Teorema di Sylvester-Pot

Sylvester–Gallai theorem Three of the ordinary lines in a 4 × 4 grid of points The Sylvester–Gallai theorem in geometry states that every finite set of points in the Euclidean plane has a line that passes through exactly two of the points or a line that passes through all of them. Prende il nome da James Joseph Sylvester, chi lo ha posto come un problema in 1893, e Tibor Gallai, che pubblicò una delle prime dimostrazioni di questo teorema in 1944.

Una linea che contiene esattamente due di un insieme di punti è nota come linea ordinaria. Un altro modo per enunciare il teorema è che ogni insieme finito di punti che non è collineare ha una retta ordinaria. Secondo un rafforzamento del teorema, ogni insieme di punti finiti (non tutti su una riga) ha almeno un numero lineare di linee ordinarie. Un algoritmo può trovare una riga ordinaria in un insieme di {stile di visualizzazione n} punti nel tempo {stile di visualizzazione O(affitto n)} .

Contenuti 1 Storia 2 Versioni equivalenti 3 Prove 3.1 La prova di Kelly 3.2 La prova di Melchiorre 3.2.1 La disuguaglianza di Melchiorre 3.3 assiomatica 4 Trovare una linea ordinaria 5 Il numero di righe ordinarie 6 Il numero di linee di collegamento 7 generalizzazioni 7.1 Punti colorati 7.2 Coordinate non reali 7.3 Matroidi 7.4 Geometria della distanza 8 Appunti 9 Riferimenti 10 External links History The Sylvester–Gallai theorem was posed as a problem by J. J. Silvestro (1893). Kelly (1986) suggerisce che Sylvester potrebbe essere stato motivato da un fenomeno correlato nella geometria algebrica, in cui i punti di flesso di una curva cubica nel piano proiettivo complesso formano una configurazione di nove punti e dodici linee (la configurazione dell'Assia) in cui ogni linea determinata da due dei punti contiene un terzo punto. Il teorema di Sylvester-Gallai implica che è impossibile che tutti e nove questi punti abbiano coordinate reali.[1] H. J. Woodall (1893un, 1893b) ha affermato di avere una breve dimostrazione del teorema di Sylvester-Gallai, ma era già stato rilevato come incompleto al momento della pubblicazione. Eberhard Melchior (1941) dimostrato il teorema (e in realtà un risultato leggermente più forte) in una formulazione equivalente, il suo duale proiettivo. Ignaro della prova di Melchiorre,[2] Paul Erdős (1943) ribadito la congettura, che fu successivamente dimostrato da Tibor Gallai, e subito dopo da altri autori.[3] In un 1951 revisione, Erdős ha chiamato il risultato "Il teorema di potrebbe",[4] ma era già chiamato teorema di Sylvester-Gallai in a 1954 recensione di Leonard Blumenthal.[5] È uno dei tanti argomenti matematici che prendono il nome da Silvestro.

Equivalent versions The question of the existence of an ordinary line can also be posed for points in the real projective plane RP2 instead of the Euclidean plane. Il piano proiettivo può essere formato dal piano euclideo aggiungendo punti extra "all'infinito" dove le rette parallele nel piano euclideo si intersecano, e aggiungendo una singola riga "all'infinito" contenente tutti i punti aggiunti. Tuttavia, i punti aggiuntivi del piano proiettivo non possono aiutare a creare insiemi di punti finiti non euclidei senza retta ordinaria, poiché qualsiasi punto finito impostato nel piano proiettivo può essere trasformato in un insieme di punti euclideo con lo stesso schema combinatorio di incidenze di punti lineari. Perciò, qualsiasi schema di un numero finito di punti e linee che si intersecano che esiste in uno di questi due tipi di piano esiste anche nell'altro. Tuttavia, il punto di vista proiettivo permette di descrivere più facilmente alcune configurazioni. In particolare, permette l'uso della dualità proiettiva, in cui i ruoli di punti e linee in affermazioni di geometria proiettiva possono essere scambiati l'uno con l'altro. Sotto dualità proiettiva, l'esistenza di una retta ordinaria per un insieme di punti non collineari in RP2 equivale all'esistenza di un punto ordinario in una disposizione non banale di un numero finito di rette. Una disposizione si dice banale quando tutte le sue linee passano per un punto comune, e non banale altrimenti; un punto ordinario è un punto che appartiene esattamente a due rette.[2] Il dodecaedro allungato, uno zonoedro. Le sue otto facce rosse a parallelogramma corrispondono a punti ordinari di una disposizione a cinque linee; una forma equivalente del teorema di Sylvester-Gallai afferma che ogni zonoedro ha almeno una faccia di parallelogramma.

