Dilatationssatz von Sz.-Nagy

Dilatationssatz von Sz.-Nagy Der Dilatationssatz von Sz.-Nagy (bewiesen von Béla Szőkefalvi-Nagy) besagt, dass jede Kontraktion T auf einem Hilbert-Raum H eine einheitliche Dilatation U zu einem Hilbert-Raum K hat, enthält H, mit {Anzeigestil T^{n}=P_{H}U^{n}vert _{H},Quad ngeq 0.} Darüber hinaus, eine solche Dilatation ist einzigartig (bis auf einheitliche Äquivalenz) wenn man annimmt, dass K minimal ist, in dem Sinne, dass die lineare Spannweite von ∪nUnH dicht in K liegt. Wenn diese Minimalitätsbedingung gilt, U heißt die minimale unitäre Dilatation von T.

Inhalt 1 Nachweisen 2 Schaffer Form 3 Bemerkungen 4 References Proof For a contraction T (d.h., ( {Anzeigestil |T|leq 1} ), sein defekter Operator DT ist definiert als der (einzigartig) positive Quadratwurzel DT = (ich - T*T)½. Im Spezialfall, dass S eine Isometrie ist, DS* ist ein Projektor und DS=0, daher ist das Folgende ein Sz. Einheitliche Nagy-Dilatation von S mit der erforderlichen Eigenschaft des Polynomfunktionskalküls: {Anzeigestil U={Start{bMatrix}S&D_{S^{*}}\D_{S}&-S^{*}Ende{bMatrix}}.} Zurück zum allgemeinen Fall einer Kontraktion T, Jede Kontraktion T auf einem Hilbert-Raum H hat eine isometrische Dilatation, wieder mit der Kalküleigenschaft, an {displaystyle oplus _{ngq 0}H} gegeben von {Anzeigestil S={Start{bMatrix}T&0&0&cdots &\D_{T}&0&0&&\0&I&0&ddots \0&0&I&ddots \vdots &&ddots &ddots end{bMatrix}}.} Ersetzen des so konstruierten S in die vorherige Sz.-Nagy-Einheitsdilatation durch eine Isometrie S, man erhält eine einheitliche Dilatation für eine Kontraktion T: {Anzeigestil T^{n}=P_{H}S^{n}vert _{H}=P_{H}(Q_{H'}Ouvertüre _{H'})^{n}vert _{H}=P_{H}U^{n}vert _{H}.} Schaffer form This section needs expansion. Sie können helfen, indem Sie etwas hinzufügen. (Juni 2008) Die Schaffer-Form einer einheitlichen Sz. Die Nagy-Dilatation kann als Ausgangspunkt für die Charakterisierung aller unitären Dilatationen angesehen werden, mit der erforderlichen Eigenschaft, für eine gegebene Kontraktion.

Remarks A generalisation of this theorem, von Berger, Foias und Lebow, zeigt, dass wenn X eine Spektralmenge für T ist, und {Anzeigestil {mathematisch {R}}(X)} ist eine Dirichlet-Algebra, dann hat T eine minimale normale δX-Dilatation, des obigen Formulars. Eine Folge davon ist, dass jeder Operator mit einer einfach zusammenhängenden Spektralmenge X eine minimale normale δX-Dilatation hat.

Zu sehen, dass dies den Satz von Sz.-Nagy verallgemeinert, Beachten Sie, dass Kontraktionsoperatoren die Einheitsscheibe D als Spektralmenge haben, und dass normale Operatoren mit Spektrum im Einheitskreis δD unitär sind.

Referenzen Paulsen, v. (2003). Vollständig begrenzte Abbildungen und Operatoralgebren. Cambridge University Press. Schaffer, J. J. (1955). "Ueber unitäre Wehendehnungen". Verfahren der American Mathematical Society. 6 (2): 322. doi:10.2307/2032368. JSTOR 2032368. verbergen vte Funktionsanalyse (Themen – Glossar) Leerzeichen BanachBesovFréchetHilbertHölderNuclearOrliczSchwartzSobolevtopological vector Properties barrelledcompletedual (algebraisch/topologisch)lokal konvexreflexivseparable Theoreme Hahn-BanachRiesz-Darstellunggeschlossener Graphgleichmäßiges BeschränktheitsprinzipKakutani-FixpunktKrein–Milmanmin–maxGelfand–NaimarkBanach–Alaoglu Operatoren adjointboundcompactHilbert–Schmidtnormalnucleartrace classtransposeunboundedunitary Algebren Banach-AlgebraC*-AlgebraSpektrum einer C*-AlgebraOperator-Algebravon Gruppenalgebra einer lokalvariant-kompakten Gruppe SubraumproblemMahlersche Vermutung Anwendungen Hardy-RaumSpektraltheorie gewöhnlicher DifferentialgleichungenWärmekernindexsatzVariationsrechnungFunktionsrechnungIntegraloperatorJones-PolynomTopologische QuantenfeldtheorieNichtkommutative GeometrieRiemann-HypotheseVerteilung (oder verallgemeinerte Funktionen) Fortgeschrittene Themen Approximation PropertyBalanced SetChoquet-TheorieSchwache TopologieBanach-Mazur-AbstandTomita-Takesaki-Theorie Kategorien: OperatortheorieTheoreme in der Funktionalanalysis