Teoremas de Sylow

Sylow theorems Algebraic structure → Group theory Group theory show Basic notions hide Finite groups Classification of finite simple groups cyclicalternatingLie typesporadic Cauchy's theoremLagrange's theorem Sylow theoremsHall's theorem p-groupElementary abelian group Frobenius group Schur multiplier Symmetric group Sn Klein four-group VDihedral group DnQuaternion group QDicyclic group Dicn show Discrete groupsLattices show Topological and Lie groups show Algebraic groups vte This article includes a list of general references, mas faltam citações em linha correspondentes suficientes. Ajude a melhorar este artigo introduzindo citações mais precisas. (novembro 2018) (Saiba como e quando remover esta mensagem de modelo) Na matemática, especificamente no campo da teoria dos grupos finitos, os teoremas de Sylow são uma coleção de teoremas com o nome do matemático norueguês Peter Ludwig Sylow[1] que fornecem informações detalhadas sobre o número de subgrupos de ordem fixa que um determinado grupo finito contém. Os teoremas de Sylow formam uma parte fundamental da teoria dos grupos finitos e têm aplicações muito importantes na classificação de grupos simples finitos.

Para um número primo {estilo de exibição p} , um subgrupo p Sylow (às vezes subgrupo p-Sylow) de um grupo {estilo de exibição G} é um máximo {estilo de exibição p} -subgrupo de {estilo de exibição G} , ou seja, um subgrupo de {estilo de exibição G} isso é um p-grupo (significando que sua cardinalidade é um poder de {estilo de exibição p,} ou equivalente, a ordem de cada elemento do grupo é uma potência de {estilo de exibição p} ) que não é um subgrupo próprio de qualquer outro {estilo de exibição p} -subgrupo de {estilo de exibição G} . O conjunto de todos os Sylow {estilo de exibição p} -subgrupos para um dado primo {estilo de exibição p} às vezes é escrito {estilo de exibição {texto{Sil}}_{p}(G)} .

Os teoremas de Sylow afirmam uma inversa parcial ao teorema de Lagrange. O teorema de Lagrange afirma que para qualquer grupo finito {estilo de exibição G} a ordem (número de elementos) de cada subgrupo de {estilo de exibição G} divide a ordem de {estilo de exibição G} . Os teoremas de Sylow afirmam que para todo fator primo {estilo de exibição p} da ordem de um grupo finito {estilo de exibição G} , existe um Sylow {estilo de exibição p} -subgrupo de {estilo de exibição G} de ordem {estilo de exibição p^{n}} , o maior poder de {estilo de exibição p} que divide a ordem de {estilo de exibição G} . Além disso, cada subgrupo de ordem {estilo de exibição p^{n}} é um Sylow {estilo de exibição p} -subgrupo de {estilo de exibição G} , e o Sylow {estilo de exibição p} -subgrupos de um grupo (para um dado primo {estilo de exibição p} ) são conjugados entre si. Além disso, o número de Sylow {estilo de exibição p} -subgrupos de um grupo para um dado primo {estilo de exibição p} é congruente com {estilo de exibição 1{texto{ mod }}p} .