Le disposizioni delle linee hanno una struttura combinatoria strettamente connessa agli zonoedri, poliedri formati come somma di Minkowski di un insieme finito di segmenti di linea, chiamati generatori. In questa connessione, ogni coppia di facce opposte di uno zonoedro corrisponde a un punto di intersezione di una disposizione di linee nel piano proiettivo, con una linea per ogni generatore. Il numero di lati di ciascuna faccia è il doppio del numero di linee che si incrociano nella disposizione. Per esempio, il dodecaedro allungato mostrato è uno zonoedro con cinque generatori, due coppie di facce esagonali opposte, e quattro paia di facce di parallelogramma opposte. Nella corrispondente disposizione a cinque righe, due triple di linee si incrociano (corrispondente alle due coppie di esagoni opposti) e le restanti quattro coppie di linee si incrociano in punti ordinari (corrispondente alle quattro coppie di parallelogrammi opposti). Un'affermazione equivalente del teorema di Sylvester-Gallai, in termini di zonoedri, è che ogni zonoedro ha almeno una faccia di parallelogramma (contare i rettangoli, rombi, e quadrati come casi speciali di parallelogrammi). Più fortemente, ogni volta che set di {stile di visualizzazione n} si può garantire che almeno i punti nel piano abbiano {stile di visualizzazione t_{2}(n)} linee ordinarie, zonoedri con {stile di visualizzazione n} si può garantire che almeno i generatori abbiano {stile di visualizzazione 2t_{2}(n)} facce di parallogramma.[6] Proofs The Sylvester–Gallai theorem has been proved in many different ways. Potrebbe 1944 la prova passa avanti e indietro tra la geometria euclidea e quella proiettiva, al fine di trasformare i punti in una configurazione equivalente in cui una linea ordinaria può essere trovata come una linea di pendenza più vicina allo zero; per dettagli, see Borwein & Moser (1990). Il 1941 la dimostrazione di Melchior usa la dualità proiettiva per convertire il problema in una domanda equivalente sulla disposizione delle linee, a cui si può rispondere usando la formula poliedrica di Eulero. Un'altra prova di Leroy Milton Kelly mostra per assurdo che la linea di collegamento con la distanza minima diversa da zero da un altro punto deve essere ordinaria. E, seguendo una precedente dimostrazione di Steinberg, H. S. M. Coxeter ha mostrato che i concetti metrici di pendenza e distanza che appaiono nelle dimostrazioni di Gallai e Kelly sono inutilmente potenti, dimostrare invece il teorema usando solo gli assiomi della geometria ordinata.

