Satz von Synge

Der Satz von Synge in der Mathematik, speziell Riemannsche Geometrie, Der Satz von Synge ist ein klassisches Ergebnis, das die Krümmung einer Riemannschen Mannigfaltigkeit mit ihrer Topologie in Beziehung setzt. Es ist nach John Lighton Synge benannt, der es bewiesen hat 1936.

Satz und Beweisskizze Sei M eine geschlossene Riemannsche Mannigfaltigkeit mit positiver Schnittkrümmung. Der Satz behauptet: Wenn M geradedimensional und orientierbar ist, dann ist M einfach zusammenhängend. Wenn M ungeraddimensional ist, dann ist es orientierbar.

Im Speziellen, Eine geschlossene Mannigfaltigkeit mit gerader Dimension kann eine positiv gekrümmte Riemannsche Metrik nur dann unterstützen, wenn ihre Grundgruppe ein oder zwei Elemente hat.

Der Beweis des Satzes von Synge kann wie folgt zusammengefasst werden.[1] Gegeben sei eine Geodäte S1 → M mit einem orthogonalen und parallelen Vektorfeld entlang der Geodäte (d.h. ein Parallelschnitt des Normalbündels zur Geodätischen), dann zeigt Synges frühere Berechnung der zweiten Variationsformel für die Bogenlänge sofort, dass die Geodäte deformiert werden kann, um ihre Länge zu verkürzen. Das einzige Werkzeug, das in diesem Stadium verwendet wird, ist die Annahme über die Schnittkrümmung.

Der Aufbau eines parallelen Vektorfeldes entlang beliebiger Pfade erfolgt automatisch über parallelen Transport; die Nichttrivialität im Fall einer Schleife besteht darin, ob die Werte an den Endpunkten übereinstimmen. Dies reduziert sich auf ein Problem der reinen linearen Algebra: sei V ein endlichdimensionaler reeller innerer Produktraum mit T: V → V eine orthogonale lineare Abbildung mit einem Eigenvektor v mit Eigenwert eins. Wenn die Determinante von T positiv und die Dimension von V gerade ist, oder alternativ, wenn die Determinante von T negativ und die Dimension von V ungerade ist, dann gibt es einen Eigenvektor w von T mit Eigenwert Eins, der orthogonal zu v ist. Im Zusammenhang, V ist der Tangentialraum zu M an einem Punkt einer geodätischen Schleife, T ist die durch die Schleife definierte parallele Transportkarte, und v ist der Tangentenvektor an die Geodäte.

Gegeben sei eine nicht kontrahierbare Schleife in einer vollständigen Riemannschen Mannigfaltigkeit, es gibt einen Vertreter von ihr (frei) Homotopieklasse mit minimal möglicher Bogenlänge, und es ist eine Geodäte.[2] Nach Synges Berechnung, Dies impliziert, dass es entlang dieser Geodäte kein paralleles und orthogonales Vektorfeld geben kann. Jedoch: Orientierbarkeit impliziert, dass die parallele Transportkarte entlang jeder Schleife eine positive Determinante hat. Gerade Dimensionalität impliziert dann die Existenz eines parallelen Vektorfeldes, orthogonal zur Geodätischen. Nicht-Orientierbarkeit impliziert, dass die nicht-kontrahierbare Schleife so gewählt werden kann, dass die parallele Transportkarte eine negative Determinante hat. Ungerade Dimensionalität impliziert dann die Existenz eines parallelen Vektorfeldes, orthogonal zur Geodätischen.

Dieser Widerspruch begründet die Nichtexistenz nicht kontrahierbarer Schleifen im ersten Fall, und die Unmöglichkeit der Nicht-Orientierbarkeit im letzteren Fall.

Alan Weinstein formulierte den Beweis später um, um Fixpunkte von Isometrien festzulegen, eher als topologische Eigenschaften der zugrunde liegenden Mannigfaltigkeit.[3] Referenzen ^ tun Carmo 1992, Abschnitt 9.3; Jost 2017, Satz 6.1.2; Petersen 2016, Abschnitt 6.3.2. ^ Jost 2017, Satz 1.5.1. ^ Mach Carmo 1992, Satz 9.3.7.

Quellen.

Mach Carmo, Manfredo Perdigão (1992). Riemannsche Geometrie. Mathematik: Theory & Applications (Übersetzt aus der zweiten portugiesischen Ausgabe von 1979 original ed.). Boston, MA: Birkhäuser Boston. ISBN 978-0-8176-3490-2. HERR 1138207. Zbl 0752.53001. Jost, Jürgen (2017). Riemannsche Geometrie und geometrische Analysis. Universitätstext (Siebte Auflage der 1995 original ed.). Springer, Cham. doi:10.1007/978-3-319-61860-9. ISBN 978-3-319-61859-3. HERR 3726907. Zbl 1380.53001. Petersen, Peter (2016). Riemannsche Geometrie. Abschlusstexte in Mathematik. Vol. 171 (Dritte Auflage von 1998 original ed.). Springer, Cham. doi:10.1007/978-3-319-26654-1. ISBN 978-3-319-26652-7. HERR 3469435. Zbl 1417.53001. Synge, John Lichton (1936). "Über den Zusammenhang von Räumen positiver Krümmung". Vierteljährliche Zeitschrift für Mathematik. Oxford-Reihe. 7 (1): 316–320. doi:10.1093/qmath/os-7.1.316. JFM 62.0861.04. Zbl 0015.41601.

Dieser Artikel zum Thema Differentialgeometrie ist ein Stummel. Sie können Wikipedia helfen, indem Sie es erweitern.

Kategorien: Sätze in der Riemannschen GeometrieDifferentialgeometrie Stubs