Conteúdo 1 Teoremas 1.1 Motivação 1.2 Declaração 1.3 Consequências 1.4 Teoremas de Sylow para grupos infinitos 2 Exemplos 3 Aplicativos de exemplo 3.1 Pedidos de grupo cíclico 3.2 Pequenos grupos não são simples 3.3 teorema de Wilson 3.4 Resultados da fusão 4 Prova dos teoremas de Sylow 5 Algoritmos 6 Veja também 7 Notas 8 Referências 8.1 Provas 8.2 Algoritmos 9 External links Theorems Motivation The Sylow theorems are a powerful statement about the structure of groups in general, mas também são poderosos em aplicações da teoria dos grupos finitos. Isso ocorre porque eles fornecem um método para usar a decomposição primária da cardinalidade de um grupo finito {estilo de exibição G} para dar declarações sobre a estrutura de seus subgrupos: essencialmente, fornece uma técnica para transportar informações básicas da teoria dos números sobre um grupo para sua estrutura de grupo. A partir desta observação, classificar grupos finitos torna-se um jogo de descobrir quais combinações/construções de grupos de menor ordem podem ser aplicadas para construir um grupo. Por exemplo, uma aplicação típica desses teoremas é na classificação de grupos finitos de alguma cardinalidade fixa, por exemplo. {estilo de exibição |G|=60} .[2] Statement Collections of subgroups that are each maximal in one sense or another are common in group theory. O resultado surpreendente aqui é que, no caso de {nome do operador de estilo de exibição {Sil} _{p}(G)} , todos os membros são realmente isomórficos entre si e têm a maior ordem possível: E se {estilo de exibição |G|=p^{n}m} com {displaystyle n>0} onde p não divide m, então todo Sylow p-subgrupo P tem ordem {estilo de exibição |P|=p^{n}} . Aquilo é, P é um p-grupo e {estilo de exibição {texto{mdc}}(|G:P|,p)=1} . Essas propriedades podem ser exploradas para analisar ainda mais a estrutura de G.

Os seguintes teoremas foram propostos e provados pela primeira vez por Ludwig Sylow em 1872, e publicado em Mathematical Annals.

Teorema (1) — For every prime factor p with multiplicity n of the order of a finite group G, existe um subgrupo p Sylow de G, de ordem {estilo de exibição p^{n}} .

A seguinte versão mais fraca do teorema 1 foi provado pela primeira vez por Augustin-Louis Cauchy, e é conhecido como teorema de Cauchy.

Corollary — Given a finite group G and a prime number p dividing the order of G, então existe um elemento (e, portanto, um subgrupo cíclico gerado por este elemento) de ordem p em G.[3] Teorema (2) — Given a finite group G and a prime number p, todos os subgrupos p de Sylow de G são conjugados entre si. Aquilo é, se H e K são subgrupos p de Sylow de G, então existe um elemento {displaystyle gin G} com {estilo de exibição g^{-1}Hg=K} .

Teorema (3) — Let p be a prime factor with multiplicity n of the order of a finite group G, de modo que a ordem de G pode ser escrita como {estilo de exibição p^{n}m} , Onde {displaystyle n>0} e p não divide m. Deixar {estilo de exibição n_{p}} ser o número de p-subgrupos Sylow de G. Então o seguinte mantém: {estilo de exibição n_{p}} divide m, que é o índice do subgrupo p de Sylow em G. {estilo de exibição n_{p}equivalente 1{de uma maneira {p}}} {estilo de exibição n_{p}=|G:N_{G}(P)|} , onde P é qualquer p-subgrupo Sylow de G e {estilo de exibição N_{G}} denota o normalizador. Consequences The Sylow theorems imply that for a prime number {estilo de exibição p} cada Sylow {estilo de exibição p} -subgrupo é da mesma ordem, {estilo de exibição p^{n}} . Por outro lado, se um subgrupo tem ordem {estilo de exibição p^{n}} , então é um Sylow {estilo de exibição p} -subgrupo, e assim é isomórfico a todos os outros Sylow {estilo de exibição p} -subgrupo. Pela condição de maximalidade, E se {estilo de exibição H} é qualquer {estilo de exibição p} -subgrupo de {estilo de exibição G} , então {estilo de exibição H} é um subgrupo de {estilo de exibição p} -subgrupo de ordem {estilo de exibição p^{n}} .

Uma consequência muito importante do Teorema 2 é que a condição {estilo de exibição n_{p}=1} é equivalente a dizer que o Sylow {estilo de exibição p} -subgrupo de {estilo de exibição G} é um subgrupo normal. No entanto, existem grupos que possuem subgrupos normais, mas nenhum subgrupo Sylow normal, tal como {estilo de exibição S_{4}} .