Kelly's proof Notation for Kelly's proof This proof is by Leroy Milton Kelly. Aigner & Ziegler (2018) chiamalo "semplicemente il migliore" delle numerose dimostrazioni di questo teorema.[7] Supponiamo che un insieme finito {stile di visualizzazione S} di punti non è tutto collineare. Definire una linea di collegamento come una linea che contiene almeno due punti nella raccolta. Per finitezza, {stile di visualizzazione S} deve avere ragione {stile di visualizzazione P} e una linea di collegamento {stile di visualizzazione ell } che sono a una distanza positiva ma sono più vicine di tutte le altre coppie di punti. Kelly lo ha dimostrato {stile di visualizzazione ell } è ordinario, per assurdo.[7] Supponi che {stile di visualizzazione ell } non è ordinario. Quindi passa attraverso almeno tre punti di {stile di visualizzazione S} . Almeno due di questi sono sullo stesso lato di {stile di visualizzazione P'} , la proiezione perpendicolare di {stile di visualizzazione P} Su {stile di visualizzazione ell } . Chiamali {stile di visualizzazione B} e {stile di visualizzazione C} , insieme a {stile di visualizzazione B} essere più vicino a {stile di visualizzazione P'} (ed eventualmente coincidente con esso). Disegna la linea di collegamento {stile di visualizzazione m} Passare attraverso {stile di visualizzazione P} e {stile di visualizzazione C} , e la perpendicolare da {stile di visualizzazione B} a {stile di visualizzazione B'} Su {stile di visualizzazione m} . Quindi {stile di visualizzazione BB'} è più breve di {stile di visualizzazione PP'} . Ciò deriva dal fatto che {stile di visualizzazione PP'C} e {stile di visualizzazione BB'C} sono triangoli simili, uno contenuto dentro l'altro.[7] Tuttavia, questo contraddice la definizione originale di {stile di visualizzazione P} e {stile di visualizzazione ell } come la coppia punto-retta con la distanza positiva più piccola. Quindi l'ipotesi che {stile di visualizzazione ell } non è ordinario non può essere vero, È[7] Melchior's proof In 1941 (così, prima che Erdős pubblicasse la domanda e la successiva prova di Gallai) Melchior ha mostrato che qualsiasi disposizione finita non banale di linee nel piano proiettivo ha almeno tre punti ordinari. Per dualità, questo risultato dice anche che qualsiasi insieme finito non banale di punti sul piano ha almeno tre linee ordinarie.[8] Melchiorre lo osservò, per qualsiasi grafo incorporato nel piano proiettivo reale, la formula {stile di visualizzazione V-MI+F} deve essere uguale {stile di visualizzazione 1} , la caratteristica di Eulero del piano proiettivo. Qui {stile di visualizzazione V} , {stile di visualizzazione E} , e {stile di visualizzazione F} sono il numero di vertici, bordi, e facce del grafico, rispettivamente. Qualsiasi disposizione di linea non banale sul piano proiettivo definisce un grafico in cui ciascuna faccia è delimitata da almeno tre spigoli, e ogni bordo delimita due facce; Così, il doppio conteggio dà la disuguaglianza aggiuntiva {displaystyle Fleq 2E/3} . Usando questa disuguaglianza per eliminare {stile di visualizzazione F} dalla caratteristica di Eulero porta alla disuguaglianza {visualizzare Eleq 3V-3} . Ma se ogni vertice della disposizione fosse il punto di intersezione di tre o più linee, quindi il numero totale di bordi sarebbe almeno {visualizza 3V} , contraddicendo questa disuguaglianza. Perciò, alcuni vertici devono essere il punto di intersezione di due sole rette, e come mostra l'analisi più attenta di Melchior, almeno tre vertici ordinari sono necessari per soddisfare la disuguaglianza {visualizzare Eleq 3V-3} .[8] As Aigner & Ziegler (2018) Nota, lo stesso argomento per l'esistenza di un vertice ordinario è stato anche dato 1944 di Norman Steenrod, che lo ha applicato esplicitamente al problema della doppia linea ordinaria.[9] Melchior's inequality By a similar argument, Melchiorre riuscì a dimostrare un risultato più generale. Per ogni {displaystyle kgeq 2} , permettere {stile di visualizzazione t_{K}} essere il numero di punti a cui {stile di visualizzazione k} le linee sono incidenti. Quindi[8] {displaystyle displaystyle somma _{kgq 2}(k-3)t_{K}leq -3.} o in modo equivalente, {stile di visualizzazione stile di visualizzazione t_{2}geqslant 3+somma _{kgq 4}(k-3)t_{K}.} Axiomatics H. S. M. Coxeter (1948, 1969) scrive della prova di Kelly che il suo uso della distanza euclidea è inutilmente potente, "come usare una mazza per rompere una mandorla". Invece, Coxeter ha fornito un'altra dimostrazione del teorema di Sylvester-Gallai all'interno della geometria ordinata, un'assiomatizzazione della geometria in termini di interconnessione che include non solo la geometria euclidea ma molte altre geometrie correlate.[10] La dimostrazione di Coxeter è una variazione di una precedente dimostrazione data da Steinberg in 1944.[11] Il problema di trovare un insieme minimo di assiomi necessari per dimostrare il teorema appartiene alla matematica inversa; vedi Pambucciano (2009) per uno studio di questa domanda.

