Théorème de dilatation de Sz.-Nagy

Théorème de dilatation de Sz.-Nagy Théorème de dilatation de Sz.-Nagy (prouvé par Béla Szőkefalvi-Nagy) déclare que toute contraction T sur un espace de Hilbert H a une dilatation unitaire U vers un espace de Hilbert K, contenant H, avec {style d'affichage T^{n}=P_{H}U ^{n}verte _{H},quad ngeq 0.} En outre, une telle dilatation est unique (jusqu'à l'équivalence unitaire) quand on suppose que K est minimal, au sens où la plage linéaire de ∪nUnH est dense en K. Lorsque cette condition de minimalité tient, U est appelé la dilatation unitaire minimale de T.

Contenu 1 Preuve 2 Forme de Schaffer 3 Remarques 4 References Proof For a contraction T (c'est à dire., ( {style d'affichage |J|leq 1} ), son opérateur de défaut DT est défini comme étant le (unique) racine carrée positive DT = (je - T*T)½. Dans le cas particulier où S est une isométrie, DS* est un projecteur et DS=0, donc ce qui suit est un Sz. Dilatation unitaire de Nagy de S avec la propriété de calcul fonctionnel polynomial requise: {style d'affichage U={commencer{bmatrice}S&D_{S^{*}}\RÉ_{S}&-S^{*}fin{bmatrice}}.} Revenant au cas général d'une contraction T, toute contraction T sur un espace de Hilbert H a une dilatation isométrique, encore une fois avec la propriété de calcul, sur {style d'affichage oplus _{ngq 0}H} donné par {style d'affichage S={commencer{bmatrice}T&0&0&cdots &\D_{J}&0&0&&\0&I&0&ddots \0&0&I&ddots \vdots &&ddots &ddots end{bmatrice}}.} Substituant le S ainsi construit dans la précédente dilatation unitaire de Sz.-Nagy pour une isométrie S, on obtient une dilatation unitaire pour une contraction T: {style d'affichage T^{n}=P_{H}S^{n}verte _{H}=P_{H}(Q_{H'}Ouverture _{H'})^{n}verte _{H}=P_{H}U ^{n}verte _{H}.} Schaffer form This section needs expansion. Vous pouvez aider en y ajoutant. (Juin 2008) La forme de Schaffer d'un Sz unitaire. La dilatation de Nagy peut être considérée comme un point de départ pour la caractérisation de toutes les dilatations unitaires, avec la propriété requise, pour une contraction donnée.

Remarks A generalisation of this theorem, par Berger, Foias et Lebow, montre que si X est un ensemble spectral pour T, et {style d'affichage {mathématique {R}}(X)} est une algèbre de Dirichlet, alors T a une dilatation δX normale minimale, du formulaire ci-dessus. Une conséquence de ceci est que tout opérateur avec un ensemble spectral X simplement connexe a une dilatation δX normale minimale.

Pour voir que cela généralise le théorème de Sz.-Nagy, notez que les opérateurs de contraction ont le disque unité D comme ensemble spectral, et que les opérateurs normaux de spectre dans le cercle unitaire δD sont unitaires.

Références Paulsen, V. (2003). Cartes complètement bornées et algèbres d'opérateurs. la presse de l'Universite de Cambridge. Schaffer, J. J. (1955). "Sur les dilatations unitaires des contractions". Actes de l'American Mathematical Society. 6 (2): 322. est ce que je:10.2307/2032368. JSTOR 2032368. cacher vte Analyse fonctionnelle (sujets – glossaire) Espaces BanachBesovFréchetHilbertHölderNucléaireOrliczSchwartzSobolevvecteur topologique Propriétés tonneaucomplètedouble (algébrique/topologique)localement convexe réflexif séparable Théorèmes Hahn–Banach Représentation de Riesz graphe fermé principe de délimitation uniforme Kakutani virgule fixeKrein–Milmanmin–maxGelfand–NaimarkBanach–Alaoglu Opérateurs adjointlimitécompactHilbert–Schmidtnormalnucléairetraceclasstransposéillimitéunitaire problème de sous-espaceconjecture de MahlerApplicationsespace de Hardythéorie spectrale des équations différentielles ordinairesnoyau de chaleurthéorème d'indexcalcul des variationscalcul fonctionnelopérateur intégralpolynôme de Jonesthéorie des champs quantiques topologiquesgéométrie non commutativehypothèse de Riemanndistribution (ou fonctions généralisées) Sujets avancés propriété d'approximationensemble équilibréThéorie de Choquettopologie faibleDistance de Banach–MazurThéorie de Tomita–Takesaki Catégories: Théorie des opérateursThéorèmes en analyse fonctionnelle