Sylow theorems for infinite groups There is an analogue of the Sylow theorems for infinite groups. Um define um subgrupo p Sylow em um grupo infinito para ser um subgrupo p (isso é, cada elemento nele tem ordem p-potência) que é máximo para inclusão entre todos os p-subgrupos do grupo. Deixar {nome do operador de estilo de exibição {Cl} (K)} denotar o conjunto de classes de conjugação de um subgrupo {estilo de exibição Ksubset G} Theorem — If K is a Sylow p-subgroup of G, e {estilo de exibição n_{p}=|nome do operador {Cl} (K)|} é finito, então todo subgrupo p de Sylow é conjugado com K, e {estilo de exibição n_{p}equivalente 1{de uma maneira {p}}} .

Exemplos Em D6 todas as reflexões são conjugadas, como reflexões correspondem aos subgrupos Sylow 2.

Uma ilustração simples de subgrupos de Sylow e os teoremas de Sylow são o grupo diedro do n-gon, D2n. Para n ímpar, 2 = 21 é o maior poder de 2 dividindo a ordem, e, portanto, subgrupos de ordem 2 são subgrupos Sylow. Estes são os grupos gerados por uma reflexão, dos quais existem n, e todos eles são conjugados sob rotações; geometricamente os eixos de simetria passam por um vértice e um lado.

Em reflexões D12 não correspondem mais aos subgrupos Sylow 2, e cair em duas classes de conjugação.

Por contraste, se n é par, então 4 divide a ordem do grupo, e os subgrupos de ordem 2 não são mais subgrupos Sylow, e de fato eles se enquadram em duas classes de conjugação, geometricamente de acordo com se eles passam por dois vértices ou duas faces. Estes estão relacionados por um automorfismo externo, que pode ser representado por rotação através de π/n, metade da rotação mínima no grupo diedro.

Outro exemplo são os p-subgrupos Sylow de GL2(Fq), where p and q are primes ≥ 3 and p ≡ 1 (mod q) , que são todos abelianos. A ordem de GL2(Fq) é (q2 − 1)(q2 − q) = (q)(q + 1)(q − 1)2. Since q = pnm + 1, a ordem de GL2(Fq) = p2n m′. Thus by Theorem 1, a ordem dos subgrupos p de Sylow é p2n.

Um desses subgrupos P, é o conjunto das matrizes diagonais {estilo de exibição {começar{bmatriz}x^{Eu estou}&0\0&x^{jm}fim{bmatriz}}} , x é qualquer raiz primitiva de Fq. Since the order of Fq is q − 1, suas raízes primitivas têm ordem q − 1, o que implica que x(q − 1)/pn or xm and all its powers have an order which is a power of p. Então, P is a subgroup where all its elements have orders which are powers of p. Existem opções de pn para a e b, fazer |P| = p2n. Isso significa que P é um subgrupo p Sylow, que é abeliano, como todas as matrizes diagonais comutam, e porque o teorema 2 afirma que todos os subgrupos p de Sylow são conjugados entre si, os subgrupos p de Sylow de GL2(Fq) são todos abelianos.

Example applications Since Sylow's theorem ensures the existence of p-subgroups of a finite group, vale a pena estudar grupos de ordem de potência primária mais de perto. A maioria dos exemplos usa o teorema de Sylow para provar que um grupo de uma determinada ordem não é simples. Para grupos de pequena ordem, a condição de congruência do teorema de Sylow é muitas vezes suficiente para forçar a existência de um subgrupo normal.