La solita affermazione del teorema di Sylvester-Gallai non è valida in analisi costruttiva, poiché implica il principio minore limitato dell'onniscienza, una forma indebolita della legge del terzo escluso che viene rifiutata come assioma della matematica costruttiva. Tuttavia, è possibile formulare una versione del teorema di Sylvester-Gallai che sia valida all'interno degli assiomi dell'analisi costruttiva, e di adattare la dimostrazione di Kelly del teorema in modo che sia una dimostrazione valida sotto questi assiomi.[12] Finding an ordinary line Kelly's proof of the existence of an ordinary line can be turned into an algorithm that finds an ordinary line by searching for the closest pair of a point and a line through two other points. Mukhopadhyay & Greene (2012) segnala il tempo per questa ricerca della coppia più vicina come {stile di visualizzazione O(n^{3})} , basato su una ricerca a forza bruta di tutte le triple di punti, ma un algoritmo per trovare il punto dato più vicino a ciascuna linea per due punti dati, in tempo {stile di visualizzazione O(n^{2})} , was given earlier by Edelsbrunner & Guibas (1989), come subroutine per trovare il triangolo di area minima determinato da tre di un dato insieme di punti. The same paper of Edelsbrunner & Guibas (1989) mostra anche come costruire la doppia disposizione delle linee ai punti dati (come usato nella dimostrazione di Melchior e Steenrod) allo stesso tempo, {stile di visualizzazione O(n^{2})} , da cui è possibile identificare tutti i vertici ordinari e tutte le rette ordinarie. Muchopadhyay, Agrawal & Hosabettu (1997) per prima cosa ha mostrato come trovare una singola riga ordinaria (non necessariamente quello della dimostrazione di Kelly) in tempo {stile di visualizzazione O(affitto n)} , and a simpler algorithm with the same time bound was described by Mukhopadhyay & Greene (2012).

The algorithm of Mukhopadhyay & Greene (2012) si basa sulla dimostrazione di Coxeter utilizzando la geometria ordinata. Esegue i seguenti passaggi: Scegli un punto {stile di visualizzazione p_{0}} cioè un vertice dello scafo convesso dei punti dati. Costruisci una linea {stile di visualizzazione ell _{0}} che passa {stile di visualizzazione p_{0}} e per il resto rimane fuori dallo scafo convesso. Ordina gli altri punti dati in base all'angolo con cui formano {stile di visualizzazione p_{0}} , raggruppando punti che formano lo stesso angolo. Se uno qualsiasi dei punti è solo nel suo gruppo, quindi restituisci la retta ordinaria attraverso quel punto e {stile di visualizzazione p_{0}} . Per ogni due gruppi di punti consecutivi, nella sequenza ordinata in base ai loro angoli, formare due righe, ognuno dei quali passa per il punto più vicino a {stile di visualizzazione p_{0}} in un gruppo e dal punto più lontano {stile di visualizzazione p_{0}} nell'altro gruppo. Per ogni riga {stile di visualizzazione ell _{io}} nell'insieme delle linee così formate, trova il punto di intersezione di {stile di visualizzazione ell _{io}} insieme a {stile di visualizzazione ell _{0}} Ritorna la linea {stile di visualizzazione ell _{io}} il cui punto di intersezione con {stile di visualizzazione ell _{0}} è il più vicino a {stile di visualizzazione p_{0}} .

Come dimostrano gli autori, la riga restituita da questo algoritmo deve essere ordinaria. La dimostrazione è per costruzione se viene restituita per gradi 4, o per assurdo se viene restituito per gradi 7: se la riga è tornata al punto 7 non erano ordinari, quindi gli autori dimostrano che esisterebbe una linea ordinaria tra uno dei suoi punti e {stile di visualizzazione p_{0}} , ma questa riga dovrebbe essere già stata trovata e restituita nel passaggio 4.[13] Il numero di linee ordinarie I due esempi noti di insiemi di punti con meno di {stile di visualizzazione n/2} linee ordinarie.

