Teorema di dilatazione di Sz.-Nagy

Teorema di dilatazione di Sz.-Nagy Il teorema di dilatazione di Sz.-Nagy (dimostrato da Béla Szőkefalvi-Nagy) afferma che ogni contrazione T su uno spazio di Hilbert H ha una dilatazione unitaria U rispetto a uno spazio di Hilbert K, contenente H, insieme a {stile di visualizzazione T^{n}=P_{H}U^{n}vert_{H},quad ngeq 0.} Inoltre, una tale dilatazione è unica (fino all'equivalenza unitaria) quando si assume che K sia minimo, nel senso che l'estensione lineare di ∪nUnH è densa in K. Quando questa condizione di minimalità vale, U è chiamata dilatazione unitaria minima di T.

Contenuti 1 Prova 2 Forma Schaffer 3 Osservazioni 4 References Proof For a contraction T (cioè., ( {stile di visualizzazione |T|leq 1} ), il suo operatore difetto DT è definito come il (unico) radice quadrata positiva DT = (io - T*T)½. Nel caso speciale che S è un'isometria, DS* è un proiettore e DS=0, quindi il seguente è un Sz. Dilatazione unitaria di Nagy di S con la proprietà di calcolo funzionale polinomiale richiesta: {stile di visualizzazione U={inizio{bmatrice}S&D_{S^{*}}\D_{S}&-S^{*}fine{bmatrice}}.} Tornando al caso generale di contrazione T, ogni contrazione T su uno spazio di Hilbert H ha una dilatazione isometrica, ancora con la proprietà calcolo, Su {displaystyle oplus _{ngq 0}H} dato da {stile di visualizzazione S={inizio{bmatrice}T&0&0&cdots &\D_{T}&0&0&&\0&I&0&ddots \0&0&I&ddots \vdots &&ddots &ddots end{bmatrice}}.} Sostituendo la S così costruita nella precedente dilatazione unitaria Sz.-Nagy con un'isometria S, si ottiene una dilatazione unitaria per una contrazione T: {stile di visualizzazione T^{n}=P_{H}S^{n}vert_{H}=P_{H}(Q_{H'}ouverture _{H'})^{n}vert_{H}=P_{H}U^{n}vert_{H}.} Schaffer form This section needs expansion. Puoi contribuire aggiungendo ad esso. (Giugno 2008) La forma di Schaffer di un Sz. La dilatazione di Nagy può essere vista come un punto di partenza per la caratterizzazione di tutte le dilatazioni unitarie, con la proprietà richiesta, per una data contrazione.

Remarks A generalisation of this theorem, di Berger, Foia e Lebow, mostra che se X è un insieme spettrale per T, e {stile di visualizzazione {matematico {R}}(X)} è un'algebra di Dirichlet, allora T ha una dilatazione δX normale minima, del modulo sopra. Una conseguenza di ciò è che qualsiasi operatore con un insieme spettrale X semplicemente connesso ha una dilatazione δX normale minima.

Per vedere che questo generalizza il teorema di Sz.-Nagy, si noti che gli operatori di contrazione hanno il disco dell'unità D come set spettrale, e che gli operatori normali con spettro nel cerchio unitario δD sono unitari.

Riferimenti Paulsen, V. (2003). Mappe completamente delimitate e algebre degli operatori. Cambridge University Press. Schaffer, J. J. (1955). "Sulle dilatazioni unitarie delle contrazioni". Atti dell'American Mathematical Society. 6 (2): 322. doi:10.2307/2032368. JSTOR 2032368. nascondi vte Analisi funzionale (argomenti – glossario) Spazi BanachBesovFréchetHilbertHölderNucleareOrliczSchwartzSobolevVettore topologico Proprietà barrelledcompletatodual (algebrico/topologico)localmente convessoriflessivoseparabile TeoremiHahn–BanachRieszrappresentazionegrafo chiusoprincipio di limitatezza uniformeKakutani punto fissoKrein–Milmanmin–maxGelfand–NaimarkBanach–Alaoglu Operatori adjointboundedcompactHilbert–Schmidtnormalnucleartrace classtransposeunboundedunitary Algebres Algebra di BanachC*-algebraspettro di un'algebra C*problemi di un operatore algebra localmente compatto di un'algebra di Neumanngruppo compatto di un'algebra di Neumann Problema del sottospazio Congettura di Mahler Applicazioni Spazio di Hardy Teoria spettrale delle equazioni differenziali ordinarie Heat Kernel Teorema dell'indice Calcolo delle variazioni Calcolo funzionale Operatore integrale Polinomio di Jones Teoria dei campi quantistici topologici Geometria non commutativa Ipotesi di Riemann Distribuzione (o funzioni generalizzate) Argomenti avanzati proprietà di approssimazione insieme bilanciato Teoria di Choquet topologia debole Distanza di Banach–Mazur Teoria di Tomita–Takesaki Categorie: Teoria degli operatori Teoremi nell'analisi funzionale