Exemplo-1 Grupos de ordem pq, p and q primes with p < q. Example-2 Group of order 30, groups of order 20, groups of order p2q, p and q distinct primes are some of the applications. Example-3 (Groups of order 60): If the order |G| = 60 and G has more than one Sylow 5-subgroup, then G is simple. Cyclic group orders Some non-prime numbers n are such that every group of order n is cyclic. One can show that n = 15 is such a number using the Sylow theorems: Let G be a group of order 15 = 3 · 5 and n3 be the number of Sylow 3-subgroups. Then n3 {displaystyle mid } 5 and n3 ≡ 1 (mod 3). The only value satisfying these constraints is 1; therefore, there is only one subgroup of order 3, and it must be normal (since it has no distinct conjugates). Similarly, n5 must divide 3, and n5 must equal 1 (mod 5); thus it must also have a single normal subgroup of order 5. Since 3 and 5 are coprime, the intersection of these two subgroups is trivial, and so G must be the internal direct product of groups of order 3 and 5, that is the cyclic group of order 15. Thus, there is only one group of order 15 (up to isomorphism). Small groups are not simple A more complex example involves the order of the smallest simple group that is not cyclic. Burnside's pa qb theorem states that if the order of a group is the product of one or two prime powers, then it is solvable, and so the group is not simple, or is of prime order and is cyclic. This rules out every group up to order 30 (= 2 · 3 · 5). If G is simple, and |G| = 30, then n3 must divide 10 ( = 2 · 5), and n3 must equal 1 (mod 3). Therefore, n3 = 10, since neither 4 nor 7 divides 10, and if n3 = 1 then, as above, G would have a normal subgroup of order 3, and could not be simple. G then has 10 distinct cyclic subgroups of order 3, each of which has 2 elements of order 3 (plus the identity). This means G has at least 20 distinct elements of order 3. As well, n5 = 6, since n5 must divide 6 ( = 2 · 3), and n5 must equal 1 (mod 5). So G also has 24 distinct elements of order 5. But the order of G is only 30, so a simple group of order 30 cannot exist. Next, suppose |G| = 42 = 2 · 3 · 7. Here n7 must divide 6 ( = 2 · 3) and n7 must equal 1 (mod 7), so n7 = 1. So, as before, G can not be simple. On the other hand, for |G| = 60 = 22 · 3 · 5, then n3 = 10 and n5 = 6 is perfectly possible. And in fact, the smallest simple non-cyclic group is A5, the alternating group over 5 elements. It has order 60, and has 24 cyclic permutations of order 5, and 20 of order 3. Wilson's theorem Part of Wilson's theorem states that {displaystyle (p-1)! equiv -1{pmod {p}}} for every prime p. One may easily prove this theorem by Sylow's third theorem. Indeed, observe that the number np of Sylow's p-subgroups in the symmetric group Sp is (p − 2)!. On the other hand, np ≡ 1 (mod p). Hence, (p − 2)! ≡ 1 (mod p). So, (p − 1)! ≡ −1 (mod p). Fusion results Frattini's argument shows that a Sylow subgroup of a normal subgroup provides a factorization of a finite group. A slight generalization known as Burnside's fusion theorem states that if G is a finite group with Sylow p-subgroup P and two subsets A and B normalized by P, then A and B are G-conjugate if and only if they are NG(P)-conjugate. The proof is a simple application of Sylow's theorem: If B=Ag, then the normalizer of B contains not only P but also Pg (since Pg is contained in the normalizer of Ag). By Sylow's theorem P and Pg are conjugate not only in G, but in the normalizer of B. Hence gh−1 normalizes P for some h that normalizes B, and then Agh−1 = Bh−1 = B, so that A and B are NG(P)-conjugate. Burnside's fusion theorem can be used to give a more powerful factorization called a semidirect