Mentre il teorema di Sylvester-Gallai afferma che una disposizione di punti, non tutto collineare, deve determinare una linea ordinaria, non dice quanti devono essere determinati. Permettere {stile di visualizzazione t_{2}(n)} essere il numero minimo di righe ordinarie determinato su ogni serie di {stile di visualizzazione n} punti non lineari. La dimostrazione di Melchiorre lo ha dimostrato {stile di visualizzazione t_{2}(n)geq 3} . de Bruijn and Erdős (1948) ha sollevato la questione se {stile di visualizzazione t_{2}(n)} si avvicina all'infinito con {stile di visualizzazione n} . Theodore Motzkin (1951) confermato che lo fa dimostrandolo {stile di visualizzazione t_{2}(n)geq {mq {n}}} . Gabriel Dirac (1951) ipotizzato che {stile di visualizzazione t_{2}geq lpiano n/2rpiano } , per tutti i valori di {stile di visualizzazione n} , una congettura che è ancora valida a partire da 2013. Questo è spesso indicato come la congettura di Dirac-Motzkin; vedi ad esempio Ottone, Moser & Pach (2005, p. 304). Kelly & Moser (1958) lo ha dimostrato {stile di visualizzazione t_{2}(n)geq 3n/7} .

Esempio di Böröczky (anche) configurazione con 10 punti determinanti 5 linee ordinarie (le cinque linee nere continue della figura).

Il limite inferiore ipotizzato da Dirac è asintoticamente il migliore possibile, come i numeri pari {stile di visualizzazione n} maggiori di quattro hanno un limite superiore corrispondente {stile di visualizzazione t_{2}(n)leq n/2} . La costruzione, a causa di Károly Böröczky, che raggiunge questo limite è costituito dai vertici di un regolare {stile di visualizzazione m} -gon nel piano proiettivo reale e un altro {stile di visualizzazione m} punti (così, {stile di visualizzazione n=2m} ) sulla linea all'infinito corrispondente a ciascuna delle direzioni determinate da coppie di vertici. Anche se ci sono {stile di visualizzazione m(m-1)/2} coppie di questi punti, determinano solo {stile di visualizzazione m} direzioni distinte. Questa disposizione ha solo {stile di visualizzazione m} linee ordinarie, le linee che collegano un vertice {stile di visualizzazione v} con il punto all'infinito collineare con i due vicini di {stile di visualizzazione v} . Come con qualsiasi configurazione finita nel piano proiettivo reale, questa costruzione può essere perturbata in modo che tutti i punti siano finiti, senza modificare il numero di righe ordinarie.[14] Per dispari {stile di visualizzazione n} , sono noti solo due esempi che corrispondono alla congettura del limite inferiore di Dirac, questo è, insieme a {stile di visualizzazione t_{2}(n)=(n-1)/2} Un esempio, by Kelly & Moser (1958), è costituito dai vertici, punti medi del bordo, e baricentro di un triangolo equilatero; questi sette punti determinano solo tre linee ordinarie. La configurazione in cui queste tre linee ordinarie sono sostituite da una sola linea non può essere realizzata nel piano euclideo, ma forma uno spazio proiettivo finito noto come piano di Fano. A causa di questa connessione, l'esempio Kelly-Moser è stato anche chiamato configurazione non Fano.[15] L'altro controesempio, a causa di McKee,[14] è costituito da due pentagoni regolari uniti da bordo a bordo insieme al punto medio del bordo comune e quattro punti sulla linea all'infinito nel piano proiettivo; queste 13 punti hanno tra di loro 6 linee ordinarie. Le modifiche alla costruzione di Böröczky portano a insiemi di numeri dispari di punti con {displaystyle 3lpiano n/4rpiano } linee ordinarie.[16] Csima & Sawyer (1993) lo ha dimostrato {stile di visualizzazione t_{2}(n)geq lceil 6n/13rceil } tranne quando {stile di visualizzazione n} è sette. Asintoticamente, questa formula è già {displaystyle 12/13 ca 92.3%} del provato {stile di visualizzazione n/2} limite superiore. Il {stile di visualizzazione n=7} il caso è un'eccezione perché altrimenti la costruzione di Kelly-Moser sarebbe un controesempio; la loro costruzione lo dimostra {stile di visualizzazione t(7)leq 3} . Tuttavia, erano validi per il legame Csima-Sawyer {stile di visualizzazione n=7} , lo affermerebbe {stile di visualizzazione t_{2}(7)geq 4} .

