Il teorema di Synge

Il teorema di Synge In matematica, in particolare la geometria riemanniana, Il teorema di Synge è un classico risultato che mette in relazione la curvatura di una varietà di Riemann con la sua topologia. Prende il nome da John Lighton Synge, chi l'ha dimostrato 1936.

Teorema e schema di dimostrazione Sia M una varietà riemanniana chiusa con curvatura in sezione positiva. Il teorema afferma: Se M è pari e orientabile, allora M è semplicemente connesso. Se M è di dimensione dispari, allora è orientabile.

In particolare, una varietà chiusa di dimensione pari può supportare una metrica riemanniana curva positivamente solo se il suo gruppo fondamentale ha uno o due elementi.

La dimostrazione del teorema di Synge può essere riassunta come segue.[1] Data una geodetica S1 → M con un campo vettoriale ortogonale e parallelo lungo la geodetica (cioè. una sezione parallela del fascio normale alla geodetica), quindi il precedente calcolo di Synge della seconda formula di variazione per la lunghezza d'arco mostra immediatamente che la geodetica può essere deformata in modo da accorciarne la lunghezza. L'unico strumento utilizzato in questa fase è l'ipotesi sulla curvatura della sezione.

La costruzione di un campo vettoriale parallelo lungo qualsiasi percorso è automatica tramite il trasporto parallelo; la non banalità nel caso di un ciclo è se i valori agli estremi coincidono. Questo si riduce a un problema di pura algebra lineare: sia V uno spazio prodotto interno reale a dimensione finita con T: V → V una mappa lineare ortogonale con un autovettore v con autovalore uno. Se il determinante di T è positivo e la dimensione di V è pari, o in alternativa se il determinante di T è negativo e la dimensione di V è dispari, allora esiste un autovettore w di T con autovalore uno che è ortogonale a v. Nel contesto, V è lo spazio tangente a M in un punto di un anello geodetico, T è la mappa di trasporto parallela definita dall'anello, e v è il vettore tangente alla geodetica.

Dato qualsiasi ciclo non contrattabile in una varietà riemanniana completa, c'è un suo rappresentante (gratuito) classe di omotopia che ha una lunghezza d'arco minima possibile, ed è una geodetica.[2] Secondo il calcolo di Synge, ciò implica che non può esserci un campo vettoriale parallelo e ortogonale lungo questa geodetica. Tuttavia: L'orientabilità implica che la mappa di trasporto parallelo lungo ogni anello abbia determinante positivo. La dimensionalità uniforme implica quindi l'esistenza di un campo vettoriale parallelo, ortogonale alla geodetica. La non orientabilità implica che l'anello non contraibile può essere scelto in modo che la mappa di trasporto parallelo abbia determinante negativo. La bidimensionalità implica quindi l'esistenza di un campo vettoriale parallelo, ortogonale alla geodetica.

Questa contraddizione stabilisce nel primo caso l'inesistenza di anelli non contrattabili, e l'impossibilità di non orientabilità in quest'ultimo caso.

Alan Weinstein ha successivamente riformulato la dimostrazione in modo da stabilire punti fissi di isometrie, piuttosto che le proprietà topologiche della varietà sottostante.[3] Riferimenti ^ do Carmo 1992, Sezione 9.3; Jost 2017, Teorema 6.1.2; Petersen 2016, Sezione 6.3.2. ^ Jost 2017, Teorema 1.5.1. ^ fai Carmo 1992, Teorema 9.3.7.

Fonti.

fai Carmo, Manfredo Perdigao (1992). Geometria riemanniana. Matematica: Theory & Applications (Tradotto dalla seconda edizione portoghese di 1979 original ed.). Boston, MA: Birkhäuser Boston. ISBN 978-0-8176-3490-2. SIG 1138207. Zbl 0752.53001. Jost, Jurgen (2017). Geometria riemanniana e analisi geometrica. Universitext (Settima edizione di 1995 original ed.). Springer, Cham. doi:10.1007/978-3-319-61860-9. ISBN 978-3-319-61859-3. SIG 3726907. Zbl 1380.53001. Petersen, Peter (2016). Geometria riemanniana. Testi di laurea in Matematica. vol. 171 (Terza edizione di 1998 original ed.). Springer, Cham. doi:10.1007/978-3-319-26654-1. ISBN 978-3-319-26652-7. SIG 3469435. Zbl 1417.53001. Synge, John Lighton (1936). "Sulla connettività degli spazi di curvatura positiva". Rivista trimestrale di matematica. Serie Oxford. 7 (1): 316–320. doi:10.1093/qmath/os-7.1.316. JFM 62.0861.04. Zbl 0015.41601.

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