Sylow-Theoreme

Sylow theorems Algebraic structure → Group theory Group theory show Basic notions hide Finite groups Classification of finite simple groups cyclicalternatingLie typesporadic Cauchy's theoremLagrange's theorem Sylow theoremsHall's theorem p-groupElementary abelian group Frobenius group Schur multiplier Symmetric group Sn Klein four-group VDihedral group DnQuaternion group QDicyclic group Dicn show Discrete groupsLattices show Topological and Lie groups show Algebraic groups vte This article includes a list of general references, aber es fehlen genügend entsprechende Inline-Zitate. Bitte helfen Sie mit, diesen Artikel zu verbessern, indem Sie genauere Zitate einfügen. (November 2018) (Erfahren Sie, wie und wann Sie diese Vorlagennachricht entfernen können) In Mathematik, insbesondere im Bereich der endlichen Gruppentheorie, die Sylow-Sätze sind eine Sammlung von Sätzen, die nach dem norwegischen Mathematiker Peter Ludwig Sylow benannt sind[1] die detaillierte Informationen über die Anzahl der Untergruppen fester Ordnung geben, die eine gegebene endliche Gruppe enthält. Die Sylow-Theoreme bilden einen grundlegenden Teil der endlichen Gruppentheorie und haben sehr wichtige Anwendungen bei der Klassifizierung endlicher einfacher Gruppen.

Für eine Primzahl {Anzeigestil p} , eine Sylow-p-Untergruppe (manchmal p-Sylow-Untergruppe) einer Gruppe {Anzeigestil G} ist maximal {Anzeigestil p} -Untergruppe von {Anzeigestil G} , d.h., eine Untergruppe von {Anzeigestil G} das ist eine p-Gruppe (was bedeutet, dass seine Kardinalität eine Potenz von ist {Anzeigestil p,} oder gleichwertig, die Reihenfolge jedes Gruppenelements ist eine Potenz von {Anzeigestil p} ) das ist keine richtige Untergruppe von anderen {Anzeigestil p} -Untergruppe von {Anzeigestil G} . Die Menge aller Sylow {Anzeigestil p} -Untergruppen für eine gegebene Primzahl {Anzeigestil p} wird manchmal geschrieben {Anzeigestil {Text{Syl}}_{p}(G)} .

Die Sätze von Sylow behaupten eine teilweise Umkehrung des Satzes von Lagrange. Der Satz von Lagrange besagt dies für jede endliche Gruppe {Anzeigestil G} die Bestellung (Anzahl der Elemente) jeder Untergruppe von {Anzeigestil G} teilt die Reihenfolge von {Anzeigestil G} . Die Sätze von Sylow besagen dies für jeden Primfaktor {Anzeigestil p} von der Ordnung einer endlichen Gruppe {Anzeigestil G} , es gibt einen Sylow {Anzeigestil p} -Untergruppe von {Anzeigestil G} der Ordnung {Anzeigestil p^{n}} , die höchste Macht von {Anzeigestil p} das teilt die Reihenfolge von {Anzeigestil G} . Darüber hinaus, jede Untergruppe der Ordnung {Anzeigestil p^{n}} ist ein Sylow {Anzeigestil p} -Untergruppe von {Anzeigestil G} , und die Sylow {Anzeigestil p} -Untergruppen einer Gruppe (für eine gegebene Primzahl {Anzeigestil p} ) sind zueinander konjugiert. Außerdem, die Nummer von Sylow {Anzeigestil p} -Untergruppen einer Gruppe für eine gegebene Primzahl {Anzeigestil p} ist deckungsgleich mit {Anzeigestil 1{Text{ Mod }}p} .

