Teorema de Synge

Teorema de Synge Em matemática, geometria especificamente riemanniana, O teorema de Synge é um resultado clássico relacionando a curvatura de uma variedade Riemanniana à sua topologia. É nomeado para John Lighton Synge, quem provou isso em 1936.

Teorema e esboço da prova Seja M uma variedade Riemanniana fechada com curvatura seccional positiva. O teorema afirma: Se M é de dimensão par e orientável, então M é simplesmente conexo. Se M é de dimensão ímpar, então é orientável.

Em particular, uma variedade fechada de dimensão par pode suportar uma métrica Riemanniana positivamente curvada somente se seu grupo fundamental tiver um ou dois elementos.

A prova do teorema de Synge pode ser resumida como segue.[1] Dada uma geodésica S1 → M com um campo vetorial ortogonal e paralelo ao longo da geodésica (ou seja. uma seção paralela do fibrado normal à geodésica), então o cálculo anterior de Synge da segunda fórmula de variação para comprimento de arco mostra imediatamente que a geodésica pode ser deformada de modo a encurtar seu comprimento. A única ferramenta usada nesta fase é a suposição de curvatura seccional.

A construção de um campo vetorial paralelo ao longo de qualquer caminho é automática via transporte paralelo; a não trivialidade no caso de um loop é se os valores nas extremidades coincidem. Isso se reduz a um problema de álgebra linear pura: seja V um espaço de produto interno real de dimensão finita com T: V → V um mapa linear ortogonal com um autovetor v com autovalor um. Se o determinante de T for positivo e a dimensão de V for par, ou alternativamente se o determinante de T for negativo e a dimensão de V for ímpar, então existe um autovetor w de T com autovalor um que é ortogonal a v. No contexto, V é o espaço tangente a M em um ponto de um loop geodésico, T é o mapa de transporte paralelo definido pelo loop, e v é o vetor tangente à geodésica.

Dado qualquer laço não contrátil em uma variedade Riemanniana completa, há um representante de sua (gratuitamente) classe de homotopia que tem comprimento de arco mínimo possível, e é uma geodésica.[2] De acordo com o cálculo de Synge, isso implica que não pode haver um campo vetorial paralelo e ortogonal ao longo desta geodésica. No entanto: Orientabilidade implica que o mapa de transporte paralelo ao longo de cada loop tem determinante positivo. A dimensão par implica então a existência de um campo vetorial paralelo, ortogonal à geodésica. A não orientabilidade implica que o loop não contrátil pode ser escolhido de modo que o mapa de transporte paralelo tenha determinante negativo. A dimensionalidade ímpar implica então a existência de um campo vetorial paralelo, ortogonal à geodésica.

Esta contradição estabelece a inexistência de laços não contráteis no primeiro caso, e a impossibilidade de não orientabilidade no último caso.

Alan Weinstein mais tarde reformulou a prova para estabelecer pontos fixos de isometrias, em vez de propriedades topológicas da variedade subjacente.[3] Referências ^ do Carmo 1992, Seção 9.3; Jost 2017, Teorema 6.1.2; Petersen 2016, Seção 6.3.2. ^ Jost 2017, Teorema 1.5.1. ^ do Carmo 1992, Teorema 9.3.7.

Fontes.

do Carmo, Manfredo Perdigão (1992). Geometria Riemanniana. Matemática: Theory & Applications (Traduzido da segunda edição portuguesa de 1979 original ed.). Boston, MA: Birkhäuser Boston. ISBN 978-0-8176-3490-2. MR 1138207. Zbl 0752.53001. Jost, Jürgen (2017). Geometria Riemanniana e Análise Geométrica. Universittext (Sétima edição do 1995 original ed.). Springer, Cham. doi:10.1007/978-3-319-61860-9. ISBN 978-3-319-61859-3. MR 3726907. Zbl 1380.53001. Petersen, Peter (2016). Geometria Riemanniana. Textos de Graduação em Matemática. Volume. 171 (Terceira edição do 1998 original ed.). Springer, Cham. doi:10.1007/978-3-319-26654-1. ISBN 978-3-319-26652-7. MR 3469435. Zbl 1417.53001. Synge, John Lighton (1936). "Sobre a conectividade de espaços de curvatura positiva". Revista Trimestral de Matemática. Série Oxford. 7 (1): 316-320. doi:10.1093/qmath/os-7.1.316. JFM 62.0861.04. Zbl 0015.41601.

Este artigo sobre geometria diferencial é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-a.

Categorias: Teoremas em Geometria RiemannianaTocos de Geometria Diferencial