Hiperplano de suporte

Hiperplano de suporte (Redirecionado de Suportando o teorema do hiperplano) Ir para a navegação Ir para a pesquisa Um conjunto convexo {estilo de exibição S} (em rosa), um hiperplano de suporte de {estilo de exibição S} (a linha tracejada), e o meio-espaço de suporte delimitado pelo hiperplano que contém {estilo de exibição S} (em azul claro).

Na geometria, um hiperplano de suporte de um conjunto {estilo de exibição S} no espaço euclidiano {estilo de exibição mathbb {R} ^{n}} é um hiperplano que tem ambas as duas propriedades a seguir:[1] {estilo de exibição S} está inteiramente contido em um dos dois semi-espaços fechados limitados pelo hiperplano, {estilo de exibição S} tem pelo menos um ponto limite no hiperplano.

Aqui, um semi-espaço fechado é o semi-espaço que inclui os pontos dentro do hiperplano.

Conteúdo 1 Suportando o teorema do hiperplano 2 Veja também 3 Notas 4 References & further reading Supporting hyperplane theorem A convex set can have more than one supporting hyperplane at a given point on its boundary.

Este teorema afirma que se {estilo de exibição S} é um conjunto convexo no espaço vetorial topológico {estilo de exibição X = mathbb {R} ^{n},} e {estilo de exibição x_{0}} é um ponto na fronteira de {estilo de exibição S,} então existe um hiperplano de suporte contendo {estilo de exibição x_{0}.} Se {estilo de exibição x^{*}em X^{*}barra invertida {0}} ( {estilo de exibição X^{*}} é o espaço dual de {estilo de exibição X} , {estilo de exibição x^{*}} é um funcional linear diferente de zero) de tal modo que {estilo de exibição x^{*}deixei(x_{0}certo)cara x^{*}(x)} para todos {estilo de exibição xin S} , então {estilo de exibição H={xin X:x^{*}(x)=x^{*}deixei(x_{0}certo)}} define um hiperplano de suporte.[2] Por outro lado, E se {estilo de exibição S} é um conjunto fechado com interior não vazio tal que cada ponto na fronteira tem um hiperplano de suporte, então {estilo de exibição S} é um conjunto convexo.[2] O hiperplano no teorema pode não ser único, como observado na segunda foto à direita. Se o conjunto fechado {estilo de exibição S} não é convexo, a afirmação do teorema não é verdadeira em todos os pontos na fronteira de {estilo de exibição S,} conforme ilustrado na terceira foto à direita.

Os hiperplanos de suporte de conjuntos convexos também são chamados de tac-planos ou tac-hiperplanos.[3] Um resultado relacionado é o teorema do hiperplano de separação, que cada dois conjuntos convexos disjuntos podem ser separados por um hiperplano.

Veja também Um hiperplano de suporte contendo um determinado ponto no limite de {estilo de exibição S} pode não existir se {estilo de exibição S} não é convexo. Função de suporte Linha de suporte (suportando hiperplanos em {estilo de exibição mathbb {R} ^{2}} ) Notas ^ Luenberger, David G. (1969). Otimização por Métodos de Espaço Vetorial. Nova york: John Wiley & Sons. p. 133. ISBN 978-0-471-18117-0. ^ Saltar para: a b Boyd, Estevão P.; Vandenberghe, Lieven (2004). Otimização Convexa (pdf). Cambridge University Press. pp. 50–51. ISBN 978-0-521-83378-3. Recuperado em outubro 15, 2011. ^ Caçarolas, John W. S. (1997), Uma Introdução à Geometria dos Números, Springer Classics em Matemática (reimpressão de 1959[3] e 1971 Springer-Verlag ed.), Springer-Verlag. References & further reading Ostaszewski, Adão (1990). Métodos matemáticos avançados. Cambridge; Nova york: Cambridge University Press. p. 129. ISBN 0-521-28964-5. Giaquinta, Mariano; Hildebrandt, Stefan (1996). Cálculo de variações. Berlim; Nova york: Springer. p. 57. ISBN 3-540-50625-X. Goh, C. J.; Que, X.Q. (2002). Dualidade na otimização e desigualdades variacionais. Londres; Nova york: Taylor & Francis. p. 13. ISBN 0-415-27479-6. Categorias: Geometria convexaAnálise funcionalTeorias da dualidade