product: if G is a finite group whose Sylow p-subgroup P is contained in the center of its normalizer, then G has a normal subgroup K of order coprime to P, G = PK and P∩K = {1}, that is, G is p-nilpotent. Less trivial applications of the Sylow theorems include the focal subgroup theorem, which studies the control a Sylow p-subgroup of the derived subgroup has on the structure of the entire group. This control is exploited at several stages of the classification of finite simple groups, and for instance defines the case divisions used in the Alperin–Brauer–Gorenstein theorem classifying finite simple groups whose Sylow 2-subgroup is a quasi-dihedral group. These rely on J. L. Alperin's strengthening of the conjugacy portion of Sylow's theorem to control what sorts of elements are used in the conjugation. Proof of the Sylow theorems The Sylow theorems have been proved in a number of ways, and the history of the proofs themselves is the subject of many papers, including Waterhouse,[4] Scharlau,[5] Casadio and Zappa,[6] Gow,[7] and to some extent Meo.[8] One proof of the Sylow theorems exploits the notion of group action in various creative ways. The group G acts on itself or on the set of its p-subgroups in various ways, and each such action can be exploited to prove one of the Sylow theorems. The following proofs are based on combinatorial arguments of Wielandt.[9] In the following, we use {displaystyle amid b} as notation for "a divides b" and {displaystyle anmid b} for the negation of this statement. Theorem (1) — A finite group G whose order {displaystyle |G|} is divisible by a prime power pk has a subgroup of order pk. Proof Let |G| = pkm = pk+ru such that {displaystyle pnmid u} , and let Ω denote the set of subsets of G of size pk. G acts on Ω by left multiplication: for g ∈ G and ω ∈ Ω, g⋅ω = { gx | x ∈ ω }. For a given set ω ∈ Ω, write Gω for its stabilizer subgroup { g ∈ G | g⋅ω = ω } and Gω for its orbit { g⋅ω | g ∈ G } in Ω. The proof will show the existence of some ω ∈ Ω for which Gω has pk elements, providing the desired subgroup. This is the maximal possible size of a stabilizer subgroup Gω, since for any fixed element α ∈ ω ⊆ G, the right coset Gωα is contained in ω; therefore, |Gω| = |Gωα| ≤ |ω| = pk. By the orbit-stabilizer theorem we have |Gω| |Gω| = |G| for each ω ∈ Ω, and therefore using the additive p-adic valuation νp, which counts the number of factors p, one has νp(|Gω|) + νp(|Gω|) = νp(|G|) = k + r. This means that for those ω with |Gω| = pk, the ones we are looking for, one has νp(|Gω|) = r, while for any other ω one has νp(|Gω|) > r (Como 0 < |Gω| < pk implies νp(|Gω|) < k). Since |Ω| is the sum of |Gω| over all distinct orbits Gω, one can show the existence of ω of the former type by showing that νp(|Ω|) = r (if none existed, that valuation would exceed r). This is an instance of Kummer's theorem (since in base p notation the number |G| ends with precisely k + r digits zero, subtracting pk from it involves a carry in r places), and can also be shown by a simple computation: {displaystyle |Omega |={p^{k}m choose p^{k}}=prod _{j=0}^{p^{k}-1}{frac {p^{k}m-j}{p^{k}-j}}=mprod _{j=1}^{p^{k}-1}{frac {p^{k-nu _{p}(j)}m-j/p^{nu _{p}(j)}}{p^{k-nu _{p}(j)}-j/p^{nu _{p}(j)}}}} and no power of p remains in any of the factors inside the product on the right. Hence νp(|Ω|) = νp(m) = r, completing the proof. It may be noted that conversely every subgroup H of order pk gives rise to sets ω ∈ Ω for which Gω = H, namely any one of the m distinct cosets Hg. Lemma — Let H be a finite p-group, let Ω be a finite set acted on by H, and let Ω0 denote the set of points of Ω that are fixed under the action of H. Then |Ω| ≡ |Ω0| (mod p). Proof