Inhalt 1 Sätze 1.1 Motivation 1.2 Aussage 1.3 Konsequenzen 1.4 Sylow-Theoreme für unendliche Gruppen 2 Beispiele 3 Beispielanwendungen 3.1 Zyklische Gruppenaufträge 3.2 Kleine Gruppen sind nicht einfach 3.3 Satz von Wilson 3.4 Fusionsergebnisse 4 Beweis der Sätze von Sylow 5 Algorithmen 6 Siehe auch 7 Anmerkungen 8 Verweise 8.1 Beweise 8.2 Algorithmen 9 External links Theorems Motivation The Sylow theorems are a powerful statement about the structure of groups in general, sind aber auch in Anwendungen der endlichen Gruppentheorie leistungsfähig. Dies liegt daran, dass sie eine Methode zur Verwendung der Primzahlzerlegung der Kardinalität einer endlichen Gruppe angeben {Anzeigestil G} Aussagen über die Struktur seiner Teilkonzerne zu machen: im Wesentlichen, es gibt eine Technik, um grundlegende zahlentheoretische Informationen über eine Gruppe in ihre Gruppenstruktur zu transportieren. Aus dieser Beobachtung, Die Klassifizierung endlicher Gruppen wird zu einem Spiel, bei dem es darum geht, herauszufinden, welche Kombinationen / Konstruktionen von Gruppen kleinerer Ordnung angewendet werden können, um eine Gruppe zu konstruieren. Zum Beispiel, Eine typische Anwendung dieser Theoreme ist die Klassifizierung endlicher Gruppen mit einer festen Kardinalität, z.B. {Anzeigestil |G|=60} .[2] Statement Collections of subgroups that are each maximal in one sense or another are common in group theory. Das überraschende Ergebnis hier ist, dass im Fall von {Anzeigestil Betreibername {Syl} _{p}(G)} , alle Mitglieder sind tatsächlich isomorph zueinander und haben die größtmögliche Ordnung: wenn {Anzeigestil |G|=p^{n}m} mit {displaystyle n>0} wobei p m nicht teilt, dann hat jede Sylow-p-Untergruppe P Ordnung {Anzeigestil |P|=p^{n}} . Das ist, P ist eine p-Gruppe und {Anzeigestil {Text{gcd}}(|G:P|,p)=1} . Diese Eigenschaften können genutzt werden, um die Struktur von G weiter zu analysieren.

Die folgenden Sätze wurden erstmals von Ludwig Sylow in vorgeschlagen und bewiesen 1872, and published in Mathematische Annalen.

Satz (1) — For every prime factor p with multiplicity n of the order of a finite group G, es gibt eine Sylow-p-Untergruppe von G, der Ordnung {Anzeigestil p^{n}} .

Die folgende schwächere Version des Theorems 1 wurde erstmals von Augustin-Louis Cauchy bewiesen, und ist als Satz von Cauchy bekannt.

Corollary — Given a finite group G and a prime number p dividing the order of G, dann existiert ein Element (und damit eine von diesem Element erzeugte zyklische Untergruppe) der Ordnung p in G.[3] Satz (2) — Given a finite group G and a prime number p, alle Sylow-p-Untergruppen von G sind zueinander konjugiert. Das ist, wenn H und K Sylow-p-Untergruppen von G sind, dann existiert ein Element {Displaystyle-Gin G} mit {Anzeigestil g^{-1}Hg=K} .

Satz (3) — Let p be a prime factor with multiplicity n of the order of a finite group G, so dass die Ordnung von G geschrieben werden kann als {Anzeigestil p^{n}m} , wo {displaystyle n>0} und p teilt m nicht. Lassen {Anzeigestil n_{p}} sei die Anzahl der Sylow-p-Untergruppen von G. Dann gilt folgendes: {Anzeigestil n_{p}} teilt m, Dies ist der Index der p-Untergruppe von Sylow in G. {Anzeigestil n_{p}Äquiv 1{in gewisser Weise {p}}} {Anzeigestil n_{p}=|G:N_{G}(P)|} , wobei P eine beliebige Sylow-p-Untergruppe von G und ist {Anzeigestil N_{G}} bezeichnet den Normalisierer. Consequences The Sylow theorems imply that for a prime number {Anzeigestil p} jeder Sylow {Anzeigestil p} -Untergruppe ist von der gleichen Ordnung, {Anzeigestil p^{n}} . Umgekehrt, wenn eine Untergruppe Ordnung hat {Anzeigestil p^{n}} , dann ist es ein Sylow {Anzeigestil p} -Untergruppe, und ist daher zu jedem anderen Sylow isomorph {Anzeigestil p} -Untergruppe. Aufgrund der Maximalitätsbedingung, wenn {Anzeigestil H} ist beliebig {Anzeigestil p} -Untergruppe von {Anzeigestil G} , dann {Anzeigestil H} ist eine Untergruppe von a {Anzeigestil p} -Untergruppe der Ordnung {Anzeigestil p^{n}} .

