{S^{*}}\D_{S}&-S^{*}fim{bmatriz}}.} Voltando ao caso geral de uma contração T, toda contração T em um espaço de Hilbert H tem uma dilatação isométrica, novamente com a propriedade de cálculo, sobre {estilo de exibição oplus _{ngq 0}H} dado por {estilo de exibição S={começar{bmatriz}T&0&0&cdots &\D_{T}&0&0&&\0&I&0&ddots \0&0&I&ddots \vdots &&ddots &ddots end{bmatriz}}.} Substituindo o S assim construído na dilatação unitária Sz.-Nagy anterior por uma isometria S, obtém-se uma dilatação unitária para uma contração T: {estilo de exibição T^{n}=P_{H}S^{n}vert _{H}=P_{H}(Q_{H'}Abertura _{H'})^{n}vert _{H}=P_{H}U^{n}vert _{H}.} Schaffer form This section needs expansion. Você pode ajudar expandindo-o. (Junho 2008) A forma Schaffer de um Sz unitário. A dilatação de Nagy pode ser vista como um ponto de partida para a caracterização de todas as dilatações unitárias, com a propriedade necessária, para uma determinada contração.

Remarks A generalisation of this theorem, por Berger, Foias e Lebow, mostra que se X é um conjunto espectral para T, e {estilo de exibição {matemática {R}}(X)} é uma álgebra de Dirichlet, então T tem uma dilatação δX normal mínima, do formulário acima. Uma consequência disso é que qualquer operador com um conjunto espectral X simplesmente conectado tem uma dilatação δX normal mínima.

Para ver que isso generaliza o teorema de Sz.-Nagy, observe que os operadores de contração têm o disco unitário D como um conjunto espectral, e que os operadores normais com espectro no círculo unitário δD são unitários.

Referências Paulsen, V. (2003). Mapas completamente delimitados e álgebras de operador. Cambridge University Press. Schaffer, J. J. (1955). "Em dilatações unitárias de contrações". Anais da American Mathematical Society. 6 (2): 322. doi:10.2307/2032368. JSTOR 2032368. hide vte Functional analysis (tópicos – glossário) Spaces BanachBesovFréchetHilbertHölderNuclearOrliczSchwartzSobolevtopological vector Properties barrelledcompletedual (algébrico/topológico)locally convexreflexiveseparable Theorems Hahn–BanachRiesz representationclosed graphuniform boundedness principleKakutani fixed-pointKrein–Milmanmin–maxGelfand–NaimarkBanach–Alaoglu Operators adjointboundedcompactHilbert–Schmidtnormalnucleartrace classtransposeunboundedunitary Algebras Banach algebraC*-algebraspectrum of a C*-algebraoperator algebragroup algebra of a locally compact groupvon Neumann algebra Open problems invariant subspace problemMahler's conjecture Applications Hardy spacespectral theory of ordinary differential equationsheat kernelindex theoremcalculus of variationsfunctional calculusintegral operatorJones polynomialtopological quantum field theorynoncommutative geometryRiemann hypothesisdistribution (ou funções generalizadas) Advanced topics approximation propertybalanced setChoquet theoryweak topologyBanach–Mazur distanceTomita–Takesaki theory Categories: Teoria dos operadoresTeoremas em análise funcional