Any element x ∈ Ω not fixed by H will lie in an orbit of order |H|/|Hx| (where Hx denotes the stabilizer), which is a multiple of p by assumption. The result follows immediately by writing |Ω| as the sum of |Hx| over all distinct orbits Hx and reducing mod p. Theorem (2) — If H is a p-subgroup of G and P is a Sylow p-subgroup of G, then there exists an element g in G such that g−1Hg ≤ P. In particular, all Sylow p-subgroups of G are conjugate to each other (and therefore isomorphic), that is, if H and K are Sylow p-subgroups of G, then there exists an element g in G with g−1Hg = K. Proof Let Ω be the set of left cosets of P in G and let H act on Ω by left multiplication. Applying the Lemma to H on Ω, we see that |Ω0| ≡ |Ω| = [G : P] (mod p). Now {displaystyle pnmid [G:P]} by definition so {displaystyle pnmid |Omega _{0}|} , hence in particular |Ω0| ≠ 0 so there exists some gP ∈ Ω0. With this gP, we have hgP = gP for all h ∈ H, so g−1HgP = P and therefore g−1Hg ≤ P. Furthermore, if H is a Sylow p-subgroup, then |g−1Hg| = |H| = |P| so that g−1Hg = P. Theorem (3) — Let q denote the order of any Sylow p-subgroup P of a finite group G. Let np denote the number of Sylow p-subgroups of G. Then (a) np = [G : NG(P)] (where NG(P) is the normalizer of P), (b) np divides |G|/q, and (c) np ≡ 1 (mod p). Proof Let Ω be the set of all Sylow p-subgroups of G and let G act on Ω by conjugation. Let P ∈ Ω be a Sylow p-subgroup. By Theorem 2, the orbit of P has size np, so by the orbit-stabilizer theorem np = [G : GP]. For this group action, the stabilizer GP is given by {g ∈ G | gPg−1 = P} = NG(P), the normalizer of P in G. Thus, np = [G : NG(P)], and it follows that this number is a divisor of [G : P] = |G|/q. Now let P act on Ω by conjugation, and again let Ω0 denote the set of fixed points of this action. Let Q ∈ Ω0 and observe that then Q = xQx−1 for all x ∈ P so that P ≤ NG(Q). By Theorem 2, P and Q are conjugate in NG(Q) in particular, and Q is normal in NG(Q), so then P = Q. It follows that Ω0 = {P} so that, by the Lemma, |Ω| ≡ |Ω0| = 1 (mod p). Algorithms The problem of finding a Sylow subgroup of a given group is an important problem in computational group theory. One proof of the existence of Sylow p-subgroups is constructive: if H is a p-subgroup of G and the index [G:H] is divisible by p, then the normalizer N = NG(H) of H in G is also such that [N : H] is divisible by p. In other words, a polycyclic generating system of a Sylow p-subgroup can be found by starting from any p-subgroup H (including the identity) and taking elements of p-power order contained in the normalizer of H but not in H itself. The algorithmic version of this (and many improvements) is described in textbook form in Butler,[10] including the algorithm described in Cannon.[11] These versions are still used in the GAP computer algebra system. In permutation groups, it has been proven, in Kantor[12][13][14] and Kantor and Taylor,[15] that a Sylow p-subgroup and its normalizer can be found in polynomial time of the input (the degree of the group times the number of generators). These algorithms are described in textbook form in Seress,[16] and are now becoming practical as the constructive recognition of finite simple groups becomes a reality. In particular, versions of this algorithm are used in the Magma computer algebra system. See also Frattini's argument Hall subgroup Maximal subgroup p-group Notes ^ Sylow, L. (1872). "Théorèmes sur les groupes de substitutions". Math. Ann. (in French). 