Eine sehr wichtige Konsequenz aus Theorem 2 ist das die Bedingung {Anzeigestil n_{p}=1} ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass die Sylow {Anzeigestil p} -Untergruppe von {Anzeigestil G} ist eine normale Untergruppe. Jedoch, Es gibt Gruppen, die normale Untergruppen haben, aber keine normalen Sylow-Untergruppen, wie zum Beispiel {Anzeigestil S_{4}} .

Sylow theorems for infinite groups There is an analogue of the Sylow theorems for infinite groups. Man definiert eine Sylow-p-Untergruppe in einer unendlichen Gruppe als p-Untergruppe (das ist, Jedes Element darin hat eine p-Potenzordnung) das ist das Maximum für die Aufnahme unter alle p-Untergruppen in der Gruppe. Lassen {Anzeigestil Betreibername {Kl} (K)} bezeichnen die Menge der Konjugationsklassen einer Untergruppe {displaystyle Ksubset G} Theorem — If K is a Sylow p-subgroup of G, und {Anzeigestil n_{p}=|Name des Bedieners {Kl} (K)|} ist endlich, dann ist jede p-Untergruppe von Sylow zu K konjugiert, und {Anzeigestil n_{p}Äquiv 1{in gewisser Weise {p}}} .

Beispiele In D6 sind alle Spiegelungen konjugiert, als Reflexionen entsprechen Sylow 2-Untergruppen.

Eine einfache Veranschaulichung der Sylow-Untergruppen und der Sylow-Theoreme ist die Diedergruppe des n-Ecks, D2n. Für n ungerade, 2 = 21 ist die höchste Macht von 2 Auftrag aufteilen, und damit Untergruppen der Ordnung 2 sind Sylow-Untergruppen. Dies sind die Gruppen, die durch eine Reflexion erzeugt werden, davon gibt es n, und sie sind alle unter Drehungen konjugiert; geometrisch gehen die Symmetrieachsen durch einen Scheitelpunkt und eine Seite.

In D12 entsprechen Reflexionen nicht mehr Sylow 2-Untergruppen, und fallen in zwei Konjugationsklassen.

Im Gegensatz, wenn n gerade ist, dann 4 teilt die Reihenfolge der Gruppe, und die Untergruppen der Ordnung 2 sind keine Sylow-Untergruppen mehr, und tatsächlich fallen sie in zwei Konjugationsklassen, geometrisch, je nachdem, ob sie durch zwei Ecken oder zwei Flächen gehen. Diese sind durch einen äußeren Automorphismus miteinander verbunden, was durch Drehung um π/n dargestellt werden kann, die Hälfte der minimalen Drehung in der Diedergruppe.

Ein weiteres Beispiel sind die Sylow-p-Untergruppen von GL2(Fq), where p and q are primes ≥ 3 and p ≡ 1 (mod q) , die alle abelsch sind. Die Reihenfolge von GL2(Fq) ist (q2 − 1)(q2 − q) = (q)(q + 1)(q − 1)2. Since q = pnm + 1, die Reihenfolge von GL2(Fq) = p2n m′. Thus by Theorem 1, die Reihenfolge der Sylow-p-Untergruppen ist p2n.

Eine solche Untergruppe P, ist die Menge der Diagonalmatrizen {Anzeigestil {Start{bMatrix}x^{ich bin}&0\0&x^{jm}Ende{bMatrix}}} , x ist eine beliebige primitive Wurzel von Fq. Since the order of Fq is q − 1, seine primitiven Wurzeln haben die Ordnung q − 1, was impliziert, dass x(q − 1)/pn or xm and all its powers have an order which is a power of p. So, P is a subgroup where all its elements have orders which are powers of p. Es gibt pn-Auswahlmöglichkeiten sowohl für a als auch für b, Herstellung |P| = p2n. Dies bedeutet, dass P eine Sylow-p-Untergruppe ist, was abelsch ist, da alle Diagonalmatrizen pendeln, und weil Satz 2 besagt, dass alle Sylow-p-Untergruppen zueinander konjugiert sind, die Sylow-p-Untergruppen von GL2(Fq) sind alle abelsch.

