Théorème de Synge

Théorème de Synge En mathématiques, géométrie spécifiquement riemannienne, Le théorème de Synge est un résultat classique reliant la courbure d'une variété riemannienne à sa topologie. Il porte le nom de John Lighton Synge, qui l'a prouvé dans 1936.

Théorème et esquisse de preuve Soit M une variété riemannienne fermée à courbure sectionnelle positive. Le théorème affirme: Si M est de dimension paire et orientable, alors M est simplement connexe. Si M est de dimension impaire, alors c'est orientable.

En particulier, une variété fermée de dimension paire ne peut supporter une métrique riemannienne à courbure positive que si son groupe fondamental a un ou deux éléments.

La preuve du théorème de Synge peut être résumée comme suit.[1] Soit une géodésique S1 → M avec un champ vectoriel orthogonal et parallèle le long de la géodésique (c'est à dire. une section parallèle du fibré normal à la géodésique), alors le calcul antérieur de Synge de la deuxième formule de variation pour la longueur d'arc montre immédiatement que la géodésique peut être déformée de manière à raccourcir sa longueur. Le seul outil utilisé à ce stade est l'hypothèse sur la courbure de la section.

La construction d'un champ vectoriel parallèle le long de n'importe quel chemin est automatique via le transport parallèle; la non trivialité dans le cas d'une boucle est de savoir si les valeurs aux extrémités coïncident. Cela se ramène à un problème d'algèbre linéaire pure: soit V un espace de produit intérieur réel de dimension finie avec T: V → V une application linéaire orthogonale avec un vecteur propre v de valeur propre un. Si le déterminant de T est positif et la dimension de V est paire, ou bien si le déterminant de T est négatif et la dimension de V est impaire, alors il existe un vecteur propre w de T avec une valeur propre orthogonale à v. Dans le contexte, V est l'espace tangent à M en un point d'une boucle géodésique, T est la carte de transport parallèle définie par la boucle, et v est le vecteur tangent à la géodésique.

Étant donné toute boucle non contractile dans une variété riemannienne complète, il y a un représentant de son (libre) classe d'homotopie qui a une longueur d'arc possible minimale, et c'est une géodésique.[2] Selon le calcul de Synge, cela implique qu'il ne peut y avoir de champ vectoriel parallèle et orthogonal le long de cette géodésique. Cependant: L'orientabilité implique que la carte de transport parallèle le long de chaque boucle a un déterminant positif. La dimension paire implique alors l'existence d'un champ vectoriel parallèle, orthogonal à la géodésique. La non-orientabilité implique que la boucle non contractile peut être choisie de sorte que la carte de transport parallèle ait un déterminant négatif. La dimensionnalité impaire implique alors l'existence d'un champ vectoriel parallèle, orthogonal à la géodésique.

Cette contradiction établit l'inexistence de boucles non contractiles dans le premier cas, et l'impossibilité de non-orientabilité dans ce dernier cas.

Alan Weinstein a ensuite reformulé la preuve afin d'établir des points fixes d'isométries, plutôt que des propriétés topologiques de la variété sous-jacente.[3] Références ^ do Carmo 1992, Section 9.3; Jost 2017, Théorème 6.1.2; Peterson 2016, Section 6.3.2. ^ Jost 2017, Théorème 1.5.1. ^ faire Carmo 1992, Théorème 9.3.7.

Sources.

faire Carmo, Manfredo Perdigão (1992). Géométrie riemannienne. Mathématiques: Theory & Applications (Traduit de la deuxième édition portugaise de 1979 original ed.). Boston, MA: Birkhauser Boston. ISBN 978-0-8176-3490-2. M 1138207. Zbl 0752.53001. Jost, Jürgen (2017). Géométrie riemannienne et analyse géométrique. Universitext (Septième édition de 1995 original ed.). Springer, Cham. est ce que je:10.1007/978-3-319-61860-9. ISBN 978-3-319-61859-3. M 3726907. Zbl 1380.53001. Peterson, Pierre (2016). Géométrie riemannienne. Textes d'études supérieures en mathématiques. Volume. 171 (Troisième édition de 1998 original ed.). Springer, Cham. est ce que je:10.1007/978-3-319-26654-1. ISBN 978-3-319-26652-7. M 3469435. Zbl 1417.53001. syngé, Jean Lighton (1936). "De la connectivité des espaces à courbure positive". Revue trimestrielle de mathématiques. Série Oxford. 7 (1): 316–320. est ce que je:10.1093/qmath/os-7.1.316. JFM 62.0861.04. Zbl 0015.41601.

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