5 (4): 584–594. doi:10.1007/BF01442913. JFM 04.0056.02. S2CID 121928336. ^ Gracia–Saz, Alfonso. "Classification of groups of order 60" (PDF). math.toronto.edu. Archived (PDF) from the original on 28 October 2020. Retrieved 8 May 2021. ^ Fraleigh, John B. (2004). A First Course In Abstract Algebra. with contribution by Victor J. Katz. Pearson Education. p. 322. ISBN 9788178089973. ^ Waterhouse 1980. ^ Scharlau 1988. ^ Casadio & Zappa 1990. ^ Gow 1994. ^ Meo 2004. ^ Wielandt 1959. ^ Butler 1991, Chapter 16. ^ Cannon 1971. ^ Kantor 1985a. ^ Kantor 1985b. ^ Kantor 1990. ^ Kantor & Taylor 1988. ^ Seress 2003. References Proofs Casadio, Giuseppina; Zappa, Guido (1990). "History of the Sylow theorem and its proofs". Boll. Storia Sci. Mat. (in Italian). 10 (1): 29–75. ISSN 0392-4432. MR 1096350. Zbl 0721.01008. Gow, Rod (1994). "Sylow's proof of Sylow's theorem". Irish Math. Soc. Bull.. 0033 (33): 55–63. doi:10.33232/BIMS.0033.55.63. ISSN 0791-5578. MR 1313412. Zbl 0829.01011. Kammüller, Florian; Paulson, Lawrence C. (1999). "A formal proof of Sylow's theorem. An experiment in abstract algebra with Isabelle HOL" (PDF). J. Automat. Reason.. 23 (3): 235–264. doi:10.1023/A:1006269330992. ISSN 0168-7433. MR 1721912. S2CID 1449341. Zbl 0943.68149. Archived from the original (PDF) on 2006-01-03. Meo, M. (2004). "The mathematical life of Cauchy's group theorem". Historia Math. 31 (2): 196–221. doi:10.1016/S0315-0860(03)00003-X. ISSN 0315-0860. MR 2055642. Zbl 1065.01009. Scharlau, Winfried (1988). "Die Entdeckung der Sylow-Sätze". Historia Math. (in German). 15 (1): 40–52. doi:10.1016/0315-0860(88)90048-1. ISSN 0315-0860. MR 0931678. Zbl 0637.01006. Waterhouse, William C. (1980). "The early proofs of Sylow's theorem". Arch. Hist. Exact Sci.. 21 (3): 279–290. doi:10.1007/BF00327877. ISSN 0003-9519. MR 0575718. S2CID 123685226. Zbl 0436.01006. Wielandt, Helmut (1959). "Ein Beweis für die Existenz der Sylowgruppen". Arch. Math. (in German). 10 (1): 401–402. doi:10.1007/BF01240818. ISSN 0003-9268. MR 0147529. S2CID 119816392. Zbl 0092.02403. Algorithms Butler, G. (1991). Fundamental Algorithms for Permutation Groups. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 559. Berlin, New York City: Springer-Verlag. doi:10.1007/3-540-54955-2. ISBN 9783540549550. MR 1225579. S2CID 395110. Zbl 0785.20001. Cannon, John J. (1971). "Computing local structure of large finite groups". Computers in Algebra and Number Theory (Proc. SIAM-AMS Sympos. Appl. Math., New York City, 1970). SIAM-AMS Proc.. Vol. 4. Providence RI: AMS. pp. 161–176. ISSN 0160-7634. MR 0367027. Zbl 0253.20027. Kantor, William M. (1985a). "Polynomial-time algorithms for finding elements of prime order and Sylow subgroups" (PDF). J. Algorithms. 6 (4): 478–514. CiteSeerX 10.1.1.74.3690. doi:10.1016/0196-6774(85)90029-X. ISSN 0196-6774. MR 0813589. Zbl 0604.20001. Kantor, William M. (1985b). "Sylow's theorem in polynomial time". J. Comput. Syst. Sci.. 30 (3): 359–394. doi:10.1016/0022-0000(85)90052-2. ISSN 1090-2724. MR 0805654. Zbl 0573.20022. Kantor, William M.; Taylor, Donald E. (1988). "Polynomial-time versions of Sylow's theorem". J. Algorithms. 9 (1): 1–17. doi:10.1016/0196-6774(88)90002-8. ISSN 0196-6774. MR 0925595. Zbl 0642.20019. Kantor, William M. (1990). "Finding Sylow normalizers in polynomial time". J. Algorithms. 11 (4): 523–563. doi:10.1016/0196-6774(90)90009-4. ISSN 0196-6774. MR 1079450. Zbl 0731.20005. Seress, Ákos (2003). Permutation Group Algorithms. Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 152. Cambridge University Press. ISBN 9780521661034. MR 1970241. Zbl 1028.20002. External links "Sylow theorems", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994] Abstract Algebra/Group Theory/The Sylow Theorems at Wikibooks Weisstein, Eric W. "Sylow p-Subgroup". MathWorld. Weisstein, Eric W. "Sylow Theorems". MathWorld. Categories: Theorems about finite groupsP-groups