Example applications Since Sylow's theorem ensures the existence of p-subgroups of a finite group, Es lohnt sich, Gruppen der Primzahlordnung genauer zu studieren. Die meisten Beispiele verwenden den Satz von Sylow, um zu beweisen, dass eine Gruppe einer bestimmten Ordnung nicht einfach ist. Für kleine Gruppen, Die Kongruenzbedingung des Satzes von Sylow reicht oft aus, um die Existenz einer normalen Untergruppe zu erzwingen.

Beispiel-1 Gruppen der Ordnung pq, p and q primes with p < q. Example-2 Group of order 30, groups of order 20, groups of order p2q, p and q distinct primes are some of the applications. Example-3 (Groups of order 60): If the order |G| = 60 and G has more than one Sylow 5-subgroup, then G is simple. Cyclic group orders Some non-prime numbers n are such that every group of order n is cyclic. One can show that n = 15 is such a number using the Sylow theorems: Let G be a group of order 15 = 3 · 5 and n3 be the number of Sylow 3-subgroups. Then n3 {displaystyle mid } 5 and n3 ≡ 1 (mod 3). The only value satisfying these constraints is 1; therefore, there is only one subgroup of order 3, and it must be normal (since it has no distinct conjugates). Similarly, n5 must divide 3, and n5 must equal 1 (mod 5); thus it must also have a single normal subgroup of order 5. Since 3 and 5 are coprime, the intersection of these two subgroups is trivial, and so G must be the internal direct product of groups of order 3 and 5, that is the cyclic group of order 15. Thus, there is only one group of order 15 (up to isomorphism). Small groups are not simple A more complex example involves the order of the smallest simple group that is not cyclic. Burnside's pa qb theorem states that if the order of a group is the product of one or two prime powers, then it is solvable, and so the group is not simple, or is of prime order and is cyclic. This rules out every group up to order 30 (= 2 · 3 · 5). If G is simple, and |G| = 30, then n3 must divide 10 ( = 2 · 5), and n3 must equal 1 (mod 3). Therefore, n3 = 10, since neither 4 nor 7 divides 10, and if n3 = 1 then, as above, G would have a normal subgroup of order 3, and could not be simple. G then has 10 distinct cyclic subgroups of order 3, each of which has 2 elements of order 3 (plus the identity). This means G has at least 20 distinct elements of order 3. As well, n5 = 6, since n5 must divide 6 ( = 2 · 3), and n5 must equal 1 (mod 5). So G also has 24 distinct elements of order 5. But the order of G is only 30, so a simple group of order 30 cannot exist. Next, suppose |G| = 42 = 2 · 3 · 7. Here n7 must divide 6 ( = 2 · 3) and n7 must equal 1 (mod 7), so n7 = 1. So, as before, G can not be simple. On the other hand, for |G| = 60 = 22 · 3 · 5, then n3 = 10 and n5 = 6 is perfectly possible. And in fact, the smallest simple non-cyclic group is A5, the alternating group over 5 elements. It has order 60, and has 24 cyclic permutations of order 5, and 20 of order 3. Wilson's theorem Part of Wilson's theorem states that {displaystyle (p-1)! equiv -1{pmod {p}}} for every prime p. One may easily prove this theorem by Sylow's third theorem. Indeed, observe that the number np of Sylow's p-subgroups in the symmetric group Sp is (p − 2)!. On the other hand, np ≡ 1 (mod p). Hence, (p − 2)! ≡ 1 (mod p). So, (p − 1)! ≡ −1 (mod p). Fusion results Frattini's argument shows that a Sylow subgroup of a normal subgroup provides a factorization of a finite group. A slight generalization known as Burnside's fusion theorem states that if G is a finite group with Sylow p-subgroup P and two subsets A and B normalized by P, then A and B are G-conjugate if and only if they are NG(P)-conjugate. The proof is a simple application of Sylow's theorem: If B=Ag, then the normalizer of B contains not only P but also Pg (since Pg is contained in the normalizer of