Un risultato strettamente correlato è il teorema di Beck, indicando un compromesso tra il numero di linee con pochi punti e il numero di punti su una singola linea.[17] Ben Green e Terence Tao lo hanno dimostrato per tutti i set di punti sufficientemente grandi (questo è, {displaystyle n>n_{0}} per una scelta adeguata di {stile di visualizzazione n_{0}} ), il numero di linee ordinarie è effettivamente almeno {stile di visualizzazione n/2} . Inoltre, quando {stile di visualizzazione n} è strano, il numero di linee ordinarie è almeno {stile di visualizzazione 3n/4-C} , per qualche costante {stile di visualizzazione C} . così, le costruzioni di Böröczky per pari e dispari (discusso sopra) sono i migliori possibili. Ridurre al minimo il numero di linee ordinarie è strettamente correlato al problema della semina del frutteto di massimizzare il numero di linee a tre punti, che Green e Tao hanno risolto anche per tutti gli insiemi di punti sufficientemente grandi.[18] Il numero di linee di collegamento Articolo principale: Teorema di De Bruijn-Erdős (geometria di incidenza) Come ha osservato Paul Erdős, il teorema di Sylvester-Gallai implica immediatamente che qualsiasi insieme di {stile di visualizzazione n} almeno i punti che non sono collineari determinano {stile di visualizzazione n} linee diverse. Questo risultato è noto come teorema di De Bruijn-Erdős. Come caso base, il risultato è chiaramente vero per {stile di visualizzazione n=3} . Per qualsiasi valore maggiore di {stile di visualizzazione n} , il risultato può essere ridotto da {stile di visualizzazione n} punta a {stile di visualizzazione n-1} punti, cancellando una linea ordinaria e uno dei due punti su di essa (facendo attenzione a non cancellare un punto per il quale il restante sottoinsieme giace su un'unica riga). così, segue per induzione matematica. L'esempio di una quasi matita, un insieme di {stile di visualizzazione n-1} punti collineari insieme a un punto aggiuntivo che non si trova sulla stessa linea degli altri punti, mostra che questo limite è stretto.[16] Generalizations The Sylvester–Gallai theorem has been generalized to colored point sets in the Euclidean plane, ea sistemi di punti e rette definiti algebricamente o da distanze in uno spazio metrico. In generale, queste variazioni del teorema considerano solo insiemi finiti di punti, per evitare esempi come l'insieme di tutti i punti nel piano euclideo, che non ha una linea ordinaria.

Colored points A variation of Sylvester's problem, posato a metà degli anni '60 da Ronald Graham e reso popolare da Donald J. Uomo nuovo, considera insiemi planari finiti di punti (non tutti in fila) a cui sono dati due colori, e chiede se ognuno di questi insiemi ha una linea passante per due o più punti che sono tutti dello stesso colore. Nel linguaggio degli insiemi e delle famiglie di insiemi, un'affermazione equivalente è che la famiglia dei sottoinsiemi collineari di un insieme di punti finiti (non tutti su una riga) non può avere la proprietà B. Una prova di questa variazione è stata annunciata da Theodore Motzkin ma non è mai stata pubblicata; la prima prova pubblicata fu di Chakerian (1970).[19] Coordinate non reali La configurazione dell'Assia, in cui la linea passante per ogni coppia di punti contiene un terzo punto. Il teorema di Sylvester-Gallai mostra che non può essere realizzato da linee rette nel piano euclideo, ma ha una realizzazione nel complesso piano proiettivo.