Ag). By Sylow's theorem P and Pg are conjugate not only in G, but in the normalizer of B. Hence gh−1 normalizes P for some h that normalizes B, and then Agh−1 = Bh−1 = B, so that A and B are NG(P)-conjugate. Burnside's fusion theorem can be used to give a more powerful factorization called a semidirect product: if G is a finite group whose Sylow p-subgroup P is contained in the center of its normalizer, then G has a normal subgroup K of order coprime to P, G = PK and P∩K = {1}, that is, G is p-nilpotent. Less trivial applications of the Sylow theorems include the focal subgroup theorem, which studies the control a Sylow p-subgroup of the derived subgroup has on the structure of the entire group. This control is exploited at several stages of the classification of finite simple groups, and for instance defines the case divisions used in the Alperin–Brauer–Gorenstein theorem classifying finite simple groups whose Sylow 2-subgroup is a quasi-dihedral group. These rely on J. L. Alperin's strengthening of the conjugacy portion of Sylow's theorem to control what sorts of elements are used in the conjugation. Proof of the Sylow theorems The Sylow theorems have been proved in a number of ways, and the history of the proofs themselves is the subject of many papers, including Waterhouse,[4] Scharlau,[5] Casadio and Zappa,[6] Gow,[7] and to some extent Meo.[8] One proof of the Sylow theorems exploits the notion of group action in various creative ways. The group G acts on itself or on the set of its p-subgroups in various ways, and each such action can be exploited to prove one of the Sylow theorems. The following proofs are based on combinatorial arguments of Wielandt.[9] In the following, we use {displaystyle amid b} as notation for "a divides b" and {displaystyle anmid b} for the negation of this statement. Theorem (1) — A finite group G whose order {displaystyle |G|} is divisible by a prime power pk has a subgroup of order pk. Proof Let |G| = pkm = pk+ru such that {displaystyle pnmid u} , and let Ω denote the set of subsets of G of size pk. G acts on Ω by left multiplication: for g ∈ G and ω ∈ Ω, g⋅ω = { gx | x ∈ ω }. For a given set ω ∈ Ω, write Gω for its stabilizer subgroup { g ∈ G | g⋅ω = ω } and Gω for its orbit { g⋅ω | g ∈ G } in Ω. The proof will show the existence of some ω ∈ Ω for which Gω has pk elements, providing the desired subgroup. This is the maximal possible size of a stabilizer subgroup Gω, since for any fixed element α ∈ ω ⊆ G, the right coset Gωα is contained in ω; therefore, |Gω| = |Gωα| ≤ |ω| = pk. By the orbit-stabilizer theorem we have |Gω| |Gω| = |G| for each ω ∈ Ω, and therefore using the additive p-adic valuation νp, which counts the number of factors p, one has νp(|Gω|) + νp(|Gω|) = νp(|G|) = k + r. This means that for those ω with |Gω| = pk, the ones we are looking for, one has νp(|Gω|) = r, while for any other ω one has νp(|Gω|) > r (wie 0 < |Gω| < pk implies νp(|Gω|) < k). Since |Ω| is the sum of |Gω| over all distinct orbits Gω, one can show the existence of ω of the former type by showing that νp(|Ω|) = r (if none existed, that valuation would exceed r). This is an instance of Kummer's theorem (since in base p notation the number |G| ends with precisely k + r digits zero, subtracting pk from it involves a carry in r places), and can also be shown by a simple computation: {displaystyle |Omega |={p^{k}m choose p^{k}}=prod _{j=0}^{p^{k}-1}{frac {p^{k}m-j}{p^{k}-j}}=mprod _{j=1}^{p^{k}-1}{frac {p^{k-nu _{p}(j)}m-j/p^{nu _{p}(j)}}{p^{k-nu _{p}(j)}-j/p^{nu _{p}(j)}}}} and no power of p remains in any of the factors inside the product on the right. Hence νp(|Ω|) = νp(m) = r, completing the proof. It may be noted that conversely every subgroup H of order pk gives rise to sets ω ∈ Ω for which Gω = H, namely any one of the m distinct cosets Hg. Lemma — Let H be a finite p-group, let Ω be a finite set acted on by H, and let Ω0 denote the set of points of Ω that are fixed under the action of H. Then |Ω| ≡ |Ω0| (mod p). Proof Any element x ∈ Ω not fixed by H will lie in an orbit of order |H|/|Hx| (where Hx denotes the stabilizer), which is a multiple of p by assumption. The result follows immediately by writing |Ω| as the sum of |Hx| over all distinct orbits Hx and reducing mod p. Theorem (2) — If H is a p-subgroup of G and P is a Sylow p-subgroup of G, then there exists an element g in G such that g−1Hg ≤ P. In particular, all Sylow p-subgroups of G are conjugate to each other (and therefore isomorphic), that is, if H and K are Sylow p-subgroups of G, then there exists an element g in G with g−1Hg = K. Proof Let Ω be the set of left cosets of P in G and let H act on Ω by left multiplication. Applying the Lemma to H on Ω, we see that |Ω0| ≡ |Ω| = [G : P] (mod p). Now {displaystyle pnmid [G:P]} by definition so {displaystyle pnmid |Omega _{0}|} , hence in particular |Ω0| ≠ 0 so there exists some gP ∈ Ω0. With this gP, we have hgP = gP for all h ∈ H, so g−1HgP = P and therefore g−1Hg ≤ P. Furthermore, if H is a Sylow p-subgroup, then |g−1Hg| = |H| = |P| so that g−1Hg = P. Theorem (3) — Let q denote the order of any Sylow p-subgroup P of a finite group G. Let np denote the number of Sylow p-subgroups of G. Then (a) np = [G : NG(P)] (where NG(P) is the normalizer of P), (b) np divides |G|/q, and (c) np ≡ 1 (mod p). Proof Let Ω be the set of all Sylow p-subgroups of G and let G act on Ω by conjugation. Let P ∈ Ω be a Sylow p-subgroup. By Theorem 2, the orbit of P has size np, so by the orbit-stabilizer theorem np = [G : GP]. For this group action, the stabilizer GP is given by {g ∈ G | gPg−1 = P} = NG(P), the normalizer of P in G. Thus, np = [G : NG(P)], and it follows that this number is a divisor of [G : P] = |G|/q. Now let P act on Ω by conjugation, and again let Ω0 denote the set of fixed points of this action. Let Q ∈ Ω0 and observe that then Q = xQx−1 for all x ∈ P so that P ≤ NG(Q). By Theorem 2, P and Q are conjugate in NG(Q) in particular, and Q is normal in NG(Q), so then P = Q. It follows that Ω0 = {P} so that, by the Lemma, |Ω| ≡ |Ω0| = 1 (mod p). Algorithms The problem of finding a Sylow subgroup of a given group is an important problem in computational group theory. One proof of the existence of Sylow p-subgroups is constructive: if H is a p-subgroup of G and the index [G:H] is divisible by p, then the normalizer N = NG(H) of H in G is also such that [N : H] is divisible by p. In other words, a polycyclic generating system of a Sylow p-subgroup can be found by starting from any p-subgroup H (including the identity) and taking elements of p-power order contained in the normalizer of H but not in H itself. The algorithmic version of this (and many improvements) is described in textbook form in Butler,[10] including the algorithm described in Cannon.[11] These versions are still used in the GAP computer algebra system. In permutation groups, it has been proven, in Kantor[12][13][14] and Kantor and Taylor,[15] that a Sylow p-subgroup and its normalizer can be found in polynomial time of the input (the degree of the group times the number of generators). These algorithms are described in textbook form in Seress,[16] and are now becoming practical as the constructive recognition of finite simple groups becomes a reality. In particular, versions of this algorithm are used in the Magma computer algebra system. See also Frattini's argument Hall subgroup Maximal subgroup p-group Notes ^ Sylow, L. (1872). "Théorèmes sur les groupes de substitutions". Math. Ann. (in French). 5 (4): 584–594. doi:10.1007/BF01442913. JFM 04.0056.02. S2CID 121928336. ^ Gracia–Saz, Alfonso. 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