Proprio come il piano euclideo o il piano proiettivo possono essere definiti usando numeri reali per le coordinate dei loro punti (Coordinate cartesiane per il piano euclideo e coordinate omogenee per il piano proiettivo), analoghi sistemi astratti di punti e linee possono essere definiti utilizzando altri sistemi numerici come coordinate. Il teorema di Sylvester-Gallai non vale per geometrie definite in questo modo su campi finiti: per alcune geometrie finite così definite, come l'aereo di Fano, l'insieme di tutti i punti nella geometria non ha linee ordinarie.[7] Anche il teorema di Sylvester-Gallai non si applica direttamente alle geometrie in cui i punti hanno coordinate che sono coppie di numeri complessi o quaternioni, ma queste geometrie hanno analoghi più complicati del teorema. Per esempio, nel piano proiettivo complesso esiste una configurazione di nove punti, La configurazione di Hesse (i punti di flesso di una curva cubica), in cui ogni riga è non ordinaria, violando il teorema di Sylvester-Gallai. Tale configurazione è nota come configurazione Sylvester-Gallai, e non può essere realizzato da punti e linee del piano euclideo. Un altro modo per affermare il teorema di Silvestro-Gallai è che ogni volta che i punti di una configurazione di Silvestro-Gallai sono incorporati in uno spazio euclideo, preservare le colinearità, i punti devono giacere tutti su un'unica linea, e l'esempio della configurazione di Hesse mostra che questo è falso per il piano proiettivo complesso. Tuttavia, Kelly (1986) dimostrato un analogo di numeri complessi del teorema di Sylvester-Gallai: ogni volta che i punti di una configurazione Sylvester-Gallai sono incorporati in uno spazio proiettivo complesso, i punti devono trovarsi tutti in un sottospazio bidimensionale. Equivalentemente, un insieme di punti in uno spazio complesso tridimensionale il cui scafo affine è l'intero spazio deve avere una linea ordinaria, e infatti deve avere un numero lineare di rette ordinarie.[20] Allo stesso modo, Elkies, Pretorius & Swanepoel (2006) ha mostrato che ogni volta che una configurazione Sylvester-Gallai è incorporata in uno spazio definito sui quaternioni, i suoi punti devono trovarsi in un sottospazio tridimensionale.

Matroids Every set of points in the Euclidean plane, e le linee che li collegano, possono essere astratti come gli elementi e gli appartamenti di un matroide orientato al rango 3. Anche i punti e le linee di geometrie definiti utilizzando sistemi numerici diversi dai numeri reali formano matroidi, ma non necessariamente orientati matroidi. In tale contesto, the result of Kelly & Moser (1958) il limite inferiore del numero di linee ordinarie può essere generalizzato a matroidi orientati: ogni matroide orientato al rango 3 con {stile di visualizzazione n} almeno gli elementi ha {stile di visualizzazione 3n/7} linee a due punti, o equivalentemente ogni matroide di grado 3 con meno linee a due punti deve essere non orientabile.[21] Un matroide senza linee a due punti è chiamato matroide di Silvestro. Relativamente, la configurazione Kelly-Moser con sette punti e solo tre linee ordinarie costituisce uno dei minori proibiti per GF(4)-matroidi rappresentabili.[15] Distance geometry Another generalization of the Sylvester–Gallai theorem to arbitrary metric spaces was conjectured by Chvátal (2004) e dimostrato da Chen (2006). In questa generalizzazione, una tripla di punti in uno spazio metrico è definita collineare quando la disuguaglianza triangolare per questi punti è un'uguaglianza, e una linea è definita da qualsiasi coppia di punti includendo ripetutamente punti aggiuntivi che sono collineari con punti già aggiunti alla linea, fino a quando non è più possibile aggiungere tali punti. La generalizzazione di Chvátal e Chen afferma che ogni spazio metrico finito ha una linea che contiene tutti i punti o esattamente due dei punti.[22] Note ^ Elkies, Pretorius & Swanepoel (2006). ^ Salta su: a b Borwein & Moser (1990). ^ Steinberg et al. (1944); foresta (1982). ^ MR0041447 ^ MR0056941 ^ Shephard (1968). ^ Salta su: a b c d e Aigner & Ziegler (2018). ^ Salta su: a b c Melchiorre (1941). ^ Aigner & Ziegler (2018, p. 92); La dimostrazione di Steenrod è stata brevemente riassunta in Steinberg et al. (1944). ^ Aigner & Ziegler (2018); Pambucciano (2009). ^ Coxeter (1948); Pambucciano (2009). Per la dimostrazione di Steinberg si veda Steinberg et al. (1944). ^ Nucleo di mandorla (2016). ^ Mukhopadhyay & Greene (2012). ^ Salta su: a b Crowe & McKee (1968). ^ Salta su: a b Geelen, Gerards & Kapoor (2000). ^ Salta su: a b Pach & Sharir (2009) ^ Beck (1983). ^ Green & Tao (2013). ^ Per la storia di questa variazione del problema, vedi anche Grünbaum (1999) ^ Basit et al. (2019). ^ Bjorner et al. (1993). ^ Scattò (2004); Chen (2006); Pambucciano (2009) Riferimenti Aigner, Martino; Ziegler, Gunter M. (2018), "Capitolo 11. 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